01.07.2022 19:12
VapnykAG 26 9300 Источник
Пьер де Ферма́, 1637

Александр Вапник, 2022

В самом начале 2016-го обилие свободного времени пробудило спавший во мне интерес к загадочным околонаучным вопросам, среди которых, конечно же, оказалась и Великая теорема Ферма. Вспомнилось, как давным-давно, году эдак в 1992-ом, школьный учитель – аккуратная пожилая женщина с мягким голосом, рассказывая о связи сторон в прямоугольном треугольнике, не прошла мимо загадочной теоремы:
– Всемирную известность получит тот, кто сможет её доказать... – размеренно завершила она, с мечтательно-печальными нотками в голосе. Быть может, она провела не одну ночь в тщетных поисках ниточки к распутыванию загадочного трёхвекового клубка. Тогдашнее впечатление от её рассказа хранилось в голове многие годы, но не более того.

Упоминаний по данной теме на просторах интернет – великое множество, однако, несмотря на обилие ферматистов в недавнем прошлом, доходчивые и конкретные примеры доказательств упорно не встречались. Месяц самостоятельных изысканий привёл меня к парадоксу, намекавшему на криволинейные поверхности, в чём я не был силён, мягко говоря. Помимо того, нашлась ещё более занимательная и, теперь уже, практически полезная задачка, заставившая почти на пять лет залипнуть в поисках её эффективного решения. Мой "ферматизм" надолго канул в лету, но вдруг, на фоне иных творческих успехов, одним нескучным вечером снова вернулся – 11-го Февраля 2022-го.

polit.ru/article/2016/05/14/tsfasman_about_wiles
polit.ru/article/2016/05/14/tsfasman_about_wiles

— Оно и у Ферма было, ведь юристы не бросают слов на ветер...

Итак, теорема утверждает, что не существует таких целых чисел a,b,c в натуральной степени n больше двух, которые приведут к равенству левой и правой части

a^n + b^n \neq c^n, \space\space\space\space n > 2

Мы же рассмотрим вариацию теоремы, когда все числа натуральные, т.е. положительные, на примере равенства третьего порядка:

a^3 + b^3 = c^3a^3 = c^3 - b^3a*a*a = (c - b) (c^2 + cb + b^2)a*a = (c - b) * \frac{(c^2 + cb + b^2)}{a}
Примечание

Из теоремы о представлении числа в виде разности двух квадратов заключим, что правая часть равенства состоит из множителя меньше a и множителя больше a.

факторизация числа 144 – одной пары достаточно для обоснования равенства квадрату
факторизация числа 144 – одной пары достаточно для обоснования равенства квадрату

Начиная со второго порядка, c – b меньше a (так же c – a меньше b). Аксиому легко проверить, представив, что в равенстве, например
500 = 1000 – 500 все числа – кубы. Тогда их первые степени (приближённо)
7,9 > 10,0 – 7,9. Это остаётся справедливым при любой комбинации значений. С увеличением порядка данное отличие будет только расти.

Таким образом, равенство может выполняться только при большем множителе, равном c + b

\frac{(c^2 + cb + b^2)}{a} = (c + b)\frac{(c - b)(c^2 + cb + b^2)}{a} = (c - b)(c + b)\frac{c^3 - b^3}{a} = (c - b)(c + b)\frac{a^3}{a} = c^2 - b^2a^2 = c^2 - b^2a^2 + b^2 = c^2

Получили свидетельство тому, что больший множитель альтернативного разложения квадрата (перед примечанием) может существовать только при заключительном условии.

Эквивалентный более длинный путь
\frac{(c^2 + cb + b^2)}{a} = (c + b)(c^2 + cb + b^2) = a * (c + b)(c - b)(c^2 + cb + b^2) = a * (c-b)(c+b)c^3 - b^3 = ac^2 - ab^2
Противоречие

Одновременно a = c и a = b.
Равенство верно при a,b,c = 1, но тогда неверно исходное: 1 + 1 = 1

a^3 = ac^2 - ab^2a^2 = c^2 - b^2a^2 + b^2 = c^2

Отметим, что тот самый больший множитель не подвергался преобразованиям, а значит, при разложении разности более высоких порядков нет необходимости приводить его в явном виде. То есть, общий случай теоремы доказывается аналогичным образом.

a^n = c^n - b^na*a = (c - b) * \frac{(c^{n-1}+c^{n-2}b \space+ ... +\space cb^{n-2}+b^{n-1})}{a^{n-2}}\frac{(c^{n-1}+c^{n-2}b \space+ ... +\space cb^{n-2}+b^{n-1})}{a^{n-2}} = (c + b)\frac{c^n - b^n}{a^{n-2}} = (c - b)(c + b)\frac{a^n}{a^{n-2}} = c^2 - b^2a^2 + b^2 = c^2

ПОЛУЧЕНО ОБЯЗАТЕЛЬНОЕ УСЛОВИЕ. ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.

ЭПИТАФИЯ

Нет сомнений, что великолепный Месьё де ФеГрма воздержался поместить на полях Арифметики Диофанта именно такую выкладку. Более того, формулировка теоремы следует, как раз, из выведенного условия. Иначе откуда мог произойти домысел об отсутствии решений в любых других степенях?
Нет сомнений, также, что многие пытливые умы за эти годы вплотную подходили к этой простой интерпретации, но кто-то не рассмотрел находку, а кто-то не рассказал о ней.

После пяти лет безуспешных изысканий над "RSA factoring challenge", где различные достижения Пьера Ферма играют весомую роль, непостижимая теорема оказалась сущим пустяком. Адаптировать под отрицательные числа – лень ;-)

Суть обоснования в "Примечании", может быть не сразу ясная, берёт своё начало в основной теореме арифметики (об уникальности набора множителей составного числа) и сводится к тому, что если один из множителей является разностью x–y, то другой обязательно будет x+y (приведу на днях доказательство получше, чем в вики). Для лучшего понимания предмета стоит изучить "разность степеней" и поиграть с разложением составных чисел, например 144, как в примечании, а лучше – нечётных, чтобы разобраться в том, как множители числа соотносятся с его квадратным корнем. В Теории Чисел это называют методом Ферма, а я называю естественным методом факторизации.

Рукожописи :)

P.S. Намалёванные здесь нейронные сети никак не связаны с доказательством – просто уже были на листе.

ПЕРЕВОД НА АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК

Комментарии (26)


  1. propell-ant
    01.07.2022 19:32
    #24490034
    +26

    На всякий случай напоминаю, что с 1995г. теорема считается доказанной тов. Эндрю Уайлсом:
    https://en.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles#Proof_of_Fermat's_Last_Theorem
    (в русской вики не приводятся прикольные подробности с найденной через некоторое время после первой публикации нестыковкой в доказательстве, побежденной лишь через год)


  1. mayorovp
    01.07.2022 20:08
    #24490122
    +22

    Таким образом, равенство может выполняться только при большем множителе, равном c + b

    Не вижу откуда это следует.


    1. ss-nopol
      01.07.2022 20:35
      #24490184
      +4

      туз трюк был ловко спрятан под скатертью спойлером :)


    1. SergLit
      01.07.2022 21:19
      #24490282
      +3

      Ландау-Лифшицу можно - а автору нельзя? :)


      1. mayorovp
        01.07.2022 21:40
        #24490322
        +15

        Если бы они не излагали известные вещи, а доказывали Великую теорему Ферма — им бы тоже было нельзя. Если бы автор не доказывал Великую теорему Ферма, а писал бы учебник излагая известные вещи — ему бы тоже было можно. А пока именно так, Ландау и Лифшицу можно — а автору нельзя.


    1. Hardcoin
      02.07.2022 09:08
      #24490800
      -1

      правая часть равенства состоит из множителя меньше a и множителя больше a.

      Автор утверждает, что число a*a нужно представить в виде разницы двух квадратов, которую в свою очередь разложить на два множителя, один (c-b), другой (c+b).


      1. wataru
        02.07.2022 10:21
        #24490870
        +7

        Но это другие квадраты! Не те c и b, которые фигурируют в оригинальном уравнении. Потом дальше автор смешивает и оригинальные и эти новые c и b.


        1. Hardcoin
          02.07.2022 12:14
          #24491048
          +1

          Да, в этом его ошибка. Он предположил, что если левый множитель (c-b), то правый обязан быть равен (c+b). На самом деле не обязан, конечно. a^2 просто делится на (c-b) с неизвестным результатом (даже не гарантировано нацело).


  1. shurshur
    01.07.2022 21:53
    #24490344
    +11

    В подшивке старых номеров журнала "Техника молодёжи" я как-то нашёл "письмо читателя", который "доказал" ВТФ путём не очень длинных выкладок, но, разумеется, с ошибкой. Его ошибка по существу сводилась к тому, что якобы a^2=b^2+c^2и a^n=b^n+c^nпри одних и тех же значениях a, b, c.

    Hidden text

    Он поделил обе части на a^2и a^n, получил

    \left(\frac ba\right)^2+\left(\frac ca\right)^2=\left(\frac ba\right)^n+\left(\frac ca\right)^n=1

    и сделал вывод, что n=2, при этом его не смутило то, что при n=1ВТФ тоже имеет решения.

    Сводить выражение при nк выражению при n-1категорически неправильно, но почему-то "народные ферматисты" очень любят раз за разом наступать в эту лужу...


  1. agershun
    01.07.2022 22:19
    #24490384
    +14

    Вы делаете логический переход от равенства:
    a*a = (c-b)*(c^2+cb+b^2)/a
    к равенству:
    c+b=(c^2+cb+b^2)/a

    Но это справедливо только тогда, когда: a^2 = C^2-B^2. Но не очевидно, что это те же самые c и b, при которых будет выполняться равенство: a^2 = (c-b)(c+b)

    Возможно, что это другие C и B, которые соответственно не равны с и b, при которых a^2 = (C-B)(C+B), но при этом a^2 != (c-b)(c+b).


  1. victor_1212
    01.07.2022 22:32
    #24490406
    +7

    пришлось когда-то очень давно читать работу на ту же тему с похожими выкладками, которая начиналась типа "эта идея пришла на борту теплохода во время прохождения канала Волга-Дон", бралось алгебраическое тождество, которое всячески мучилось примерно на 300 страницах рукописного текста, пока не получался требуемый результат, ферматисты они типа осаждали АН СССР, а там было правило если 10 студентов мехмата прочитают и не найдут ошибку, тогда будем смотреть

    ps

    ждем статью про вечный двигатель,


    1. sensem
      01.07.2022 22:43
      #24490432
      +2

      Так вот же она: Принцип работы вечного двигателя .


      1. victor_1212
        02.07.2022 00:16
        #24490560

        точно, кстати на ali китайцы тоже продают несколько моделей, цены доступные :)

        см

        https://aliexpress.ru/popular/вечный-двигатель.html

        ps

        тот ферматист из воспоминаний молодости был почти копия почтальон Печкин из Простоквашино, таки запомнился


        1. victor_1212
          02.07.2022 00:49
          #24490600

          pps

          возможно тот самый ферматист упоминается в воспоминаниях Кушнера о мехмате:

          "Даже неизменный и порою небезопасный старик-ферматист с потёртым футляром от скрипки и стопкой витиевато исписанных листов – очередным доказательством Теоремы Ферма, предлагаемым для немедленного, на месте, прочтения всем любопытствующим, – казался неотъемлемым элементом этого необычайного мира ... "

          см

          http://www.poesis.ru/poeti-poezia/kushner/frm1_univ.htm


  1. bayan79
    02.07.2022 00:23
    #24490578
    +9

    Правильно ли понял, что автор утвержает истинность высказывания:
    [ a*a = (c-b)*X ] => [ X = c+b ] ?
    Довольно.... смело)


    1. shurshur
      02.07.2022 01:27
      #24490646
      +12

      Судя по всему да, он уверен, что если 4*4=(6-5)x, то x=6+5=11. Из чего следует, что 16=11. Шах и мат!


  1. s_f1
    02.07.2022 00:23
    #24490580
    +2

    Ничего не понятно. Выглядит так, что автор предположил, что a*a = (c-b)*(c+b), из чего выводит, что a*a + b*b = c*c.


  1. NikRag
    02.07.2022 00:30
    #24490588
    +2

    Я не математик, не понимаю, и хочу натурально без троллинга и снисходительного юмора понять, как это работает:
    Было a*a = (c-b)*(c^2+cb+b^2)/a
    Стало c+b=(c^2+cb+b^2)/a

    То есть, я, как троечник в школе, вижу, что a*a/(c-b) стало c+b. Но как это вышло?

    a*a/(c-b) = c+b
    a*a = (c+b) * (c-b)
    a*a = c*c +b*c -b*c -b*b
    a^2 = c^2 -b^2

    То есть данное доказательство, что _больше, чем квадраты, невозможно_ строится на вшитом условии, что допустимы конкретно и только квадраты? Или что, я не очень понимаю "логический смысл формулы"..


    1. Deosis
      04.07.2022 08:00
      #24494038
      +1

      Тут неверно применено утвержение, что квадрат любого числа можно представить в виде разности квадратов.

      То есть для любого а существуют d и e, такие что a*a=d*d - e*e=(d-e)(d+e)

      Теперь есть 2 формулы: a*a = (c-b)*(c^2+cb+b^2)/a и a*a=(d-e)(d+e)

      Далее ошибочно предполагается, что d=с и e=b


  1. VladD-exrabbit
    02.07.2022 01:01
    #24490606
    +5

    Вспомнилось из «Математической смеси» Литтлвуда:


    Ландау* заготовлял печатные формуляры для рассылки авторам доказательств последней теоремы Ферма: "На стр. ..., строке… имеется ошибка". (Находить ошибку поручалось доценту.)

    *не тот


  1. KvanTTT
    02.07.2022 13:41
    #24491158
    +4

    Ого, не знал что ферматисты еще существуют.


  1. invasy
    03.07.2022 12:29
    #24492634
    +1

    Без цели обидеть или оскорбить, но, возможно, стоит задуматься об обращении к профильному медицинскому специалисту? Всякие суровые (и не очень) матаны человеческому мозгу тяжко даются. Уж больно стиль изложения подозрительный.

    PS: Английский вариант недоступен: The author deleted this Medium story. А жаль.


    1. Medeyko
      03.07.2022 13:13
      #24492732
      -2

      Я бы не стал делать такие далеко идущие выводы. Станет окружающая действительность получше, подозрительный стиль уйдёт.


  1. RumataEstora
    03.07.2022 14:41
    #24492864

    Вспомнилось давно читанное в юности: Михаил Анчаров, Самшитовый лес.

    Небольшая цитата оттуда:

    - Барбарисов, это ты? - раздался на всю комнату жизнерадостный голос Сапожникова. - Это я, Сапожников, узнал?

    - Боже мой, - сказал Барбарисов. - Узнал, узнал, мы только что о тебе говорили.

    - Я почувствовал. Барбарисов, не сердись, но у тебя должен находиться некий Аркадий Максимович, тайный атлантолог.

    - Кто? - спросил Барбарисов, потом вдруг смекнул, о ком речь, и ошалело уставился на Аркадия Максимовича. - Слушай, а ты не с того света?

    - Нет. Я из пионерлагеря... Давай зови его. Или нет, не зови. Передай ему, что я у Дунаевых. Он знает. Слушай, кстати, я, кажется, действительно решил теорему Ферма! Не смейся, идиотски простым способом. Слушай, скажи всем заинтересованным, что если я действительно ее решил, то ее надо немедленно у меня украсть. Говорят, за решение дают Нобелевскую премию. Глупо, если она достанется дикому Сапожникову, а не кому-то организованному, в крайнем случае тебе...

    Старый ужас накатывал снова.

    Барбарисов бережно положил трубку.


  1. gwisp
    04.07.2022 09:42
    #24494310

    Можно по приколу сделать соревнование: участникам даны доказательства неких математических утверждений, задача - быстрее остальных найти ошибку. Может, кому-то будет интересно поучаствовать.


  1. v__17
    04.07.2022 11:58
    #24495018
    +1

    Адаптировать под отрицательные числа – лень ;-)

    В принципе после этой фразы многое становится понятно про автора и про его математический бэкграунд. Всегда поражали люди, которые не до конца овладели перебрасыванием через знак равно слагаемых в уравнении, но считающие себя достаточно грамотными для доказательства пожалуй одной из самых сложных и зубодробительных классических теорем в математике.