Ранее мной на хабре была опубликована статья в которой приводились интерактивные программы визуализирующие в браузере эксперимент Штерна-Герлаха, квантовый спин, сферу Блоха и вращения квантового спина.

Примерно через две недели я опубликовал еще одну статью. В этой статье я высказал свое недоумение по поводу изображения сферы Блоха в википедии, на большинстве сайтов, статьях и в книгах. Прочитав немногочисленные комментарии к этой последней статье на Хабре я решил более развернуто пояснить свою позицию.

Может появиться вопрос почему меня заинтересовало, на мой взгляд, это неправильное изображение. Ответ заключается в том, что всякий раз как я его видел, мне казалось, что я неправильно пониманию математику описывающую спин электрона. Я просмотрел множество сайтов, статей в интернете и книг (в подавляющем числе англоязычных) и хотя и не во всех, но в большинстве из них я видел это, мягко говоря, странное изображение вектора квантового состояния |ψ〉 на сфере Блоха. Это отняло у меня большое количество времени и замедлило понимание математики, которая лежит в основе описания квантового спина электрона. Но только когда я сделал свои программы визуализации и численные результаты, отображаемые в этих программах, оказались полностью совпадающими с численными результатами полученными другими людьми, я понял, что по всей видимости прав в своем неприятии этого изображения (например можете посмотреть программу сделанную для отображения сферы Блоха в University of St Andrews Bloch sphere.)

В дальнейшем я всюду буду ссылаться на разные номера глав своего сайта Визуализация квантового спина.

Для того чтобы на самом деле понять, что такое сфера Блоха, необходимо внимательно рассмотреть эксперимент Штерна-Герлаха. Визуализация этого эксперимента приведена в главе 1. Направление приготовленного спина и направление оси прибора, вдоль которой производится измерение спина, задается при помощи углов в трехмерном евклидовом пространстве (R³) в сферической системе координат. В результате произведенных измерений мы получаем некоторые значения вероятностей.

Напрмер приготовим спин в направлении азимутального и полярного угла равными 0°. Затем установим для оси прибора азимутальный угол равным 0°, а для полярного угла зададим значение равное 60°. Тем самым мы зададим направление в котором происходит измерение спина. Произведем измерение нажав кнопку Measurement. Мы получим две вероятности - 75% и 25%.

А теперь перейдем к сфере Блоха. На панели управления установим азимутальный угол равным 0°, а для полярного угла зададим значение равное 60°. В ответ на эти действия в средней части окна мы увидим значения P(0) = 75% и P(1) = 25%. Такие же значения мы уже получили в результате эксперимента с прибором Штерна-Герлаха. Таким образом сфера Блоха неожиданно оказалась, в некотором смысле, повторением этого прибора. На сфере Блоха направление измерения спина, также как и при визуализации эксперимента Штерна-Герлаха, задается в трехмерном евклидовом пространстве R³ в сферической системе координат. Однако в визуализации эксперимента Штерна-Герлаха спин можно приготовить в любом направлении задаваемым полярным углом θ и затем измерять его прибором относительно этого направления. А на сфере Блоха приготовленное состояние направленно вдоль вертикальной оси. Направление, вдоль которого измеряется спин на сфере Блоха, называется вектором Блоха. И при визуализации эксперимента Штерна-Герлаха, и на сфере Блоха полярный угол θ задается в пределах 0° - 180°. Именно значения полярного угла определяют значения приведенных выше вероятностей.

Однако получение вероятностей при помощи сферы Блоха является не самой главной задачей. Основной задачей, для которой создана сфера Блоха, является расчет вектора квантового состояния электрона. Вектор квантового состояния находится при помощи функции в качестве аргументов которой выступают координаты (в виде углов) вектора Блоха. Вот вид этой функции:

  |ψ〉 = cos(θ/2)|0〉 + sin(θ/2)⋅e^iφ|1〉

Мы видим, что полярный угол задающий направление вектора Блоха (θ) также как и угол задающий направление при визуализации эксперимента Штерна-Герлаха (θ_device) задается целым углом θ. Но при нахождении значения |ψ〉 в качестве аргумента в функцию вычисляющую это квантовое состояние входит уже не целый угол θ, а половинный угол θ/2. И поэтому трудно понять рисунки сферы Блоха на которых вектор |ψ〉 изображается под углом θ. Но самым загадочным является то, что никто из авторов, приводящих такие странные рисунки, даже не пытается дать хоть какое-то объяснение этому факту.

Вектор Блоха задается при помощи действительных чисел и поэтому определен в R³. Но вектор квантового состояния определен на множестве C² так как в общем случае он является комплексным числом. Об этом говорится в следующей видеолекции Quantum Spin (3) - The Bloch Sphere. Поэтому будет правильно на сфере изображать вектор Блоха, а значение вектора состояния соответствующее этому вектору Блоха, выводить отдельно а не рисовать вектор состояния |ψ〉 на сфере Блоха.

Но почему в формулу квантового состояния входит половинный угол θ/2 ? Подробно этот вопрос разобран мной в главе 2 Противоположность и ортогональность в квантовой механике спина. В визуализации эксперимента Штерна-Герлаха значения +1 и -1 расположатся на противоположных точках диаметра. Полярный угол состояния спина θ_device будет соответствовать углу поворота прибора. Можно провести векторы из центра сферы к соответствующим точкам на поверхности сферы и принять эти векторы как некоторые объекты описывающие состояние спина. Эти векторы будут антипараллельными. Однако, с точки зрения математического описания спина, гораздо удобнее ввести способ, когда состояния +1 и -1 располагаются не на противоположных точках шара, а на векторах перпендикулярных друг другу. Такой способ позволяет к описнию спина применять методы линейной алгебры и использовать комплексные числа. Очевидно, что при этом соответствующие углы уменьшаются в два раза. Углы в математическом (спинорном) пространстве станут в два раза меньше, чем углы в реальном физическом пространстве. Скалярное произведение двух ортогональных векторов равно 0. Равенство 0 в скалярном произведении говорит нам о том, что в математическом пространстве векторы ортогональны. Но в физическом пространстве эти векторы будут лежать на одной прямой и при этом будут направлены в противоположные стороны.

Приведу цитату из книги Сасскинда "Квантовая механика": Но не путайте ортогональность векторов состояний с ортогональностью направлений в пространстве. В действительности направления вверх и вниз — это не ортогональные направления в пространстве, несмотря на то что связанные с ними векторы состояний ортогональны в пространстве состояний.

Этому факту (кроме книги Сасскинда) почему-то почти не уделяется внимание при описании математики квантового спина. Но если его принять во внимание и понять, что есть физическое пространство в котором находится электрон и есть совершенно другое, абстрактное математическое пространство, введенное специально для описания квантового спина, то становятся ясно почему появляются половинные углы. Если обратить внимание на замену противоположных векторов на ортогональные то, туман таинственности окружающий математику описывающую спин электрона, начнет рассеиваться.

Еще раз напомню, что подробно этот вопрос разобран мной в главе 2 Противоположность и ортогональность в квантовой механике спина.

На сфере Блоха полярные углы не уменьшены в два раза и следовательно показаны реальные направления спина, которые совпадают с вектором Блоха. Однако в большинстве статей и книг, как я уже говорил, почему-то изображают на сфере Блоха вектор состояния |ψ〉. Причем под углом θ, что категорически неверно. Если быть абсолютно корректными, то вектор состояния |ψ〉 вообще не должен присутствовать на сфере Блоха в силу того, что |ψ〉 определен в C², а вектор Блоха и вся сфера в R³. Конечно, так как сфера Блоха имеет единичный радиус, а вектор состояния |ψ〉 нормирован на 1, то можно каким-то образом натянуть вектор состояния на сферу. Можно попытаться на сфере Блоха изобразить вектор состояния |ψ〉 под углом θ/2, но как говорится не следует путать горячее блюдо с соленым - это совершенно разные вещи. Именно поэтому в библиотеке qiskit на сфере Блоха изображают только вектор Блоха.

А вот мнение по этому вопросу с одного англоязычного форума:

I hope that also clears up some of the confusion between the state vector and the Bloch vector which are two entirely different beasts.

В комментарии к видеолекции известного ученого (и профессора одного из лучших университетов в США) в области квантовых вычислений, посвященной сфере Блоха, можно найти также мнение в котором высказывается недоумение по поводу того, что в его лекции на рисунке сферы Блоха, вектор |ψ〉 отклонен на угол θ, и тут же рядом приводится формула для |ψ〉 в которую входит θ/2:

The “Bloch Sphere” in this figure is the most idiotic invention I have ever seen. It is called "do not believe your eyes." If you see the theta angle, then this is the 2 times smallest angle. But at the same time, if you see the angle phi, then this is the angle phi.

Я просмотрел полтора десятка лекций этого ученого и они произвели на меня хорошее впечатление, но его лекция о сфере Блоха оставила у меня неприятный осадок, и, судя по приведенной выше цитате, не только у меня.

Если сфера Блоха не подходит для визуализации вектора квантового состояния, то это не значит, что вектор квантового состояния вообще нельзя изобразить в программе визуализации. В главе 4 Визуализация квантового спина вектор состояния показан зеленым цветом, а направление спина электрона в физическом пространстве - синим. Данная визуализация не является визуализацией сферы Блоха.

В этой визуализации можно увидеть значение вектора состояния |ψ〉 для любого наперед заданного угла электрона в спинорном и физическом пространстве. В физическом пространстве угол θ имеет диапазон изменения от 0° до 720°, а в спинорном от 0° до 360°. Поэтому на сфере два оборота угла θ в физическом пространстве соответствуют одному обороту угла θ в математическом (спинорном) пространстве. Азимутальный угол φ в обоих пространствах имеет одинаковый диапазон изменения от 0° до 360°. Каждая точка на поверхности сферы задает единичный вектор в спинорном пространстве. В этой программе вектор состояния визуализируется в абстрактном математическом (спинорном) пространстве.

На мой взгляд такая визуализация гораздо лучше, чем сфера Блоха, поясняет математику квантовой механики спина.

Рассмотрим еще один аспект замены противоположности векторов на их ортогональность. Если внимательно прочитать первые три лекции книги Сасскинда "Квантовая механика", то можно заметить что первое появление комплексных чисел в этой книге связано именно с заменой противоположности векторов на их ортогональность. Вот что говорится в этой книге:

Являются ли комплексные числа в уравнениях (2.10) лишь вопросом удобства или это необходимость? При нашем подходе к спиновым состояниям нет возможности этого избежать.

Не знаю возможен ли другой подход к этому вопросу, но в главе 3 я попытался визуально показать на скриншоте появление комплексных чисел как результат введения ортогональности векторов (скриншот взят из визуализации приведенной в главе 4);

В главе 6 Квантовые вращения представлена программа визуализирующая квантовые вращения и основные операции используемые в однокубитных квантовых вентилях. Действие квантовых вентилий Паули и Адамара можно, наверное, лучше понять не по рисункам, а задавая одновременно вращения в интерактивной программе визуализирующей одновременно и работу этих вентилей, и повороты вектора Блоха в плоскостях, в которых действуют эти вентили.

В эту программу я добавил еще одну "фишку", которую вы не найдете ни в программах qiskit и qutip или в любых других программах квантовых вычислений. Одновременно с поворотами вектора Блоха на сфере, я делаю преобразование отображающее соответствующие точки на горизонтальную плоскость OXY и тем самым вектор квантового состояния |ψ〉 становится комплексным числом z на этой плоскости. Здесь мы подходим к очень сложной теме которая имеет название "теория спиноров". В этой теории число z задают в виде отношения двух комплексных чисел, которые называют компонентами спинора. Можете почитать на эту тему мой перевод трех разделов книги, которая мне кажется наиболее понятной: Изотропные векторы, стереографическая проекция и спиноры в сферических координатах. Эта книга называется "Twenty-First Century Quantum Mechanics: Hilbert Space to Quantum Computers". На русский язык она не переводилась.

В программе Квантовые вращения можно увидеть что происходит на комплексной плоскости при вращении вектора Блоха, то есть как изменяется число z. Обычно для выполнения такого преобразования используются достаточно сложные и громоздкие формулы. Но я использовал совершенно, на мой взгляд, очевидное решение: чисто геометрический способ - находил точку пересечения проецирующей прямой с плоскостью OXY.

В заключение выскажу свое предположение почему, по моему мнению, сфера Блоха изображена неверно на многих сайтах и в книгах. Тема квантовых вычислений стала становиться популярной в конце 1990-х годов. Вместе с этой темой стала привлекать к себе внимание и сфера Блоха. Сам термин "сфера Блоха", как я понял, появился примерно в это же время. Одной из первых книг посвященных квантовым вычислениям стала книга Нильсена и Чанга "Квантовые вычисления и квантовая информация". Сейчас эта книга выдержала больше десяти изданий и стала в некотором смысле "культовой" книгой. Поэтому могу только предположить, что википедия и большинство других источников информации при изображении сферы Блоха ориентировались на эту книгу. В издании этой книги на русском языке на странице 36 я вижу рисунок, который считаю неправильным. Но это только мое мнение и, возможно, многие со мной не согласятся.

Также, возможно, некоторые авторы, которые занимаются квантовыми вычислениями просто не хотят, или остерегаются трогать "священную корову", в которую превратился рисунок из книги Нильсена и Чанга. Но еще раз подчеркну, что это лично мое мнение.