В математике существует очень интересная тема, которая носит название «расслоение Хопфа». В 1931 году Хайнц Хопф опубликовал свою работу об открытой им в топологии конструкции, получившей в истории название «Hopf fibration» — расслоение Хопфа. Суть этой конструкции, была основана на геометрических разработках Уильяма Кингдона Клиффорда.

В поле зрение физиков‑теоретиков, однако, она впервые попала лишь сорок с лишним лет спустя, в 1970-е годы, из‑за прямых и непосредственных математических взаимосвязей между расслоением Хопфа и калибровочными симметриями в квантовой теории поля.

В данной небольшой статье рассмотрены некоторые основные моменты связанные с моим сайтом на котором рассматривается визуализация расслоения Хопфа.

А вот видео, которое показывает использование сайта для визуализации расслоения Хопфа.

Смысл расслоения Хопфа заключается в следующем. Обычную окружность можно назвать одномерной сферой в двухмерном пространстве — то есть на плоскости. Двумерная сфера должна уже располагаться в трехмерном пространстве, а трехмерная сфера — в четырехмерном пространстве. Но вместо обычного четырехмерного пространства удобно рассматривать двумерное комплексное пространство. Оно, по сути, также является четырехмерным.

Всю трехмерную сферу можно заполнить окружностями. Никакие две такие окружности не пересекаются. Это разбиение трехмерной сферы на окружности называется расслоением Хопфа. Сами эти окружности называются окружностями Хопфа или параллелями Клиффорда.

Для того, чтобы визуализировать расслоение Хопфа каждой окружности Хопфа сопоставляется точка но уже на двумерной сфере, которая называется сферой Римана. Также она часто назывется сферой Блоха или сферой Римана‑Блоха.

Вопрос заключается только в том — как осуществить это сопоставление. Можно посмотреть лекцию Алексея Савватеева или, хотя бы, первые семь минут лекции академика Анатолия Фоменко.

Но все это достаточно запутанно. Поэтому поступим несколько иначе. Для этого вспомнпм, что сфера Блоха используется для представления вектора состояния квантовой системы и на самом деле вектор состояния находится в двумерном комплексном пространстве. На моем сайте все это рассмотрено достаточно подробно. Поэтому можно считать, что каждой точке на сфере Блоха соответствует одна окружность Хопфа. Заметим, что название «сфера Блоха» и название «сфера Римана» — это два названия для одного и того же математического объекта. Изменяя вектор Блоха мы можем задать новую точку на сфере Блоха и, следовательно, тем самым новую окружность Хопфа.

С соответствием окружностям Хопфа точкам на сфере Римана‑Блоха мы в общих чертах разобрались. Осталось понять как рисовать окружности на экране дисплея. Обычно для этого используются кватернионы. Но их применение является достаточно сложным для понимания сущности процесса визуализации.

Поэтому вспомним про глобальную фазу в механике спина электрона. Квантовое состояние не изменится, если эту фазу изменить. Пусть глобальная фаза меняется в пределах от 0° до 360°. Тем самым мы получим некоторую окружность, которую можем сопоставить окружности Хопфа. На сайте это все показано достаточно подробно. Здесь я просто хочу заострить на этом внимание.

Еще следует обратить внимание на то, что сфера Римана‑Блоха представляет собой совершенно абстрактный математический объект. Поэтому, на всякий случай скажу, что не следует думать, что взяв некую точку на этой сфере, мы можем прикрепить окружность прямо в этой точке для визуализации. Все гораздо сложнее и также показано на сайте.

Если задать положение точки в произвольном месте сферы Римана‑Блоха, то мы не увидим всей красоты расслоения Хопфа. Но если будем использовать квантовые вращения вокруг пространственной оси заданной на сфере Римана‑Блоха, то увидим торы, состоящие из окружностей Хопфа. Если квантовое вращение осуществляется вокруг вертикальной оси Z, то торы будут симметричными. Если же вращение осуществляется вокруг пространственной оси не совпадающей с осью Z, то торы окажутся несимметричными. Почему это происходит нетрудно понять обратившись к следующей странице моего другого сайта Сфера Блоха и эксперимент Штерна‑Герлаха.

Вообще‑то эксперимент Штерна‑Герлаха играет основополагающую роль в понимании математики квантовой механики. Многие книги по квантовой механике, изданные на английском языке за последние годы, начинаются с описания того, как с помощью этого эксперимента можно объяснить основополагающие моменты математики спина электрона.

Существует тесная связь сферы Блоха с экспериментом Штерна‑Герлаха. Можно выстроить следующую последовательность:
 Эксперимент Штерна‑Герлаха ⇒ сфера Римана‑Блоха ⇒ квантовые вращения ⇒ расслоение Хопфа

Короткий видеоролик про связь эксперимента Штерна‑Герлаха со сферой Блоха и квантовыми вращениями.

Без понимания того, как происходят квантовые вращения на сфере Римана‑Блоха очень трудно понять расслоение Хопфа — по крайней мере при том подходе, который я использовал при создании своей программы визуализации.