Два физика, пытаясь разработать объединяющую теорию фундаментальных сил, столкнулись с бесконечно большим количеством новых уравнений для пи.

Число пи (π) появляется в самых маловероятных местах. Конечно, его можно найти в кругах, а также в маятниках, пружинах и изгибах рек. Это повседневное число связано с трансцендентными тайнами. Оно вдохновляло шекспировские головоломки, задачи по выпечке и даже на создание оригинальной песни. И пи продолжает преподносить сюрпризы — последний из них произошёл в январе 2024 года, когда физики Арнаб Прия Саха и Анинда Синха из Индийского института науки представили совершенно новую формулу для его вычисления, которую они позже опубликовали в журнале Physical Review Letters.

Саха и Синха не являются математиками. Они даже не искали новое уравнение для пи. Скорее, эти два струнных теоретика работали над объединяющей теорией фундаментальных сил, которая могла бы примирить электромагнетизм, гравитацию, сильные и слабые ядерные силы. Согласно теории струн, основными строительными блоками Вселенной являются не частицы, такие как электроны или фотоны, а крошечные «нити», которые вибрируют, как струны гитары, и тем самым вызывают все наблюдаемые явления. В своей работе Саха и Синха исследовали, как эти струны могут взаимодействовать друг с другом, и случайно открыли новые формулы, связанные с важными математическими величинами.

На протяжении тысячелетий люди пытались определить точное значение числа пи. Это неудивительно, учитывая полезность вычисления окружности или площади круга, которое позволяет сделать пи. Ещё древние учёные разрабатывали геометрические подходы к вычислению этой величины. Один из известных примеров — Архимед, который вычислил пи с помощью многоугольников: нарисовав n-гранный многоугольник внутри и снаружи круга и вычислив периметр каждого из них, он смог определить значение пи.

Распространённый метод геометрического определения пи заключается в том, чтобы нарисовать ограничивающий многоугольник внутри и снаружи круга, а затем сравнить два периметра.

Учителя часто преподают этот метод в школе. Но даже если вы его не помните, то наверняка представляете, что процесс довольно сложный. Архимед дошёл до того, что сравнивал периметры многоугольников с 96 вершинами, чтобы доказать, что пи находится между 3,1408 и 3,1429. Поэтому такой подход не совсем практичен для точного вычисления числа Пи.

В XV веке специалисты нашли бесконечные ряды как новый способ выразить пи. Складывая их числа одно за другим, можно получить значение пи. И чем больше слагаемых, тем точнее становится результат.

Например, индийский учёный Мадхава, живший с 1350 по 1425 год, установил, что пи равно 4, умноженным на ряд, который начинается с 1, а затем поочерёдно вычитает или прибавляет дроби, в которых 1 ставится над последовательно возрастающими нечётными числами (так 1/3, 1/5 и так далее). Выразить это можно следующим образом:

В формуле представлен способ вычисления числа пи с помощью ряда, разработанного индийским учёным Мадхавой.

Эта формула позволяет определить пи настолько точно, насколько вам нужно, очень простым способом. Чтобы разобраться в уравнении, не нужно быть мастером математики. Но вам понадобится терпение. Для получения точных результатов требуется много времени. Даже если вы оцените 100 слагаемых, вы всё равно будете далеки от цели.

Как выяснили более 600 лет спустя Саха и Синха, формула Мадхавы — лишь частный случай гораздо более общего уравнения для вычисления пи. В своей работе теоретики струн открыли следующую формулу:

Эта формула даёт бесконечно длинную сумму. Поразительно, что она не зависит от коэффициента λ, свободно выбираемого параметра. Независимо от того, какое значение имеет λ, в результате формулы всегда будет получаться пи. А поскольку чисел, которым может соответствовать λ, бесконечно много, Саха и Синха нашли бесконечное число формул пи.

Если λ бесконечно велико, то уравнение соответствует формуле Мадхавы. То есть, поскольку λ встречается только в знаменателе дробей, соответствующие дроби для λ = ∞ становятся нулевыми (поскольку дроби с большими знаменателями очень малы). Поэтому для λ = ∞ уравнение Сахи и Синхи принимает следующий вид:

Первая часть уравнения уже похожа на формулу Мадхавы: вы суммируете дроби с нечётными знаменателями. Последняя часть суммы (-n)_{n — 1}, однако, менее знакома. Подстрочный индекс n — 1 — это так называемый символ Похгаммера. В общем случае выражение (a)_n соответствует произведению a x(a + 1) x (a + 2) x ... x (a + n — 1). Например, (5)₃ = 5 x 6 x 7 = 210. Поэтому символ Похгаммера в приведённой выше формуле получается так: (-n)_{n — 1} = (-n) x (-n + 1) x (-n + 2) x ... x (-n + n — 3) x (-n + n — 2).

Несколько шагов к формуле Мадхавы

Все эти элементы сначала выглядят сложными, но их можно быстро упростить. Сначала вынесите -1 за скобки у каждого множителя. Таким образом, знак перед огромным произведением равен -1, если n нечётное, и +1, если n чётное, поэтому получается (-n)_{n — 1} = (-1) ⁿ x n x (n — 1) x (n — 2) x ... x (n — n + 3) x (n — n + 2). Последние коэффициенты можно упростить ещё больше: (-n) _{n — 1} = (-1) ⁿ x n x (n — 1) x (n — 2) x ... x 3 x 2 x 1.

Это удлинённое выражение на самом деле (-n)_{n — 1} = (-1)ⁿ x n!, в результате чего получается следующее:

Это соответствует формуле Мадхавы. Таким образом, уравнение, найденное Сахой и Синхой, также содержит ряд, открытый Мадхавой.

Однако, как сообщают два теоретика струн, пи можно вычислить гораздо быстрее для меньших значений λ. Если результат Мадхавы требует 100 членов, чтобы попасть в 0,01 от пи, то формула Саха и Синхи для λ = 3 требует только первых четырёх слагаемых. «В то время как ряд Мадхавы требует 5 миллиардов членов для сходимости к 10 десятичным знакам, новое представление с λ между 10 [и] 100 требует 30 членов», — пишут авторы в своей работе. Однако Саха и Синха не нашли самый эффективный метод вычисления числа пи. Уже несколько десятилетий известны другие серии, которые дают удивительно точное значение гораздо быстрее. По-настоящему удивительным в данном случае является то, что физики придумали новую формулу пи, когда их работа была направлена на описание взаимодействия струн. Они разработали метод, позволяющий определить вероятность того, что две замкнутые струны будут взаимодействовать друг с другом — то, что многие теоретики струн безуспешно искали на протяжении десятилетий.

Когда Саха и Синха внимательнее присмотрелись к полученным уравнениям, они поняли, что таким образом можно выразить число пи, а также дзета-функцию, которая лежит в основе гипотезы Римана, одной из самых больших неразгаданных тайн в математике. Учитывая интересы теоретиков струн, их формулы для числа пи и дзета-функции украшают лишь самый последний абзац их статьи. «Нашей мотивацией, конечно, не было найти формулу для пи, — сказал Синха в видеоролике на YouTube от Numberphile. — Пи было лишь побочным продуктом».