Математики из Ливерпульского университета в своей новой работе опубликовали несколько неизвестных ранее способов разбиения диска на равные части. Эта работа принадлежит к разделу геометрии, изучающему т.н. паркеты — замощение плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий. На работу учёных вдохновили поиски способов резки пиццы – знакомой большинству из нас процедуры.
При замощении плоскости геометрическими фигурами (плитками) можно ставить и решать разные задачи. Одна из самых интересных задач – использование моноэдрических плиток. В этом случае все плитки имеют одну и ту же форму, или, точнее говоря, конгруэнтны. Это значит, что две любые плитки можно совместить при помощи перемещений, поворотов или зеркального отражения.
Набор форм плиток, используемых для замещения плоскости, называют протоплитками. Интересно, что не существует математического метода, позволяющего заранее сказать, можно ли при помощи заданных протоплиток заместить плоскость. Например, известно, что из следующих 24 гептамондов (фигур, составленных из семи равносторонних треугольников) лишь один непригоден для моноэдрического замощения плоскости. Но какой именно?
В данном случае – V-образный. Но доказательство этого – задача довольно нетривиальная.
Впрочем, ливерпульские математики вместо целой плоскости ограничились диском и занялись поисками моноэдрических протоплиток, подходящих для деления диска. Один вариант такой протоплитки известен всем. При стандартном способе резки пиццы она делится на равные дольки треугольной формы, вершины которых сходятся в центре диска. Учёные же решили ответить на вопрос – существуют ли такие деления диска на равные фигуры, при которых не все из этих фигур касаются центра диска?
То есть, можно ли разрезать пиццу на равные части так, чтобы угодить и тем, кто любит побольше начинки, и тем, кто любит побольше корочки? Оказалось, что можно. Более того, один вариант такой резки известен достаточно давно, и расположен на логотипе сообщества Университета штата Пенсильвания, организовывающего математические семинары для студентов:
Фигурные дольки можно поделить пополам, и все части получатся конгруэнтными, при этом лишь половина из них будет касаться центра.
Математики развили эту идею и предложили свои способы деления диска на практически бесконечное количество равных частей.
Как это часто бывает в математике, возможности применения идей работы на практике не совсем очевидны – разве что, использование пиццерией нестандартной резки пиццы в качестве конкурентного преимущества. Но с другой стороны, предсказать, каким образом математическое открытие сможет пригодиться в будущем, тоже невозможно.
Комментарии (31)
betony
12.01.2016 21:02+1Да, был бы способ просто и быстро делить пиццу на разное число одинаковых кусков… Пока же самым просты остается разрезание по диаметру, причем угол на глаз часто оказывается слегка неверным
stalinets
12.01.2016 21:43+3Нужно ещё учесть, что в каждом кусочке должно быть одинаковым соотношение количества теста с края пиццы и количества сердцевинки. Иначе клиенты будут недовольны. Поэтому из всех девяти схем, представленных на картинке в статье, годится только левая верхняя.
А вообще нарезать пиццу нестандартно — интересная фишка.
CrazyViper
14.01.2016 12:26Вы видимо невнимательно статью читали:
То есть, можно ли разрезать пиццу на равные части так, чтобы угодить и тем, кто любит побольше начинки, и тем, кто любит побольше корочки?
Как раз смысл такой нарезки в том, чтобы соотношение теста было неодинаковым.
valemak
12.01.2016 22:42+12Задача очень даже может найти практическое применение.
К примеру, нужен очень большой предмет идеально круглой формы (для чего — не спрашивайте, например это какая-то часть некоего сооружения, платформа какая-то, потолок и вообще что угодно). Целиком его отливать будет сложно, дорого или вообще невозможно. Зато, можно на 3D-принтере нашлёпать таких относительно небольших деталей и затем собрать из них такой круг. При этом замена изношенных частей будет очень быстрой — абсолютно неважно в каком месте отвалится кусочек, быстро печатаем стандартную фигуру — и вуаля.
Также стоит обратите внимание, что «лепестки» удобно сгинать по линиям (если некоторые другие линии разрезать), они при этом полностью и идеально ложатся друг на друга, совпадая не только по площади но и по направлению. Это можно как-то использовать в технике, создавая своеобразные круги-трансформеры. Например, создать пилу-болгарку, которая без смены диска может менять размеры и/или количество зубцов (в раскрытом виде — круглый большой диск для резки металла, в собранном виде — диск меньшего размера но с зубьями, для резки дерева).
Color
12.01.2016 23:41+2на счет диска для пилы я бы не рискнул — высока вероятность, что эти «лепестки» при высоких оборотах*изношенности механизма разлетятся во все стороны, что будет больно и обидно
valemak
13.01.2016 00:06+1Тут согласен. Но может, в будущем подобные «самонастраивающиеся болгарки» будут удобны, к примеру, для автономных роботов, без присутствия людей занимающихся разработкой полезных ископаемых на астероидах.
alexkalmuk
13.01.2016 00:43+1Например, создать пилу-болгарку, которая без смены диска может менять размеры и/или количество зубцов
Думаю что размер менять будет сложно :) Из деталей для диска большего радиуса получится создать диск меньшего радиуса только с зубьями, т.к. у них кривизна окружностей разная, и поэтому «детали» не подойдут.
a_batyr
13.01.2016 12:05+3нужен очень большой предмет идеально круглой формы
Зеркало телескопа. Долой шестиугольники, в будущем будут только идеально круглые зеркала :)
FransuaMaryDelone
13.01.2016 07:07Неплохой популяризаторский материал, но название статьи навевает мысли, что ученые нужны, чтоб развлекать обывателей. Вообще, западный стиль популяризации и рекламы научной деятельности — игровой, клоунский какой-то — вроде как несерьезное хобби.
Zzzuhell
13.01.2016 11:14+2Все упирается в нож для разрезания пиццы. Им крайне сложно сделать криволинейный рез. И если разделка сырого теста таким ножом еще позволяет «кривить», то плотную, пропеченную пиццу с начинкой и по прямой-то разрезать нелегко.
Проверено на себе, если что :)
ЗЫ Ждем вырубные пицце-прессы с фигурными ножами?
impwx
13.01.2016 13:52+1Так и не понял, в чем суть «открытия». Единственная нетривиальная конфигурация, по которой можно разрезать круг — это самая первая, взятая из существовавшего много лет логотипа. А дальше что, внезапно оказалось, что сегмент круга делится не только на 2 части, но на сколько угодно вдоль лучей?
owniumo
13.01.2016 13:55Книга Гарри Линдгрена «Занимательные задачи на разрезание» 1977г.
http://secunda-m.narod.ru/pic_chr/h012_1.jpg
(img scr ну никак)
RomanPyr
13.01.2016 16:36Пиццериям, на самом деле, должно хватать двух способов нарезки: на чётное и на нечётное число кусков.
Стандарт сейчас — 8 кусков. Но компаниям из трёх (особенно) и пятерых человек это неудобно.
В статье этого разделения не увидел.vlivyur
13.01.2016 17:08Маленькие на 6 делят. а пятеро одной пиццей не наедятся.
RomanPyr
13.01.2016 17:15Маленькие, а большие? Отлично бы на 6 делились или на 9.
Пятеро одной пиццей не наедятся, а вот двумя — вполне. Только при 8-кусочной нарезке, всё равно лишний остаётся.
И даже 3 пиццы при 8 кусках для пятерых ущемляют.
darkfrei
14.01.2016 00:30Пиццерия произведений простых чисел!Пиццерия факториала! Режем на 720 частей, но на 7 людей уже не поделите.
Xazzzi
Откровенно говоря, не пойму что такого нового в том, что равные части пиццы можно разделять на ещё больше равных частей.
Да и делить пиццу таким образом смогут разве что сытые люди.
GavriKos
Смысл в том, чтобы все части были одинаковы не только по площади, но и по форме. Ну и подпункт — чтобы не все касались центра.
darkfrei
Осталось только придумать как этими фигурами замостить плоскость.
Ogoun
Геометрия Эшера