Девочка и мальчик — метисы хаски (да, да, природа прекрасна и удивительна) жили на стройке в трубах, в феврале 2025 года спасены волонтерами, откормлены, отмыты и подлечены. Сейчас у них появились хозяева и теперь, очень надеемся, их будут навсегда "Кормить, любить и никогда не покидать!". Про любовь может быть как-нибудь в другой раз, а сегодня поговорим про "кормить".

Канули в лету времена, когда своих маленьких друзей все кормили "со стола".

Сегодня в  стране сформировалась полноценная отрасль кормов для непродуктивных  животных. Так на профессиональном языке называют наших домашних любимцев. Это название нам кажется неправильным. Они очень даже продуктивные. Их продукция это любовь и преданность, наши позитивные эмоции, прогулки в любую погоду и многие другие радости жизни.

Чаще всего домашних собак и кошек мы кормим влажными консервированными кормами. Давайте поговорим о производстве таких кормов, узнаем чем F-фактор критически важен и зачем ему самому нужен кригинг.

Петфуд относительно новая отрасль, а потому крупные производители оснащены передовым оборудованием мирового уровня. Все технологические операции важны и каждая существенным образом влияет на качество продукции. Но есть одна критически важная операция, нарушения которой могут разорвать хомячка в клочья могут сделать продукт полностью непригодным и даже опасным. Это технологическая операция автоклавирования, в ходе которой осуществляется промышленная стерилизация консервированного влажного корма.

Несколько слов про промышленную стерилизацию

Современные автоклавы похожи на батискаф. Они огромны, опутаны проводами и трубами, обвешаны датчиками и механизмами, высоко автоматизированы и управляются по протоколам реального времени. А еще около них шумно и жарко.

Сами же принципы стерилизации остались прежними от Николя Аппера и до настоящего времени. Обычно это подразумевает использование выдержки и температуры, которые:

• достаточно продолжительны и высоки для уничтожения патогенных микроорганизмов, но

• при этом не чрезмерны, чтобы сохранить вкус и питательные свойства продукта.

  Для пищевых продуктов величина нужных температур находится в районе 120°C. Она в современных условиях создается в форме паровоздушной среды с душированием в герметичном объеме автоклава.

• Степень достаточности воздействия определяется по значению показателя летальности патогенных микроорганизмов: F-фактору. Его можно вычислить по эмпирической кумулятивной формуле Флауменбаума.

• Критерий промышленной стерильности для  малокислотных  продуктов (рыба, мясо): F-фактор больше 10.

Подробный научный обзор традиционных подходов к выбору и управлению тепловыми режимами стерилизации,  перспектив и исследований в этой области можно найти здесь.

Таким образом, разработчик режима находится в ситуации выбора:

• между плохим (переварить продукт) и

• недопустимым (недостерилизовать).

Цена ошибки недостерилизации настолько выше альтернативной ошибки, что заставляет перезакладываться и завышать параметры тепловой обработки. Что в свою очередь "может приводить к ухудшению текстуры, вкуса, аромата и пищевой ценности".

Для человеческой еды работает принцип "покупатель голосует ногами". В случае петфуда покупатель ориентируется на дизайн упаковки с его  "нежным филе лосося/кролика/утки в ароматном желе/соусе", полнорационностью и комплексом витаминов с минералами. Но конечным потребителем он не является. И если плотность текстуры еще можно оценить, то все остальное - только в сертифицированной лаборатории.

Сколько раз за последний год вы это делали?

В наибольшей степени перевар вредит премиальным продуктам с высокой сырьевой себестоимостью (качественные мясо, рыба, субпродукты, витаминные премиксы, натуральная ферментационная вкусоароматика) и, соответственно, высокой ценой на полке.

Справедливости ради надо упомянуть ситуацию, когда перевар обоснован. Его иногда используют при автоклавировании продуктов эконом-класса из сырья с высоким содержанием коллагенов (аналоги для человеческой еды  это, например,  холодец, хаш, зельтц).

Крупные производственные компании самостоятельно занимаются исследованиями в области разработки тепловых режимов стерилизации, либо заказывают их. У остальных, как правило, выбора нет. Они пользуются справочными таблицами и вынуждены перезакладываться. Есть ли выход?

Да, он известен давно. Это моделирование. Построение моделей процесса, их калибровка на реальных производственных данных и последующее применение позволяют сделать процесс выбора режимов тепловой обработки более осознанным и обоснованным.

Далее мы  представим три модели автоклавирования с нарастающей сложностью.

1. Простую однодатчиковую с управлением процессом по F-фактору.

2. Многодатчиковую с тепловыми шумами.

3. Модель с  3D-интерполяцией температурного поля и поля F-фактора ординарным кригингом.

Для каждой из моделей попробуем раскрыть  возможные аспекты практической полезности.

Перед тем, как заняться моделированием сделаем важное замечание:

"Все модели неточны, но некоторые полезны". Это цитата из работы Дж. Бокса, того самого из Бокса-Кокса, который известен специалистам по данным по одноименному преобразованию.

• Полезность позволяет осознанно перемещаться в пространстве параметров.

• Неточность подразумевает, что не следует полностью полагаться  на результаты моделирования. Должны быть выполнены все нормативно установленные процедуры обеспечения микробиологической безопасности.

Простая однодатчиковая модель с управлением по  F-фактору

%%writefile /content/autoclave_simulation_single/.env
# -------------------
# Параметры стерилизации
# -------------------
#
T_START=20            # Начальная температура автоклава, °C
T_MAX=122             # Максимальная температура автоклава, °C
T_HOLD=5              # Время выдержки при максимальной температуре, мин
T_COOL=25             # Температура охлаждения автоклава, °C
R_HEAT=3              # Скорость нагрева, °C/мин
R_COOL=5              # Скорость охлаждения, °C/мин
T_PROD_START=20       # Начальная температура продукта, °C
TAU=8                 # Время проникновения, мин
T_PROD_END=30         # Температура продукта для остановки процесса, °C
T_RECYCLED_WATER=20   # Температура рециркулирующей воды, °C
F_TARGET=10.0         # Целевой F-фактор

На поверхностном уровне процесс выглядит достаточно просто. Продукт, допустим паучи, размещается  в один слой на перфорированных листах, а те через дистанционные перфорированные прокладки укладываются в сетчатые корзины. Корзины закатываются в автоклав. Цикл состоит из нагрева, выдержки и охлаждения.

Температура в продукте запаздывает на величину , которая в основном должна зависеть от размера и типа упаковки, консистенции продукта (в продуктах с более жидкой консистенцией проникновение тепла быстрее за счет конвекции).

По принципу "что наступит раньше" процесс может управляться:

• По классической формуле стерилизации через задание времен нагрева, выдержки и охлаждения.

• По целевому значению показателя летальности F-фактору (таргету).

Во втором случае в продукт помещается проводной или беспроводной датчик и на каждом временном шаге по формуле Флауменбаума рассчитывается показатель летальности. Когда его величина достигает целевого значения этап выдержки при температуре стерилизации завершают и переходят к этапу охлаждения.

Второй подход точнее, но более трудоемок. На практике  для каждого вида продукта с использованием нескольких датчиков нарабатывают статистику и по ней формируют значение выдержки.  Внутренние процедуры предприятия могут содержать требования по периодичности контрольных варок (с датчиками) для отслеживания дрейфа процесса. Производители автоклавов в рамках периодического сервисного обслуживания рекомендуют проводить комплексные валидации с более детальным контролем равномерности теплового поля.

На рисунке 2 видно запаздывание температуры продукта. Оно задается моделью первого порядка, параметризуемой величиной , которая подбирается под вид продукта. F-фактор, как и в реальном процессе, рассчитывается по Флауменбауму. График давления моделируется уравнением Антуана для воды и соответствует давлению насыщенного пара. На практике,  используют дополнительное противодавление. Оно позволяет компенсировать избыточное давление внутри упаковки продукта. В статье мы ограничиваемся только тепловыми аспектами стерилизации, график давления построили один раз в познавательных целях.

Обратим внимание:

• На две вертикальных линии:

  • остановку выдержки при температуре стерилизации и  

  • остановку или завершение всей технологической операции по достижению температуры охлаждения продукта.

• На то, что итоговый таргет превышает целевой. Это связано с тепловой инерционностью продукта. На практике это означает, что можно остановиться раньше. Насколько? Для ответа  на этот вопрос и создают модели.

Практическая полезность, примеры:

1. Зафиксировав целевое значение, например, F-фактор = 12 и выбрав управляемый параметр, например, температуру стерилизации T_MAX = [120, 121, 122, 123, 124, 125] °C, можно оценить требуемое время выдержки и продолжительность технологической операции, значение итогового F-фактора как зависимости от температуры стерилизации.

2. Загрубив (сделав очень высоким) целевой F-фактор, например F_TARGET = 100 и варьируя время выдержки T_HOLD, можно получить зависимость итогового F-фактора от времени выдержки.

Аналогичные эксперименты можно провести с другими наборами параметров.

Эта модель — рабочий инструмент технолога. Кстати говоря, примерно с такой моделью, в далеком уже 2015 году, по кафедре "Информационных технологий и программирования" НИУ ИТМО была с отличием защищена бакалаврская выпускная квалификационная работа.

Посмотрим не на модельные,  а на обезличенные реальные диаграммы автоклавов разных производителей (их можно сравнить с модельным графиком на рисунке 2).

Что мы видим в сравнении с модельным графиком:

1. На первом графике кривые температур продукта имеют разные задержки к кривой температуры автоклава и, как следствие, итоговый F-фактор разнится. Значит тепловое поле неоднородно.

2. Вариации итоговых значений F-фактора выше вариаций температур. А ведь температурная шкала это около сотни, а F-фактор около двух десятков. Значит относительная разница еще больше.

3. Артефакт в виде ступеньки посредине кривой температуры автоклава на этапе охлаждения связан с контролем снижения давления и мы на это не обращаем внимания. Но и без него   кривые  шумные. Кривые температур продукта шумны меньше, это эффект усреднения при прогреве продукта. Кумулятивные кривые F-фактора наименее шумны.

Будем ближе к жизни, добавим датчиков и шумы.

Многодатчиковая модель  с шумами

%%writefile /content/autoclave_simulation_multisensory/.env
# -------------------
# Параметры стерилизации
# -------------------

# Начальная температура автоклава, °C
T_START=20
# Максимальная температура автоклава, °C
T_MAX=122
# Время выдержки при максимальной температуре, мин
T_HOLD=25
# Температура охлаждения автоклава, °C
T_COOL=20
# Скорость нагрева, °C/мин
R_HEAT=3
# Скорость охлаждения, °C/мин
R_COOL=5
# Начальная температура продукта, °C
T_PROD_START=20
# Время проникновения, мин
TAU=8
# Температура продукта для остановки процесса, °C
T_PROD_END=30
# Температура рециркулирующей воды, °C
T_RECYCLED_WATER=20
# Целевой F-фактор
F_TARGET=10.0

# -------------------
# Параметры датчиков. Списки задаются по образцу: LAYER_INDICES=1,4,9
# или LAYER_INDICES= для пустых списков
# -------------------
# Количество датчиков
N_SENSORS=3
# Список датчиков без шума температурного поля
FIELD_ZERO_INDICES=
# Список датчиков с форсуночным шумом
NOZZLE_INDICES=1
# Список датчиков с шумом из-за укладки
LAYER_INDICES=2
# Толщина укладки для всех датчиков: 1-норма, 2 и более ухудшающий множитель
THICKNESSES=1,1,2
# Индекс датчика, по которому управляется процесс
CONTROL_SENSOR_INDEX=0
# Параметр шума теплового поля
FIELD_SIGMA=2.5
# Параметр форсуночного шума
NOZZLE_SIGMA=3

На диаграммах мы видим, что очень небольшие разницы в задержках, например, для кривых  1 и 2, приводят к существенно различающимся значениям итогового F-фактора. Так работают процессы с кумулятивным эффектом. Ту же картину мы наблюдали на диаграммах реального процесса на рисунке 3.

В этой модели вводится понятие теплового шума, как артефакта, модУлирующего значение параметра . Используется три типа шумов:

1. Общий шум  теплового поля с параметром FIELD_SIGMA.

2. Локальный для датчика форсуночный шум с параметром NOZZLE_SIGMA. Причина возникновения - засор душирующих форсунок.

3. Локальный для датчика двухпараметрический укладочный шум с параметрами LAYER_INDICES и THICKNESSES. Причины возникновения - нарушения, вызывающие затруднения доступа теплоносителя к продукту:

   • укладка более чем в один слой, смещения продукта при закатывании корзин;

   • прогиб/искривление/трещины перфорированных прокладок;

   • нарушения в размещении дистанционных профилей и другие, аналогичные по действию факторы.

Параметры должны быть откалиброваны в ходе экспериментов для определенного вида продукта.

Практическое использование:

То же, что и для первой модели, но с учетом соответствующих неисправностей и нарушений. Инструмент технолога и специалиста, обслуживающего и валидирующего автоклавы.

Три датчика это лучше одного. Но автоклав большой и хотелось бы больше. Есть проблема. Процессные датчики дороги, да и сама их установка стоит денег. А еще их надо правильно установить внутри упаковки продукта и обеспечить ее герметичность. С ростом количества кроме затрат растет и вероятность ошибок.

А что если использовать интерполяцию?

Модель с  3D-интерполяцией температурного поля и поля F-фактора

В качестве модели для пространственной интерполяции  избран ординарный кригинг с реализацией в наборе инструментов GSTools.

Почему кригинг.

Ключевое преимущество кригинга перед детерминированными методами - способность давать статистические оценки  точности интерполяции. Это принципиально важно для чувствительных производственных процессов, где необходима измеряемая уверенность в результате.

Почему ординарный кригинг.

Для нас интересны две области процесса.

1. Для интерполяции температурного поля нам интересна короткая временная область, где происходит остановка выдержки при температуре стерилизации. В этой области температура автоклава находится в режиме стабилизации, скорость увеличения температуры в продукте незначительна.

2. Для интерполяции поля F-фактора нам интересна короткая временная область в конце технологической операции. В этой области его график демонстрирует насыщение.

Эти обстоятельства дают нам возможность полагать, что ограничения метода в виде стационарности второго порядка реализуются. Кроме того, инструменты GSTools включают возможность детрендирования.

Про кригинг для начала можно почитать здесь.

%%writefile /content/autoclave_simulation_multisensory_kriging_ord/.env
# -------------------
# Параметры стерилизации
# -------------------
#
# Начальная температура автоклава, °C
T_START=20
# Максимальная температура автоклава, °C
T_MAX=121.1
# Время выдержки при максимальной температуре, мин
T_HOLD=35
# Температура охлаждения автоклава, °C
T_COOL=20
# Скорость нагрева, °C/мин
R_HEAT=3
# Скорость охлаждения, °C/мин
R_COOL=5
# Начальная температура продукта, °C
T_PROD_START=20
# Время проникновения, мин
TAU=8
# Температура продукта для остановки процесса, °C
T_PROD_END=30
# Температура рециркулирующей воды, °C
T_RECYCLED_WATER=20
# Целевой F-фактор
F_TARGET=12

# -------------------
# Параметры датчиков Списки задаются по образцу: LAYER_INDICES=1,4,9
# или LAYER_INDICES= для пустых списков
# -------------------

N_SENSORS=6

# Корзина, слой, нормализованные координаты x и y
SENSOR1=1,1,0.5,0.2
SENSOR2=2,4,0.5,0.5
SENSOR3=3,8,0.5,0.8
SENSOR4=4,1,0.5,0.2
SENSOR5=5,4,0.5,0.5
SENSOR6=6,8,0.5,0.8

# Список индексов датчиков без влияния шума теплового поля
FIELD_ZERO_INDICES=
# Список индексов датчиков с влиянием форсуночного шума
NOZZLE_INDICES=1,2
# Список индексов датчиков с влиянием шума укладки
LAYER_INDICES=4
# Кратность шума укладки: 1 - отсутствие, 2 и более - кратность
THICKNESSES=1,1,1,1,2,1
# Индекс датчика по которому управляется процесс
CONTROL_SENSOR_INDEX=0
# Параметр шума теплового поля
FIELD_SIGMA=4
# Параметр форсуночного шума
NOZZLE_SIGMA=6

# -------------------
# Параметры автоклава и корзин
# -------------------

BASKET_SIZE=0.9
LAYERS_PER_BASKET=8
DIAMETER=1.3
LENGTH=5.6
NUM_BASKETS=6

# -------------------
# Параметры кригинга
# -------------------

# Сетка кригинга по осям
NX=540
NY=90
NZ=90

# https://geostat-framework.readthedocs.io/projects/gstools/en/stable/examples/02_cov_model/index.html#tutorial-02-cov
KRIGING_MODEL=Exponential
# Амплитуда вариограммы — максимальное значение при больших расстояниях
KRIGING_VAR=1.0
# Длина корреляции
KRIGING_LEN_SCALE=2.0
# Значение вариограммы при нулевом расстоянии (nugget effect)
KRIGING_NUGGET=0.01

Поговорим немного про новые параметры модели.

• Мы вводим параметры автоклава - длину, диаметр, количество корзин, размеры корзин, количество слоев в которые укладывается продукт. Все параметры реалистичны, за исключением количества слоев. Мы сознательно уменьшили их в интересах лучшей визуализации.

• Мы вводим параметры размещения датчиков - номер корзины, номер слоя (он задает координату высоты - z по средине слоя), нормализованные координаты по длине и ширине корзины (координаты x и y соответственно, в нормализованных по отрезку [0, 1] долях от  размеров корзины. В нашем случае 0.9 метра по всем осям). Пояснение. Мы используем три системы координат:

  • "Корзиночную": (x, y , номер слоя) - она описана выше.

  • "Автоклавную": (x, y, z), где начало системы находится по x - в начале первой корзины, по y - посредине ее ширины, по z - посредине ее высоты. То есть абсцисса - совпадает с осью симметрии автоклава.

  • "Автоклавно-кригинговую": (x', y', z') где значения автоклавных координат отображаются на сетку кригинга, задаваемую параметрами:

NX=540
NY=90
NZ=90

Первая система удобна для задания положения датчика в корзине. Вторая - для моделирования. Третья - для интерполяции с разумным разрешением.

В примере шесть датчиков. Мы разместили их по одному в центре по x каждой корзины. В каждой тройке корзин образована пространственная диагональ в направлениях слева - направо, снизу - вверх. На визуализациях это будет видно.

• По шумам:

  • Все датчики модулируются общим шумом поля.

  • Управление процессом по датчику с индексом 0.

  • Форсуночный шум у индексов 1, 2.

  • Шум укладки у индекса 4.

• Мы вводим параметры кригинга:

  • Сетку кригинга - дискретную размерность пространства интерполяции. В нашем примере она определяется разрешением в один сантиметр (NX=540 - это 540 разделить на шесть корзин с размером по x=90 см).

  • Ковариационную модель, описывающую как значения случайного поля коррелируют в зависимости от расстояния между точками. В нашем примере использована модель Exponential.

  • И три специфических параметра кригинга: амплитуду вариограммы — максимальное значение при больших расстояниях, длину корреляции и значение вариограммы при нулевом расстоянии. В нашем примере длина корреляции задана так, что на интерполяцию, в основном, влияют только два ближайших соседних датчика. Значение вариограммы при нулевом расстоянии определяется примерным размером продукта по толщине.

На рисунке 6 все похоже на предыдущую модель. Графики для датчиков с индексами 0, 3, 5 практически совпадают.

Переходим к веселым картинкам.

• Визуализации 3D температурного поля построены на момент остановки выдержки с cmap='inferno', нормализованным по диапазону [118, 122].

• Визуализации 3D поля F-фактора построены на момент завершения процесса с cmap='seismic', нормализованным по диапазону [0, 20] и центрированным по значению 10. Проще говоря - оттенки синего это плохо, а оттенки красного - хорошо.

На диаграммах видны проблемные места во второй, третьей и пятой корзинах. Причем, по вертикальному срезу можно локализовать даже слои. И если бы нам пришлось "карантинить" продукцию, то это можно было бы делать выборочно, построив дополнительные срезы для большей детальности. Напомним, у нас разрешение в один сантиметр.

Итог: понятно, что проблема есть, она локализуется, но не понятен масштаб проблемы - насколько все плохо. А может и не совсем плохо?

Для ответа на этот вопрос строим поле F-фактора.

Проясняется масштаб проблемы. В карантин едут только две корзины. Можно построить дополнительные срезы для четвертой и "закарантинить" отдельные слои. Примерный проблемный объем - около 12%.

Внимательный читатель может заметить разницу итогового F-фактора для нулевого датчика на рисунках 6 и 15. Две причины:

• Погрешности пересчета в системах координат (мы об этом говорили выше), но это не главное.

• Так работает кригинг. На рисунке 15 значение читается из кригинговой сетки и оно кроме того, что сетка дискретна, увязано на параметр KRIGING_NUGGET=0.01 (буквально "самородок", что выдает геологические корни метода). Выше мы объясняли статистический смысл параметра. Если его увеличить, увеличится и разница значений.

Однако проблему надо решать. А что, если увеличить целевой F-фактор с 12 до 20?

Пожалуйста.

Да, небольшой перевар. Можно уменьшить цель и попробовать еще раз.

Применение модели в реальном процессе позволит локализовывать проблемные зоны автоклава, принимать обоснованные решения по качеству и параметрам проведения технологической операции в самых разных производственных ситуациях.

Естественным образом этому должна предшествовать ее калибровка и оптимизация гиперпараметров.

Kригинг и Predictive maintenance

Predictive maintenace (прогностическое обслуживание (ПрО)) парадигма технического обслуживания, которая на витке эволюционной спирали следует за "не трожь механизм пока он работает" и плановым техобслуживанием, знакомым многим по собственным автомобилям. В основе ПрО наблюдение за параметрами, связанными с деградацией оборудования. Хорошо, когда эти параметры близки к целевому предназначению. В нашем случае таким параметром может быть равномерность поля F-фактора.

• Параметр непосредственно связан с целью технологической операции, он ее практически измеряет и задает.

• За счет кумулятивного эффекта чувствительность параметра выше, чем у параметра, связанного с равномерностью температурного поля (это стандартный параметр, используемый при валидации автоклава).

• Поле F-фактора накапливает информацию по динамике температуры за весь цикл стерилизации в противовес температурному полю, которое информационно локально по времени.

Идея лежит на поверхности.

• Для условно идеального состояния автоклава (после проведения ТО) в процессе выполнения технологической операции строится, запоминается и хранится 3D интерполяционное поле F-фактора.

• Затем, по происшествии времени проводится технологическая операция с идентичными продуктом, схемой размещения датчиков и формулой стерилизации, и также фиксируется интерполяционное поле.

• По двум трехмерным полям с помощью kernel density estimation (KDE) либо иным способом оцениваются две глобальные функции плотности распределения, визуализируются и сравниваются. При необходимости можно построить маргинальные распределения по одной оси, либо срезы по парам осей, трехмерные визуализации проблемных областей.

• По результатам сравнения принимается решение о степени деградации оборудования и необходимости проведения регламентных работ.

• В качестве скалярной величины, характеризующей расхождение между двумя состояниями оборудования используется дивергенция Кульбака-Лейблера (DKL).

• По мере набора статистических данных определяется пороговое значение DKL, которое в дальнейшем выступает в качестве критерия необходимости проведения регламентных работ на оборудовании. Пороговое значение может определяться балансом затрат:

  • на удлинение цикла автоклавирования для компенсации деградации и

  • стоимости регламентных работ и связанного с ними простоя.

Дизайн эксперимента с ПрО и деградацией по причине засорения форсунок душирования

Расположение датчиков, параметры автоклава и кригинга те же, что и в предыдущем разделе.

Для повторяемости параметров стерилизации мы управляемся по времени выдержки равном 25 минутам. Это на исправном оборудовании обеспечивает на всех датчиках F-фактор выше десяти.

Мы рассмотрим три состояния оборудования.

• Условно идеальное после ТО - форсуночный шум слабый, он локализован в месте расположения двух датчиков.

• Промежуточная деградация - форсуночный шум средний, под его воздействием три датчика.

• Сильная деградация - форсуночный шум выше среднего, он действует на четыре датчика.

Параметры и результаты экспериментов

По мере деградации оборудования при одном и том же времени выдержки распределения смещаются в область необеспечения критерия летальности частично либо практически полностью. Кроме того у них удлиняются хвосты. Для нормализации синее распределение нужно "подвинуть" по F-фактору на четыре единицы. Это удлинение выдержки и стоит дополнительных денег - производственная себестоимость вырастет за счет:

• снижения удельной производительности в единицу времени и

• дополнительного расхода ресурсов (пар, электроэнергия, заработные платы).

Визуализация наглядна и вместе с оценкой DKL позволяет почувствовать разницу. Под спойлером есть данные температур, полученных в эксперименте. По ним одним даже специалисту не всегда понятна общая картина.

Так можно посмотреть на проблемные области поля 1 (желтое распределение на рисунке 22). Визуализация дополняет предыдущую, она локализует места десяти процентов точек с самыми низкими значениями F-фактора. И по ней уже можно строить сечения по аналогии с рисунками 12 - 15.

На визуализации по поведению желтой кривой в области ее минимума можно лучше понять 3D график на рисунке 23.

Несколько слов про дивергенцию Кульбака-Лейблера. В связи с популярностью ML/DL она стала известна широко, но при ее использовании нужна осторожность. Она не симметрична, а потому не является метрикой. В верхней части рисунка 22 специально приведены два варианта расчета. В качестве мнемонического правила можно сопоставить с DKL известный анекдот про то, как у вольера висит надпись про "крокодила нильского, от хвоста до носа семь метров от носа до хвоста - восемь". На вопросы удивленной публики служитель отвечает, что мол наш крокодил, как хотим, так и меряем.

На этой жизнеутверждающей ноте, начав с собак, закончим крокодилом.

Про статистические оценки точности интерполяции и динамическую фильтрацию без запаха для ошибок измерения температуры, возможно в следующий раз.

Сергей Сюр