В данной статье приводится краткое авторское объяснение одной из самых значимых нерешенных проблем в алгебраической геометрии, в частности комплексной алгебраической геометрии, и алгебраической топологии, и по совместительству одной из задач тысячелетия, — гипотезе Ходжа.

Данная гипотеза утверждает, что каждый класс Ходжа регулярного проективного многообразия над является рациональной линейной комбинацией классов когомологий алгебраических циклов.


Пусть одно из следующих полей: поле комплексных чисел, конечное поле, числовое поле; два последних поля мы беспрепятственно можем объединить в более широкий класс, рассматривая конечно порожденное поле над своим простым подполем.
В каждом из случаев мы так или иначе рассматриваем категорию гладких проективных многообразий над с соответствующими морфизмами, и также в каждом из случаем мы имеем естественную абелеву категорию (на самом деле, рассматриваются моноидальные категории, наделенные некоторой дополнительной структурой относительно ): для комплексного случая — категория чистой структуры Ходжа, в остальных случаях — категории -адических представлений абсолютной группы Галуа .

Рассматриваемая когомология дает нам функтор из категорий гладких проективных многообразий в последние вышеназванные категории. В комплексном случае это возможно ввиду теории Ходжа, в конечном и числовом случае — ввиду теории этальных когомологий (theory of etale cohomology). Гипотеза Ходжа (в комплексном случае) и гипотеза Тейта (в других случаях), дают нам полное право утверждать, что этот функтор является вполне унивалентным.
Вследствие верности данной гипотезы, мы можем строить соответствия между многообразиями, просто сделав необходимые расчеты в некоторых более линейных категориях.

Далее я хотел бы продемонстрировать непосредственное применение гипотезы Ходжа в разных областях математики. Например, в алгебраической теории чисел:

Пусть и — два простых числа. Пусть задан максимальный порядок в алгебре кватернионов над , разветвленной в и и расщепленной всюду (в том числе и на бесконечности). Пусть также обозначает мультипликативную группу нормы одного элемента в .

Ввиду того, что


мы можем рассматривать как дискретную подгруппу и построить факторгруппу


где — верхняя полуплоскость.

Мы также можем рассмотреть обычную конгруэнтную подгруппу , состоящую из верхнетреугольных матриц , и построить — компактификацию .

Теория модулярных и автоморфных форм и связанные с ними представления Галуа показывает, что и по своей природе являются кривыми над , и что имеется вложение представлений Галуа


Таким образом, при верности гипотезы Тейта, справедливо было бы утверждать, что существует соответствие между и , включая соответствующие вложения. Переходя к структуре Ходжа, нам бы не составило труда выяснить, что 1-периодическая голоморфная форма на должна быть также в числе 1-периодических голоморфных форм на .

В свою очередь, теория -функций показывает, что 1-периодические голоморфные формы на в некоторых случаях позволяют вычислить особые значения -функций, связанных с модулярными формами на . Теперь, учитывая все вместе (с гипотезой Тейта), мы могли бы вычислить особые значения -функций в некоторых модулярных формах, найдя периоды интегралов вдоль кривой . В определенном отношении ведет себя лучше, чем , и потому это очень важный метод в исследовании арифметики -функций.

Теперь ясно видно, что в данном случае гипотеза Тейта на самом деле является теоремой Фалтинга, и пример выше является корректным и полным.
Однако существует бесконечно много других аналогичных ситуаций в теории многообразий Шимуры, где гипотеза Тейта еще неизвестна.

Можно привести еще один небольшой пример непосредственно из комплексной геометрии:

Пусть является поверхностью типа . Тогда, исходя из структуры Ходжа в пространстве , можно построить абелево многообразие, связанное с (многообразие Куга-Сатаке). Ясно, что конструкция выполнена в условиях структуры Ходжа. Можно сказать, пожалуй, что тут должна иметь место определенная связь, я бы даже сказал, соответствие, между поверхностью и связанным с ней абелевым многообразием, однако едва ли об этом можно говорить в целом. Как раз верность гипотезы Ходжа и будет обосновывать существование предполагаемой связи в виде соответствия.

Как видно, это достаточно трудная для доказательства проблема, однако математики не дремлют: существует множество частных случаев с вышеразобранными линиями; даже позволю себе сказать большее: на данный момент есть приличное количество изобретательных методов, позволяющих обходить стороной, игнорировать гипотезы Ходжа и Тейта. Но тем не менее последние имеют твердую почву под ногами в качестве фундаментальных руководящих принципов, объясняющих нам, почему все именно так, и никак иначе.

Общий вывод: алгебраические циклы – это весьма широкие по применению и богатые по информации объекты, которые способны «оседлать» два мира сразу: мир периодов интегралов и мир представлений Галуа. Таким образом, если гипотезы Ходжа и Тейта верны, то мы можем не сомневаться, что существуют непосредственные и глубокие связи между этими двумя мирами: мы можем передать информацию от одного к другому посредством алгебраических циклов.