Знаковое доказательство из области информатики заодно решило важную задачу, известную, как гипотеза Конна о вложенности. Теперь математики работают над тем, чтобы понять её.
Всегда ли есть способ аппроксимировать бесконечные фотоны в луче света конечным массивом чисел?
Представьте, что на Землю прилетели пришельцы и выдали нам правильные ответы на самые важные вопросы: есть ли Бог? Истинна ли гипотеза Римана? Действовал ли Освальд в одиночку?
Мы были бы благодарны за информацию, но она принесла бы нам мало пользы, если бы мы не знали, как они получили эти ответы.
В такой ситуации сегодня оказались математики. В январе команда специалистов по информатике опубликовала масштабное доказательство, которое называют одним из важнейших результатов этого столетия в данной области. Однако доказательство вышло далеко за пределы информатики. Пройдя по длинной цепочке следствий, оно решило ещё и крупную открытую задачу математики.
Математики, изучающие операторную алгебру, к которой имеет отношение описанная задача, похожи на тех землян, которым знание упало на голову. Информатика сообщила им, что небезразличная им гипотеза ложна. Однако чтобы сделать с этой информацией что-нибудь полезное, им нужно найти способ перевести доказательство на понятный им язык.
«Если бы больше людей в сообществе специалистов по операторной алгебре обращали на это внимание в последние пару лет, то всё сообщество было бы ближе к пониманию результата», — сказал Верн Полсен, математик из Университета Ватерлоо в Канаде. «Нам многое предстоит нагнать».
Упомянутая задача – это гипотеза Конна о вложенности, предложенная в 1976 году Алленом Конном из Института передовых научных исследований во Франции. Она связана с определёнными числовыми объектами, появляющимися в математике квантовой механики.
Для начала рассмотрим упрощённый вариант. Представьте себе мячик, брошенный в воздух. Чтобы определить его положение по пространственным осям x, y и z, вам нужно три числа. Подставляя эти числа в уравнения, вы сможете моделировать его траекторию.
Хорошо.
Теперь представим, что вам нужно математически описать луч света. Это квантово-механическая система, которую математики и физики описывают, подставляя в уравнения квадратные массивы чисел. Эти массивы, или матрицы, играют роль чисел в примере с мячиком: они содержат всю информацию, необходимую для описания местоположения луча света.
Однако если для описания мяча достаточно всего трёх чисел, то матрицы, описывающие луч света, огромны: в них содержится бесконечное число строк и столбцов чисел.
Почему? Потому, что луч света – это на самом деле поток фотонов.
К этой задаче можно подойти, создав модель поведения отдельных фотонов. Луч света из одного фотона можно описать матрицей 2?2, числа которой обозначают «угол вибраций» фотона – измерение, примерно соответствующее направлению его движения. Лучу света, где фотонов в два раза больше, требуется матрица 4?4. Трём фотонам понадобится матрица 8?8. Четырём — 16?16, и так далее; количество строк и столбцов будет удваиваться после каждого добавления фотона.
И что же, когда мы дойдём до полноценного луча света – матрица какого размера понадобится нам для его описания? А это зависит от количества содержащихся в луче фотонов – причём квантовая механика в определённом смысле рассматривает луч света в виде волны, содержащей неограниченное их количество.
«Представьте себе луч в виде бесконечного потока», — сказал Полсен. Тогда для описания луча потребуется матрица с бесконечным количеством строк и столбцов. Математик и эрудит Джон фон Нейман запустил исследования бесконечномерных матриц, возникающих в квантово-механических системах, в 1930-х.
Четыре десятилетия спустя на основе его работ Конн сделал нечто своё. Он предложил системный способ рассмотрения бесконечномерных матриц, описывающих такие системы, как поток фотонов, предположив, что их можно методично выстраивать из менее крупных матриц конечного размера.
Математик Алан Конн придумал точный способ аппроксимации бесконечномерных матриц, однако он работает не всегда
Это можно представить себе так. Допустим, у вас есть плоская карта поверхности Земли, и вы хотите узнать температуру в любой её точке. Вы можете считать показания термометра в каждой из бесконечного множества точек на карте. А потом вы можете обозначить эти показания, создав матрицу с бесконечным числом строк и столбцов.
Однако это трудоёмкая задача. Попробуйте более грубую аппроксимацию: разделите карту на четыре четверти и подсчитайте среднюю температуру в каждом из них. Такую информацию можно представить в виде матрицы 2?2.
Допустим, вы хотите улучшить результат. Разделите каждую четверть на четверти. Теперь у вас есть 16 участков. Подсчитайте среднюю температуру в каждом из них, и представьте эту информацию в виде матрицы 4?4. Можно продолжать заниматься этим, деля четверти на четверти, и представляя среднюю температуру в полученных четвертях, пока количество строк и столбцов в матрицах будет постоянно расти – но будет оставаться конечным.
Тогда по поводу каждой конечномерной матрицы можно спросить: насколько хорошо она аппроксимирует показатели температуры в бесконечномерной матрице? Допустим, можно надеяться, что у матрицы 2?2 средняя температура четверти не отличается от реальной температуры в любой из её точек больше, чем на 10%. Матрица 4?4 будет немного точнее, и можно надеяться получить чуть большую точность, возможно, в пределах 9% от реальной температуры в каждой точке.
Гипотеза Конна о вложенности говорит о чём-то похожем. Но она имеет дело не с температурой на карте, а с матрицами, описывающими квантово-механические системы – такие, как луч света.
Конн предсказал, что если вы знаете поведение системы в упрощённом случае – в случае с матрицей 2?2 – это всегда позволит вам аппроксимировать поведение всей системы в пределах определённой погрешности. И эта погрешность уменьшается с ростом матрицы. В процессе добавления фотонов и расширения размера матрицы, вы всё ближе подбираетесь к бесконечномерной матрице, реально описывающей происходящее в луче света.
Однако новый результат, полученный специалистами по информатике, опровергает гипотезу Конна о вложенности. А это значит, что, хотя аппроксимация работает для некоторых бесконечномерных матриц, описывающих квантово-механические системы, она не работает для всех них.
«Его гипотеза предсказывала, что для того, чтобы описать всю систему с определённой погрешностью, достаточно было владеть определённой информацией о каждой подсистеме, — написал нам Полсен в емейле. – И теперь мы знаем, что это не так».
У провала гипотезы Конна о вложенности есть несколько последствий для математики. Первое описано выше – не все бесконечномерные матрицы можно хорошо аппроксимировать конечномерными матрицами.
Второе – должны существовать семейства бесконечномерных матриц, о которых математикам ничего не известно. Конн предсказал, что все семейства бесконечномерных матриц можно хорошо аппроксимировать конечномерными матрицами, и пока что это так и было. Из нового доказательства следует, что эта аппроксимация не всегда срабатывает, но не говорит нам о конкретных семействах матриц, с которыми это не работает. Поэтому теперь математикам нужно отправляться на поиски тех матриц, с которыми это не срабатывает.
Волны расходятся и в другую сторону. К гипотезе Конна о вложенности было привязано несколько других гипотез. Если бы она оказалась верной, как предполагали многие математики, то и те, другие гипотезы тоже оказались бы верными. Но так как она ложна, те, другие гипотезы зависли в неопределённости. И до сего момента математики их игнорировали.
«Этот факт удерживал людей от того, чтобы работать с этими проблемами. А теперь всё снова завертелось», — сказал Полсен.
Однако перед тем, как математики смогут заняться любым из этих следствий, им нужно понять результат, полученный из информатики. А это будет нелегко. Новое доказательство – это обширная работа на 165 страниц, над которой работали несколько лет, и которая сильно переплетается с теорией вычислений, а не с операторной алгеброй. Она, как мы уже писали, перекликается с ранней теорией вычислений Алана Тьюринга, а также связана с квантовой запутанностью и забавными соревнованиями под названием нелокальные игры. Почти всё это мало знакомо математикам.
«Если вы не следили за развитием в этой области в последние два года, — сказал Полсен, тогда вы будете поражены, что эти методы решают задачу Конна, относящуюся к матрицам».
Теперь математики пытаются самостоятельно читать эту работу. Те, кто разобрался в ней, организуют семинары, обучая других. Пять написавших её специалистов по информатике тоже планируют читать лекции, объясняющие свою работу математическому сообществу.
В итоге математики смогут переварить результат и найти способы переписать его на языке своей области знаний. Однако человеческая цивилизация не смогла бы быстро приспособиться к полученной от инопланетян информации – и математики тоже не смогут.
«На это уйдёт какое-то время», — сказал Полсен.
Всегда ли есть способ аппроксимировать бесконечные фотоны в луче света конечным массивом чисел?
Представьте, что на Землю прилетели пришельцы и выдали нам правильные ответы на самые важные вопросы: есть ли Бог? Истинна ли гипотеза Римана? Действовал ли Освальд в одиночку?
Мы были бы благодарны за информацию, но она принесла бы нам мало пользы, если бы мы не знали, как они получили эти ответы.
В такой ситуации сегодня оказались математики. В январе команда специалистов по информатике опубликовала масштабное доказательство, которое называют одним из важнейших результатов этого столетия в данной области. Однако доказательство вышло далеко за пределы информатики. Пройдя по длинной цепочке следствий, оно решило ещё и крупную открытую задачу математики.
Математики, изучающие операторную алгебру, к которой имеет отношение описанная задача, похожи на тех землян, которым знание упало на голову. Информатика сообщила им, что небезразличная им гипотеза ложна. Однако чтобы сделать с этой информацией что-нибудь полезное, им нужно найти способ перевести доказательство на понятный им язык.
«Если бы больше людей в сообществе специалистов по операторной алгебре обращали на это внимание в последние пару лет, то всё сообщество было бы ближе к пониманию результата», — сказал Верн Полсен, математик из Университета Ватерлоо в Канаде. «Нам многое предстоит нагнать».
Гипотеза
Упомянутая задача – это гипотеза Конна о вложенности, предложенная в 1976 году Алленом Конном из Института передовых научных исследований во Франции. Она связана с определёнными числовыми объектами, появляющимися в математике квантовой механики.
Для начала рассмотрим упрощённый вариант. Представьте себе мячик, брошенный в воздух. Чтобы определить его положение по пространственным осям x, y и z, вам нужно три числа. Подставляя эти числа в уравнения, вы сможете моделировать его траекторию.
Хорошо.
Теперь представим, что вам нужно математически описать луч света. Это квантово-механическая система, которую математики и физики описывают, подставляя в уравнения квадратные массивы чисел. Эти массивы, или матрицы, играют роль чисел в примере с мячиком: они содержат всю информацию, необходимую для описания местоположения луча света.
Однако если для описания мяча достаточно всего трёх чисел, то матрицы, описывающие луч света, огромны: в них содержится бесконечное число строк и столбцов чисел.
Почему? Потому, что луч света – это на самом деле поток фотонов.
К этой задаче можно подойти, создав модель поведения отдельных фотонов. Луч света из одного фотона можно описать матрицей 2?2, числа которой обозначают «угол вибраций» фотона – измерение, примерно соответствующее направлению его движения. Лучу света, где фотонов в два раза больше, требуется матрица 4?4. Трём фотонам понадобится матрица 8?8. Четырём — 16?16, и так далее; количество строк и столбцов будет удваиваться после каждого добавления фотона.
И что же, когда мы дойдём до полноценного луча света – матрица какого размера понадобится нам для его описания? А это зависит от количества содержащихся в луче фотонов – причём квантовая механика в определённом смысле рассматривает луч света в виде волны, содержащей неограниченное их количество.
«Представьте себе луч в виде бесконечного потока», — сказал Полсен. Тогда для описания луча потребуется матрица с бесконечным количеством строк и столбцов. Математик и эрудит Джон фон Нейман запустил исследования бесконечномерных матриц, возникающих в квантово-механических системах, в 1930-х.
Четыре десятилетия спустя на основе его работ Конн сделал нечто своё. Он предложил системный способ рассмотрения бесконечномерных матриц, описывающих такие системы, как поток фотонов, предположив, что их можно методично выстраивать из менее крупных матриц конечного размера.
Математик Алан Конн придумал точный способ аппроксимации бесконечномерных матриц, однако он работает не всегда
Это можно представить себе так. Допустим, у вас есть плоская карта поверхности Земли, и вы хотите узнать температуру в любой её точке. Вы можете считать показания термометра в каждой из бесконечного множества точек на карте. А потом вы можете обозначить эти показания, создав матрицу с бесконечным числом строк и столбцов.
Однако это трудоёмкая задача. Попробуйте более грубую аппроксимацию: разделите карту на четыре четверти и подсчитайте среднюю температуру в каждом из них. Такую информацию можно представить в виде матрицы 2?2.
Допустим, вы хотите улучшить результат. Разделите каждую четверть на четверти. Теперь у вас есть 16 участков. Подсчитайте среднюю температуру в каждом из них, и представьте эту информацию в виде матрицы 4?4. Можно продолжать заниматься этим, деля четверти на четверти, и представляя среднюю температуру в полученных четвертях, пока количество строк и столбцов в матрицах будет постоянно расти – но будет оставаться конечным.
Тогда по поводу каждой конечномерной матрицы можно спросить: насколько хорошо она аппроксимирует показатели температуры в бесконечномерной матрице? Допустим, можно надеяться, что у матрицы 2?2 средняя температура четверти не отличается от реальной температуры в любой из её точек больше, чем на 10%. Матрица 4?4 будет немного точнее, и можно надеяться получить чуть большую точность, возможно, в пределах 9% от реальной температуры в каждой точке.
Гипотеза Конна о вложенности говорит о чём-то похожем. Но она имеет дело не с температурой на карте, а с матрицами, описывающими квантово-механические системы – такие, как луч света.
Конн предсказал, что если вы знаете поведение системы в упрощённом случае – в случае с матрицей 2?2 – это всегда позволит вам аппроксимировать поведение всей системы в пределах определённой погрешности. И эта погрешность уменьшается с ростом матрицы. В процессе добавления фотонов и расширения размера матрицы, вы всё ближе подбираетесь к бесконечномерной матрице, реально описывающей происходящее в луче света.
Доказательство ложности
Однако новый результат, полученный специалистами по информатике, опровергает гипотезу Конна о вложенности. А это значит, что, хотя аппроксимация работает для некоторых бесконечномерных матриц, описывающих квантово-механические системы, она не работает для всех них.
«Его гипотеза предсказывала, что для того, чтобы описать всю систему с определённой погрешностью, достаточно было владеть определённой информацией о каждой подсистеме, — написал нам Полсен в емейле. – И теперь мы знаем, что это не так».
У провала гипотезы Конна о вложенности есть несколько последствий для математики. Первое описано выше – не все бесконечномерные матрицы можно хорошо аппроксимировать конечномерными матрицами.
Второе – должны существовать семейства бесконечномерных матриц, о которых математикам ничего не известно. Конн предсказал, что все семейства бесконечномерных матриц можно хорошо аппроксимировать конечномерными матрицами, и пока что это так и было. Из нового доказательства следует, что эта аппроксимация не всегда срабатывает, но не говорит нам о конкретных семействах матриц, с которыми это не работает. Поэтому теперь математикам нужно отправляться на поиски тех матриц, с которыми это не срабатывает.
Волны расходятся и в другую сторону. К гипотезе Конна о вложенности было привязано несколько других гипотез. Если бы она оказалась верной, как предполагали многие математики, то и те, другие гипотезы тоже оказались бы верными. Но так как она ложна, те, другие гипотезы зависли в неопределённости. И до сего момента математики их игнорировали.
«Этот факт удерживал людей от того, чтобы работать с этими проблемами. А теперь всё снова завертелось», — сказал Полсен.
Однако перед тем, как математики смогут заняться любым из этих следствий, им нужно понять результат, полученный из информатики. А это будет нелегко. Новое доказательство – это обширная работа на 165 страниц, над которой работали несколько лет, и которая сильно переплетается с теорией вычислений, а не с операторной алгеброй. Она, как мы уже писали, перекликается с ранней теорией вычислений Алана Тьюринга, а также связана с квантовой запутанностью и забавными соревнованиями под названием нелокальные игры. Почти всё это мало знакомо математикам.
«Если вы не следили за развитием в этой области в последние два года, — сказал Полсен, тогда вы будете поражены, что эти методы решают задачу Конна, относящуюся к матрицам».
Теперь математики пытаются самостоятельно читать эту работу. Те, кто разобрался в ней, организуют семинары, обучая других. Пять написавших её специалистов по информатике тоже планируют читать лекции, объясняющие свою работу математическому сообществу.
В итоге математики смогут переварить результат и найти способы переписать его на языке своей области знаний. Однако человеческая цивилизация не смогла бы быстро приспособиться к полученной от инопланетян информации – и математики тоже не смогут.
«На это уйдёт какое-то время», — сказал Полсен.