Для многих вечер пятницы ассоциируется с релаксацией, выраженной в торжественном шествии к месту, наполненном шумными людьми, горячительными напитками и не очень высокими стандартами чистоты ввиду комбинации первых двух пунктов. В далеком 1892 году Роберт Шпут запатентовал способ быстрого изготовления вещицы, которой по сей день благодарны многие бармены и официанты. Этой вещицей является бирдекель, а точнее подставка под бокал (чаще всего пива). Делается она из бумаги и имеет форму диска. Этот неотъемлемый атрибут любого уважающего себя бара не только служит зашитой барной стойки или стола от царапин и пролитого пенного, но и метательным снарядом для увеселенных (или изнемогающих от скуки) посетителей. И вот группа ученых из Боннского университета (Бонн, Германия) решили выяснить, почему бирдекель не летает прямо, если его бросить. Какими аэродинамическим свойствами обладает подставка под бокалы, что нарушает прямую траекторию полета, и виноват ли в этом сбитый прицел бросающего? Ответы на эти нестандартные вопросы мы найдем в докладе ученых. Поехали.

Основа исследования

На самом деле слово «бирдекель» не полностью подходит для описания подставки под бокал, так как в переводе с немецкого «bierdeckel» означает пивную крышку. В XIX веке в Европе распространилось применение этого предмета, предназначенного для накрытия бокалов, чтобы туда не ныряли назойливые насекомые, если человек выпивал под открытым небом. По бирдекелю можно было даже определить состоятельность посетителя. Более зажиточные любители пива могли себе позволить крышки из олова или даже серебра. Те же, у кого на это не было средств, использовали бирдекели, предоставленные заведением (как правило из фетра). Фетровые крышки в помещении использовались в качестве подставок, впитывающих пролитое пиво и пену.

В 1892 году предприимчивый Роберт Шпут из Дрездена запатентовал новый тип бирдекелей из бумаги. Жидкая смесь заливалась в формы и сушилась в течение ночи. Полученные подставки намного лучше впитывали жидкость и были крайне дешевыми в производстве, что сделало их крайне популярными.

В 20-ые годы XX века бирдекели получили дополнительное применение, став, своего рода, рекламными листовками. Пивоваренный завод Watneys (Англия) начал печатать на подставках логотипы своей продукции, а именно пива Pale Ale и Reids Stout. Это было затратное удовольствие, так как печать выполнялась индивидуально на каждой из подставок отдельно после их отлива. Но уже в 70-ые производители начали использовать офсетную печать, когда сначала отпечатывают целые листы, из которых после получают отдельные подставки.

Среди любителей коллекционировать различные предметы есть и те, кто собирает редкие или чем-то примечательные бирдекели. И они были бы, наверное, оскорблены тем, как с бирдекелями частенько поступают посетители баров, соревнуясь в дальности/точности/силе броска.


Изображение №1

Но это не такое уж и простое дело. Стоит подставке покинуть руку бросающего, она очень быстро теряет свою прямую траекторию и летит куда угодно, лишь бы не туда, куда ее бросили. Чтобы подставка пролетела дольше, она должна вращаться вокруг своей оси, перпендикулярной ее плоскости (D на изображении №1).

Такой генерируемый угловой момент стабилизирует ориентацию картонного диска за счет сохранения углового момента, предотвращая хаотические вращения вокруг одной из двух других осей вращения диска, вращение вокруг которых нестабильно, учитывая малый вес диска.

Следовательно, можно предположить, что подставка будет лететь так же, как и фрисби, т.е. с угловым моментом, направленным вверх или вниз (боковое вращение), но траектория все равно остается непредсказуемой.

Спустя определенное время (τ) после начала полета (после броска) диск начинает поворачиваться либо влево, либо вправо, в зависимости от его направления вращения. Если он не ударяется об землю, то полет преобразуется в таковой с обратным вращением, то есть с осью вращения, направленной в сторону перпендикулярно к направлению полета, когда верхняя плоскость вращается против направления полета. Следовательно, начало полета стабильно, а полет с вращением верхней плоскости — нет.

По словам ученых, первоначально кажется, что случайные моменты времени (τ) могут полностью объяснить хаотичность полета диска. Однако, как показывает практика, это связано скорее с неспособностью человека совершать одинаковые броски один за другим.

Также авторы исследования отмечают, что теория вращающегося диска, которая уже давно сформирована, не совсем подходит для ситуации с подставками. Дело в том, что решение соответствующих уравнений с учетом турбулентности является крайне сложной задачей. Посему было решено рассматривать подставку как точечный объект.

Подготовка к наблюдениям

Для начала стоит рассмотреть ситуацию, когда вращающийся диск с угловым моментом (L), перпендикулярным поверхности диска, движется через среду (воздух) без силы тяжести. Лобовое сопротивление заставит диск ориентироваться так, чтобы минимизировать сопротивление воздуха за счет минимизации его поверхности, подверженной воздействию воздушному потоку. Это означает, что ось D перпендикулярна направлению полета. Таким образом, любая ориентация со слегка наклоненной осью вращения по сравнению с ситуацией выше автоматически будет возвращаться к изначальному положению. В состоянии равновесия нет крутящего момента, способного изменить направление углового момента.

Однако, если добавить силу тяжести, направленную в отрицательное z-направление, то диск будет ускоряться вниз к земле.


Изображение №2

Следовательно, воздушный поток больше воздействует на него снизу (2а). Это вызывает формирование подъемной силы (F^lift). Эта сила действует не на центр диска, а по направлению к передней кромке на расстоянии в R = πr/8. F^lift создает крутящий момент M = R х F^lift, который вызывает дальнейшее движение диска (2c).

Подъемная сила и, следовательно, крутящий момент исчезают только в положении обратного или верхнего вращения. Но поскольку направление этого движения таково, что диск приближается к ориентации обратного вращения независимо от направления углового момента, ориентация верхнего вращения является метастабильной, а ориентация обратного вращения — стабильной. Следовательно, если полет диска начинается не в положении обратного вращения, он совершит колебание вокруг положения обратного вращения. Однако это колебание сильно затухает в любом практическом эксперименте.

Вторым, но, тем не менее, важным стабилизирующим эффектом является сила Магнуса. Вместе с сопротивлением она отвечает за вышеупомянутое затухающее колебание. Сила Магнуса действует ортогонально к направлению полета и к оси вращения D. Она не создает крутящего момента и, следовательно, не может отвечать за обратное вращение. Однако сила Магнуса может изменить направление полета таким образом, что обратное вращение становится предпочтительным.

Ученые предлагают представить себе диск, который бросают без начальной пространственной скорости, когда D указывает в направлении y, т.е. передняя кромка указывает точно вниз. Когда диск начинает падать, он ускоряется в направлении оси x за счет эффекта Магнуса. Знак этого ускорения в направлении x снова предпочитает обратное вращение. Поэтому небольшие отклонения от обратного вращения можно исправить с помощью эффекта Магнуса, регулирующего направление полета.

Теоретические предположения были преобразованы в формулы, однако для полного понимания происходящего необходимо было провести практические опыты.


Изображение №3

На изображении выше представлено устройство для метания бирдекелями. Оно состоит из двух «беговых дорожек», которые можно запрограммировать на движение вперед или назад с заданной скоростью до 16 м/с независимо друг от друга. Каждая из двух дорожек вращается вокруг двух шестерен радиусом 10 мм, одна из которых (черного цвета на снимке) подключена к электродвигателю. Скорость дорожек определялась путем измерения количества оборотов ведущей шестерни в минуту с помощью бесконтактного цифрового лазерного фототахометра. Обороты левой и правой ведущей шестерен обозначены как u_l и u_r соответственно. Бирдекель, помещенный между этими дорожками, ускоряется до тех пор, пока его края не примут скорость соответствующей дорожки.

Во время тестов устройство помещали на стол так, чтобы бирдекели выстреливались с высоты 0.98 м. Учитывая точность устройства и возможно менять определенные его параметры, можно было получить последовательный ряд практически одинаковых запусков. В ходе всех опытов все диски летели по одинаковой траектории и врезались в одну и ту же точку с небольшим отклонением до 0.1 м. 
Каждый полет диска фиксировался с помощью высокоскоростной камеры (500 кадров в секунду).


Для получения координат диска в любой момент времени на видео использовалась программа с открытым кодом Tracker 6 (ссылка на сайт данной программы).

Результаты наблюдений

Видео каждого из запусков анализировалось для установления траектории. В ходе анализа было установлено, что угловая скорость ω₀ во время полетов изменяется менее чем на 10%. Далее из записанного видео выделялось горизонтальное положение y(t) (пример такой траектории на изображении №4).


Изображение №4

Ниже представлены соответствующие значения времени τ и t_i как функции v₀/ω₀.


Изображение №5

Из этих графиков уже видно, что стабильный полет диска больше 0.45 с фактически невозможен.


Изображение №6

Также были определены значения λ с помощью λ = log2/τ как функция (v₀/ω₀)². На изображении выше видно, что при ρ = 1.25 кг/м³, m = 5.9 г, A = πr² и r = 5.3 см λ₀ будет равен 12.4 ± 1.5 об/с, а ± λ₁ равен 10.7 ± 0.7 об/с.

Авторы исследования отмечают, что ошибка подгонки имеет крайне незначительный вклад в общую ошибку (погрешность), которая по большей части возникает из-за того, что полеты диска не полностью одинаковы. Другими словами, каждый запуск диска с помощью устройства приводит к результатам с незначительными отклонениями от запуска к запуску, независимо от одинаковых настроек устройства.

Также на практике было подтверждено, что ω₀ действительно меняется во время полета, но незначительно. Это наблюдение полностью согласуется с теоретическими предположениями. Значения λ также согласуются с линейной зависимостью от v²₀/ ω²₀ плюс константа.

Значения λ₀ и λ₁ являются универсальными константами для любой системы, описываемой эффективной теорией. Таким образом, они должны позволять прогнозировать продолжительность стабильного полета любого вращающегося и достаточно тонкого диска. Простое использование постоянного члена ∝λ₀, зависящего исключительно от свойств диска, позволяет прогнозировать максимально возможную стабильную продолжительность полета.

Из этих предположений следует, что подставка под бокал будет стабильна в полете не больше 0.45 с, что было подтверждено на практике. Дополнительно ученые использовали эту методику для расчетов предполагаемой продолжительности стабильного полета и для других «летающих тарелок»: игральная карта — 0.24 с; компакт-диск — 0.8 с; фрисби (без стабилизирующей кривизны) — 0.7 с; диск (спортивный снаряд) — 16 с. Каждое из этих предсказаний может быть успешно подтверждено на практике.

Также ученые пришли к любопытному выводу касательно фрисби. Даже посредственный метатель (не атлет) сможет заставить фрисби перейти в обратное вращение в промежуток времени менее 1 секунды. Причина в том, что аэродинамический центр фрисби находится очень близко к его центру масс, и, таким образом, он испытывает гораздо меньший крутящий момент.

Для более детального ознакомления с нюансами исследования рекомендую заглянуть в доклад ученых.

Эпилог

Научный подход можно применить ко всему, и к ядерным реакторам, и к картонным подставкам под бокалы. Рассмотренное нами сегодня исследование является ярким тому подтверждением.

В данном труде ученые рассмотрели своеобразные траектории полета бирдекелей и установили, что независимо от начальных условий они всегда наклоняются в положение обратного вращения вскоре после того, как их бросили. Когда подставку бросает человек, момент начала перехода кажется случайным, однако при использовании настраиваемого устройства удалось обеспечить более высокую точность бросков для анализа полета.

Ученые создали эффективную теорию полета бирдекеля, которая была подтверждена на практике. Особенность теории в ее невероятно точных предсказаниях. К примеру, было успешно предсказано, что коэффициент демпфирования λ обратного вращения должен линейно зависеть от (v₀/ω₀)² (скорости центра масс и угловой скорости соответственно). В противном случае только от скорости вращения диска, радиуса, массы и плотности воздуха.

Поскольку разработанная эффективная теория верна для любого тонкого диска, ученые смогли предсказать время начала перехода в обратное вращение и для других дискообразных объектов (игральная карта, фрисби, компакт-диск и т.д.).

Вот так ученые превратили обычную барную игру в метание подставками в научный эксперимент, подтверждающий, что в данном виде «спорта» промахи метателей не зависят от их физических характеристик, а от аэродинамических свойств самого снаряда.

А вот и сами авторы исследования, рассказывающие о своей работе (на немецком).

Благодарю за внимание, оставайтесь любопытствующими и отличных всем выходных, ребята! :)

Немного рекламы

Спасибо, что остаётесь с нами. Вам нравятся наши статьи? Хотите видеть больше интересных материалов? Поддержите нас, оформив заказ или порекомендовав знакомым, облачные VPS для разработчиков от $4.99, уникальный аналог entry-level серверов, который был придуман нами для Вас: Вся правда о VPS (KVM) E5-2697 v3 (6 Cores) 10GB DDR4 480GB SSD 1Gbps от $19 или как правильно делить сервер? (доступны варианты с RAID1 и RAID10, до 24 ядер и до 40GB DDR4).

Dell R730xd в 2 раза дешевле в дата-центре Maincubes Tier IV в Амстердаме? Только у нас 2 х Intel TetraDeca-Core Xeon 2x E5-2697v3 2.6GHz 14C 64GB DDR4 4x960GB SSD 1Gbps 100 ТВ от $199 в Нидерландах! Dell R420 — 2x E5-2430 2.2Ghz 6C 128GB DDR3 2x960GB SSD 1Gbps 100TB — от $99! Читайте о том Как построить инфраструктуру корп. класса c применением серверов Dell R730xd Е5-2650 v4 стоимостью 9000 евро за копейки?