Перевод статьи “Недифрагирующие ускоряющиеся волновые пакеты уравнений Максвелла” Идо Каминер (Ido Kaminer), Ривка Бекенштейн (Rivka Bekenstein), Джонатан Немировский (Jonathan Nemirovsky) и Мордехай Сегев (Mordechai Segev) Физический факультет и Институт твердого тела, Технион, Хайфа. К переводу прилагаются раздумья о практической трансформации теории.





Мы представляем недифрагирующие пространственно ускоряющие решения уравнений Максвелла. Такие лучи ускоряются по круговой траектории, тем самым обобщая концепцию лучей Эйри на всю область волнового уравнения. Как для поляризации TE (поляризация электрического поля), так и для TM (поляризация магнитного поля) поляризации, лучи демонстрируют сохраняющий форму изгиб, который может иметь субволновые характеристики, а вектор Пойнтинга (также вектор Умова — Пойнтинга) — вектор плотности потока энергии электромагнитного поля, компоненты которого входят в состав тензора энергии-импульса электромагнитного поля) главного лепестка показывает поворот более 90°. Мы показываем, что эти ускоряющие лучи обладают самовосстановлением, анализируем их свойства и находим новый класс ускоряющие бризеры— самосгибающиеся лучи периодически колеблющейся формы. Подчеркнем, что в своей скалярной форме эти лучи являются точными решениями для недисперсных ускоряющих волновых пакетов наиболее распространенных волновых уравнений, описывающих гармонические волны во времени. Таким образом, данное исследование имеет глубокие последствия для многих линейных волновых систем в природе, от акустических и упругих волн до поверхностных волн в жидкостях и мембранах.

Исследования ускоряющих лучей быстро развиваются с тех пор, как в 2007 году они стали предметом оптики [1]. Идеальный параксиальный ускоряющий луч распространяется по параболической траектории, сохраняя при этом свою амплитудную структуру на неопределенное время, являясь недифрагирующим волновым пакетом. Эффект вызван интерференцией: волны, излучаемые из всех точек на профиле луча Эйри, поддерживают инвариантную по распространению структуру Эйри, которая смещается в боковом направлении по параболе. Это явление привело к появлению множества интересных идей, начиная от направления частиц по кривой [2] и создания само улучшающихся плазменных каналов [3] до недавних исследований сохраняющих форму ускоряющихся лучей в нелинейной оптике [4–7]. Кроме того, можно найти лучи, ускоряющиеся по произвольным кривым, за счет того, что эти пучки не сохраняют форму [8]. Все эти лучи являются решениями параксиального волнового уравнения, в котором траектория луча принципиально ограничена небольшими (параксиальными) углами, а когда он изгибается на большие углы, луч больше не сохраняет форму. В результате поперечное ускорение лучей Эйри всегда ограничено небольшими углами. Это ограничение является серьезным ограничением, потому что пространственное ускорение означает, что угол распространения непрерывно увеличивается, и в конечном итоге после физически значимых расстояний траектория луча неизбежно достигает крутого угла и динамика луча в целом всегда переходит в непараксиальный режим. То есть параксиальный ускоряющий пучок движется по кривой, которая изгибается все быстрее, и в конце концов неизбежно выйдет за пределы своей собственной области существования. Несколько попыток найти ускоряющий луч за пределами параксиального режима показали полный распад: часть луча становится непрозрачной, а другая часть быстро деформируется, демонстрируя лишь очень небольшой изгиб траектории [9]. Наиболее примечательной является недавняя новаторская работа [10], в которой метод каустики простирается от параксиальной лучевой оптики до непараксиального режима, предсказывая лучи, изгибающиеся на большие углы.

Однако, как мы обсудим ниже, метод каустик не может обеспечить сохраняющие форму (недифрагирующие) решения. Недавний интерес к непараксиальным ускоряющим лучам вызывает ряд фундаментальных вопросов: может ли луч изгибаться на большие непараксиальные углы? Если да, будет ли такой непараксиальный ускоряющий луч недифрагирующим (сохраняющим форму), как в параксиальном пределе? Такой луч не должен быть ограничен какими—либо физическими параметрами и должен иметь возможность изгибаться от нулевого угла запуска во всех направлениях пути к углам, близким к 90° — перпендикулярно исходному направлению распространения. Динамика света регулируется уравнениями Максвелла; существуют ли какие-нибудь ускоряющие недифрагирующие решения уравнений Максвелла? Здесь мы представляем непараксиальные пространственно ускоряющиеся лучи, сохраняющие форму. Эти ускоряющие лучи представляют собой полный набор общих решений полных уравнений Максвелла для любых монохроматических полей. Эти непараксиальные ускоряющие лучи распространяются по круговой траектории, поэтому асимптотически достигают углов 90°, завершая четверть круга, после чего вступает в действие дифракционное уширение и лучи распространяются. В качестве проверки достоверности мы доказываем, что приведение этих пучков к параксиальному пределу восстанавливает известные параксиальные пучки Эйри. Таким образом, ускоряющийся луч электромагнитных волн (волновой пакет, удовлетворяющий уравнениям Максвелла) — это луч, который мы представляем здесь, и луч Эйри, найденный в [1], на самом деле является нашим решением, приведенным к параксиальному пределу. Мы находим решения как для TE, так и для TM, тем самым обобщая на произвольную поляризацию.

Важно отметить, что здесь представлен новый класс недифрагирующих решений уравнения Гельмгольца: решения, которые самоизгибаются, в отличие от всех ранее известных недифрагирующих решений уравнений Гельмгольца (лучи Бесселя), которые распространяются по прямой траектории [11,12]. Как правило, лучи, которые мы находим, демонстрируют изгиб, сохраняющий форму, с субволновыми характеристиками. При этом вектор Пойнтинга их главной доли показывает поворот более чем на 90°. Мы показываем, что эти ускоряющиеся лучи являются самовосстанавливающимися и анализируют свои свойства, когда они испускаются через конечные апертуры. Кроме того, мы показываем, что любая заданная круговая траектория может поддерживать целое семейство ускоряющих решений, в результате чего их суперпозиции образуют периодические ускоряющие лучи. Наконец, тот факт, что наши самогибочные лучи являются решениями полного волнового уравнения, делает эту работу применимой за пределами оптики, практически для любой гармонической во времени волны, подчиняющейся простому волновому уравнению (типа Гельмгольца): от звуковых волн до акустики, поверхностные волны в жидкостях и других. Начнем с уравнений Максвелла в вакууме для электрического поля с TE—поляризацией E=Ey(x, z, t)y подчиняющегося уравнению Гельмгольца.


Уравнение (1)

Уравнение (1) имеет полную симметрию между координатами x и z. Следовательно, логично искать сохраняющий форму луч, траектория которого лежит на окружности. В качестве первоначального условия, мы используем E(x, z = 0, t) и пусть луч распространяется в прямом +z направлении. Конечно, такой луч не может повернуть назад, чтобы распространяться в направлении -z, следовательно, ожидаемый наибольший изгиб — это траектория, параллельная оси x направления. То есть луч будет асимптотически завершать круговые движения по четверти окружности. Чтобы найти такое движение, которое также является инвариантным по форме (без дифракции) удобнее преобразовать уравнение (1) к опорной рамке луча. Поскольку движение происходит по окружности, мы преобразуем в полярные координаты r, ɵ, взяв z = r sin(ɵ), x = r cos(ɵ), и стремимся сохранить форму решения вида —

где α какое—то действительное число, ω это временная частота. В результате получается монохроматический луч, который сохраняет форму вдоль любой круговой кривой. Радиальная функция U® должна удовлетворять:


Уравнение (2)

Точные решения уравнения (2) — функции Бесселя U = J[(ω/c)r] [На самом деле есть еще одно семейство решения, также из семейства Бесселя, но они отличаются от образца; поэтому мы не будем здесь их обсуждать]. Связанный метод был недавно использован Хасианом — Hacyan [13], чтобы найти электромагнитные волны, которые релятивистски ускоряются во времени. Чтобы разгадать физику нашего решения, его нужно преобразовать — вернуться к координатам x, z и разделить на волны, распространяющиеся вперед и назад. Мы делаем это через преобразование Фурье луча, который ограничено находиться на окружности радиуса k= ω/c=2π/γ плоскости kx-kz (см. диаграмму в центре рисунок 1. Верхняя половина диаграммы (положительный kz) дает часть луча, распространяющуюся вперед, а нижняя половина (отрицательная kz) дает часть, распространяющуюся в обратном направлении. Часть, распространяющаяся вперед, представляет собой фактический ускоряющий пучок от единственного источника при Z = 0. Важно отметить, что этот луч не имеет Бесселевой структуры, а только асимптотически ее половина.


Рисунок 1 — Ускорение лучей уравнения Максвелла. (а) Ускоряющий вперед луч ТЕ поляризации (α = 150) достигает почти вертикальной траектории, демонстрируя недифрагирующее (сохраняющее форму) ускорение. (b) Параксиальное приближение дает луч Эйри, который разгоняется только на короткое расстояние до развала. (с), (d) Распространяющийся вперед луч TM поляризации (α = 150). Мощность передается от поляризации x © к поляризация z (d). Все цифры смоделированы λ=1 µm в квадрате 35 µm x 35 µm. Схема в центре показывает плоскость Фурье, в которой луч заключен в круг описывающий распространяющиеся плоские волны. Верхняя (нижняя) половина обозначает передний (задний) луч.

Это можно рассчитать путем интегрирования по верхней половине круга (углы от 0 до π), как показано на верхней половине схемы на рисунке 1.


Уравнение (3)

— где является «половиной Бесселя» (потому что интеграция выражение от -π до π дает функцию Бесселя —порядка ). Здесь α может быть любым действительным числом (не обязательно целое число), поскольку мы не ограничиваемся периодическими граничными условия (поскольку луч никогда не завершает полный круг). На рисунке 1 (а) показано ускоряющее решение Уравнение (3), для λ=1 µm и α=150. Важно подчеркните, что оси имеют одинаковый масштаб на всех фигурах в этой статье, в отличие от обычного изображения лучей Эйри, как это показано во многих статьях, где кривизна обычно преувеличена, чтобы выделить изгиб луча, с использованием неравных масштабов. Рисунок 1(а) показывает, что луч действительно недифрагирующий (сохраняющие форму), но только с точностью для угла близкого к 90°. Мы должны обсудить причину этого ограничения: математически ясно, что решение Бесселя является точным и сохраняет форму. Однако физический луч, порожденный начальным условием на плоскости z = 0, это только «Половина Бесселя». В каком смысле этот пучок недифрагирует? Когда α > 0, точный пучок Бесселя антисимметричен при z = 0 относительно начала координат: два основных лепестка расположены по разные стороны от x = 0 и их колеблющиеся хвосты тянутся к плюсу и минусу бесконечности на их правой и левой сторонах, соответственно. Но именно фаза луча делает пучок антисимметричным: это следует из вращения луча против часовой стрелки. Это вращение заставляет правую половину луча распространяться вперед и влево. [Рисунок 1 (а)], в то время как левая половина распространяется назад и вправо. Последнее противоречит физическим граничным условиям. При отсечении распространяющихся назад волн в пространстве Фурье, мы остаемся с почти точной формой Бесселя, ограниченной справа от оси x. Только когда изгиб приближается к 90°, свойство недиффрагируемости нарушается, где два «полубесселевых волновых пакета» должны были встретиться и интерферировать. ([14]). С математической точки зрения, увеличенный (больший угловой импульс) дает лучшее разделение, следовательно, также более точное недифрагирующее распространение. Решение для TM поляризации находится через аналогичную процедуру для магнитного поля, и из этого компоненты электрического поля TM оказываются равными.

Уравнение (4)

Это решение TM представляет особый интерес: каждая из его поляризационных составляющих сама по себе не сохраняет форму, как показано на рис. 1 © и 1 (d), но общая интенсивность пучка TM действительно сохраняет свою форму. Когда луч изгибается на 90°, мощность передается от x—составляющей к z—компоненту поля. Это показывает, что ускоряющий луч не только изгибается, но и фактически вращается, подобно фазовому фронту луча, который также вращается на 90°, всегда оставаясь перпендикулярно траектории луча. Естественным расширением является суперпозиция пучков TE и TM, которая дает векторное решение общей поляризации.

Обобщая уравнение. (3) произвольная поляризация дает полный набор векторных трехмерных ускоряющих лучей. Мы по—прежнему выбираем траекторию ускорения в плоскости xz, но допускаем плоскую волну в y. Это оставляет три функции в k—пространстве, которые связаны с электрическим полем через уравнения(5) [аналогично формуле (3)].


Уравнение (5)

где должны удовлетворять условиям:
и

Таким образом, каждая поляризация состоит из суперпозиции решений уравнения (3) в TE и поляризация TM, умноженная на плоскую волну, которая только изменяет эффективное волновое число с k на . Суперпозиции полей с разными ky должны давать лучи, которые ограничены в направлении y, расширяясь для решения 3D. Чтобы выделить внушительный угол изгиба, отметим что действительно можно увеличить угол вдвое, запустив луч под углом, противоположным направлению изгиба. Смотрим рисунок 2 (а) для примера луча, который запускается под углом -65°, а затем полностью изогнув до 65°, завершив поворот на 130°. Теоретически максимальная изгиб ограничен 180° асимптотически, потому что граничные условия допускают только прямое распространение волны. На практике мы измеряем изгиб на рис. 2 (а). разностью векторов Пойнтинга основных лепесток на входящем и исходящем направлении. Вектор Пойнтинга ТМ поляризации можно доказать точно так же.

Найдя ускорение решением уравнений Максвелла, интересно исследовать предел малых углов выражения в формуле. (3), а также увидеть если оно восстанавливает параксиальные решения Эйри. Для этого напомним свойство функция Бесселя, утверждающая, что максимум основного лепестка находится вблизи x= α/k.Таким образом, чтобы сделать приближение в правильном диапазоне, берем
и предположим, что ∆x и z малы. Мы также предполагаем, что α очень большой, так что показатель степени колеблется очень быстро и компенсирует большую части диапазона непараксиального режима. В пределе большого α, мы расширяем косинус и синус на Ряд Тейлора около π/2, до третьего порядка. В результате получается интеграл, который решается аналитически.



Рисунок 2 — Свойства бесселевского ускоряющего лучей. (а) Вектор Пойнтинга TE / TM поляризации, при запуске с начальным углом и наклонения на 130°. (б) Свойство самовосстановления «оживление» первой доли, которая изначально была отрезана. Пунктирная черная кривая описывает исходную траекторию первого лепестка идеального ускоряющего пучка. © Периодически ускоряющийся луч, состоящий из двух совместно ускоряющих компонентов α = 150 и α =165 с равными коэффициентами. Все цифры моделируются с α =150, λ=1 µm и квадрат 30 µm X 45 µm (а) или 35 µm X 35 µm (b), ©.


Уравнение (6)

— где Ai функция Эйри. Обратите внимание на характеристику члена Z³ параксиального луча Эйри, что указывает на ускорение при параболической траектории Прямым следствием является то, что существует уникальное соотношение между параметром и ускорением (с траектории ∆x=-gz²/2), что дает g=k/α. Следовательно, ускорение g тем меньше, чем больше α, что имеет смысл, потому что более высокие порядки дают циркулярную движения с большими радиусами, поэтому радиальное ускорение действительно меньше. Другой вывод состоит в том, что если мы попытаемся аппроксимировать ускоряющий луч, который представляет собой суперпозицию нескольких α, мы получим суперпозицию лучей Эйри с разными ускорениями. Вот почему параксиальный ускоряющий луч должен быть единственной функцией Эйри с однозначно определенным ускорением, тогда как непараксиальный ускоряющий луч может поддерживать семейство лучей разной формы (разных α), которые все ускоряются по одной и той же траектории. Наконец, при малых значениях α мы находим ускоряющие лучи, которые вообще не могут существовать в параксиальном режиме. Эти лучи в основном состоят из очень высоких пространственных частот; следовательно, попытка построить луч Эйри с этими составляющими пространственной частоты приводит к появлению луча, который распадается после очень короткого расстояния распространения. Рисунок 1 (b) для например, α=150, где параболическое ускорение сохраняется только на очень коротком расстоянии.

Теперь стоит сравнить известные характеристики луча Эйри с нашим новым непараксиальным ускоряющимся лучом. Второй лепесток получает больше мощности и его траектория больше изгибается — чтобы заменить первый лепесток; смотрим пунктирную черную линию на рисунке 2 (b), обозначающую траекторию первоначального первого лепестка. Когда происходит это «замещение», каждая доля сдвигается на более крутой изгиб, чтобы заменить лепесток слева. Еще одно свойство, общее как для пучка Эйри, так и для непараксиального ускоряющего пучка, состоит в том, что оба они не интегрируемы в квадрате; следовательно, они несут бесконечную мощность. В этом контексте запуск любого из них, из конечной апертуры дает луч, который ускоряется только в конечном диапазоне распространения. Как и в случае луча Эйри, более длинный хвост в непараксиальном случае позволяет большему количеству лепестков демонстрировать распространение с сохранением формы на большие расстояния. Интересна, причина того, что непараксиальный ускоряющий луч несет бесконечную мощность исходя только от двух особых точек в k пространство, которые размещены по краям (- k и k), граничащим с диапазоном затухающих волн. Удаление этих единичных точек оставляет ускоряющий луч конечной мощности, поскольку тогда спектр k-пространственный спектр становится квадратично интегрируемым (в отличие от параксиального спектра Эйри, который не ограничен). Физически некоторая часть пространственного спектра всегда будет удалена, поскольку края k —пространства представляют собой волны, движущиеся поперечно перпендикулярно оси z.

В то же время достаточно короткого хвоста (примерно в два раза превышающего радиус траектории), чтобы первые лепестки изгибались в глубокий непараксиальный угол (более 50°). Следовательно, непараксиальный ускоряющий луч запускается из конечной апертуры (таким образом, несущей конечную мощность) будет изгибаться по круговой кривой, сохраняя при этом практически неизменную для распространения форму для большинства физически доступной четверти круга. Наконец, еще одно различие между лучом Эйри и непараксиальным ускоряющим лучом таково, что, в отличие от луча Эйри, бесселевидные непараксиальные ускоряющие лучи не могут просто масштабироваться (сжимая или растягивая ось x) для управления кривой ускорения. Скорее, в непараксиальном случае разные значения подразумевают разные порядки Бесселевской функции, влияющие на ширину долей косвенно.

Придя к рассмотрению непараксиальных ускоряющих решений уравнений (3) и (4), отметим, что любая суперпозиция этих решений с разными значениями α также дает ускоряющий луч, который распространяется по той же криволинейной траектории. Такая суперпозиция ускоряется синхронно, но не сохраняет форму: это бризер с периодичностью, зависящей от разницы между значениями α. Таким образом, бесконечное семейство периодически ускоряющихся лучей могут быть получены из суперпозиций. Рисунок 2 © показывает такой периодический ускоряющийся луч. Обратите внимание, что некоторые из периодических ускоряющих пучков имеют конечную мощность, из—за деструктивного вмешательства на хвостах. Математически это происходит, когда особые точки в k пространстве

отменяются суммированием двух и более волн, как и в случае x—компоненты TM поляризации (которая также является периодическим решением для TE). Многие другие примеры периодических ускоряющих лучей конечной мощности могут быть получены из уравнения. (5) для смешанных поляризаций.

В заключение отметим, что ускоряющие лучи также можно найти с помощью методов, основанных на каустике (caustics) [8,10,16]. А в недавней работе [10] было предложено использовать метод каустики для генерации непараксиальных ускоряющих лучей. Этот метод основан на принципах лучевой оптики, но взят в непараксиальных углах. Таким образом, ускоряющие лучи, движущиеся по произвольной кривой могут достигать больших углов изгиба. Тем не менее, в то время как этот метод ограничивает главный лепесток для ускорения вдоль предварительно рассчитанной кривой, он не определяет, как остальная часть луча распространяется. На практике луч считается ускоряющим, но он не является недифрагирующим: через некоторое расстояние дифракционные эффекты размывают структуру луча и ускорение прекращается [8,10]. Следовательно, такая «едкая» конструкция ускоряющая лучи отличается от параксиальных лучей Эйри от нелинейных ускоряющих лучей [4–7], и от не параксиальных ускоряющих лучей описанных здесь, которые не дифрагируют: для всех этих лучей весь пучок ускоряется с инвариантом для распространения амплитудой, тогда как ускоряющие лучи с каустической конструкцией не предназначены для инвариантного распространения.

Подводя итог, мы обнаружили не параксиальное ускорение лучей и не параксиальные периодически колеблющиеся ускоряющие лучи. Эти лучи являются полными векторными решениями уравнения Максвелла для сохранения формы ускорения луча. Более того, в своей скалярной форме эти пучки являются точными решениями для не дисперсных ускоряющихся волновых пакетов, простого и наиболее распространенного волнового уравнения, описывающего гармонические во времени волны. Таким образом, представленные в этой статье работы имеют глубокое значение для почти любой линейной волновой системы в природе, начиная от звука волн и поверхностных волн в жидкостях до многих видов классических волны. В этом духе теперь ясно, что феномен ускоряющихся волн не является результатом необычного поведения уравнения Шрёдингера (которое эквивалентно параксиальному волновому уравнению), как можно подумать от прочтения первой статьи, посвященной этой теме [17]. Аналогичным образом эта работа показывает, что не параксиальные не дифрагирующие лучи больше не обязательно похожи на лучи Бесселя [11, 12], которые всегда распространяются по прямой линии, но теперь включают также самогибающиеся лучи. Для полноты картины в будущей работе следует изучить возможность 33 трехмерных ускоряющих лучей, включая те, траектории которых не лежат в одной плоскости. С практической точки зрения, эта работа переводит оптику ускоряющего луча в субволновой режим благодаря особенностям наших решений, которые меньше длины волны, что способствует более высокому разрешению для манипуляций с частицами.

Работа поддержана грантом Advanced Grant от Европейского исследовательского совета, Израильским научным фондом и USA — Israel Binational Science Фонд.

Примечание, добавленное в доказательство. — Мы обратили внимание на то, что недавно были продемонстрированы непараксиальные ускоряющие пучки [18], разработанные с использованием подхода, основанного на каустике. По сути, методы, основанные на каустике не могут быть использованы для нахождения точного ускоряющего недифрагирующего решения уравнения Гельмгольца, как описано здесь. Однако авторы [18] использовали приближенный интегральный анализ дифракции для поиска лучей с каустикой, инвариантной по ширине, и обнаружили, что такие лучи имеют круговую траекторию. Конечно, можно рассматривать эксперименты [18] как первое наблюдение ускоряющегося сохраняющего форму непараксиального луча, которые мы предсказали в данной статье.

Практическая трансформация теории

Приведенные в статье формулы показывают возможность расчета магнитных полей для управления лучами (излучением). Лучи в свою очередь — это электромагнитная волна или поток фотонов. Таким образом опираясь на форму из статьи можно рассчитать требуемые параметры для отклонения и фокусировки лучей в нужной позиции, а следовательно можно применять в повседневной жизни в разных ее сферах.

Зачем это все и откуда такая уверенность в трансформации теории в большее? — спросит уважаемый читатель. Дело в том, что над переводом работала команда проекта WALLRAYS, компетенции команды которого лежат как раз в разработке безэкранных технологий и устройств. Сейчас коллеги находятся на стадии создания прототипа и очень надеюсь, что концу года они покажут свой первый девайс.

Итак, о самой трансформации и где можно применять теоретические постулаты статьи.



Создание оптических пинцетов для манипуляции микроскопическими объектами. Оптический пинцет — это устройство позволяющее перемещать вещества с помощью света. Если сказать по другому, это устройство, способное захватывать маленькие кусочки вещества при помощи лазерного луча. Область применения оптических пинцетов велика, например их можно применять в биологии, для манипуляции клетками или ДНК, проводить исследования, двигать предметы находящиеся за преградой при условии, что преграда пропускает свет. Словом делать все то, что можно делать обычным пинцетом, только на более низком уровне.

Создание безэкранных устройств или генерация изображений, проецируемых в любую точку пространство при отсутствии поверхности. Управля лучами при помощи электромагнитного поля, теоретически при помощи их фокусировки в заданной области можно создавать изображения которые выводятся прямо в воздух и не используют поверхность. Применять такое решение можно для создания сверхкомпактных экранов, которые в свою очередь можно применять для носимых гаджетов, развлечения, или создания эффекта полного погружения в виртуальную среду. Стоит отметить, что теоретические выкладки статьи, предпосылки создания такого класса изображения и требуется еще много чего, чтобы создать безэкранный дисплей.

Еще одна область применения — квантовая защита информации или данных. В этой области практического применения можно разработать микроскопические маркеры которые могут размещаться на носителях информации и будут обеспечивать подлинность получаемой информации. Так как мы передаем информацию не только в электронном виде но еще и на носителях к примеру системы маркировки, то помещая туда квантовый маркер мы можем защитить такие носители и точно удостоверять подлинность.

Если заглянуть немного в будущее, то основываясь на выводах сделанных в этой статье, возможно создать устройство позволяющее работать с микроскопическими объектами. А именно захватывать элементы с помощью света и создавать из них требуемые материалы или даже изделия. Такое устройство станет эволюционным этапом развития 3D принтеров — когда вместо пластика будет достаточно подключить источник света, обеспечить устройство требуемыми молекулярными компонентами, а оно соберет нужный элемент самостоятельно.

Лучи способные изгибаться, смогут значительно помочь в строительстве. Сейчас для измерений поверхности требуется прямая видимость. Но если в процессе измерения луч сможет обогнуть препятствие, учесть его в измерении и продолжить путь дальше, то это намного облегчит измерительный процесс.

В промышленности на основе такого типа лучей возможно создание станков, способных выполнять производственный процесс на совершенно новом уровне. К примеру, в обработки деталей где не способна справиться роботизированная рука и требуется обработать элемент изнутри через маленькое техническое отверстие то лучи, способные на изгибание с этим справятся достаточно хорошо, или во время сварочных работ когда нет свободного доступа в делали, можно будет совершенно спокойно провести сварочные работы под совершенно любым углом и сложностью доступа.

[1] G. A. Siviloglou and D. N. Christodoulides, Opt. Lett. 32, 979 (2007); G.A. Siviloglou, J. Broky, A. Dogariu, and D. N. Christodoulides, Phys. Rev. Lett. 99, 213901 (2007).
[2] J. Baumgartl, M. Mazilu, and K. Dholakia, Nature Photon. 2, 675 (2008).
[3] P. Polynkin, M. Kolesik, J.V. Moloney, G.A. Siviloglou, and D. N. Christodoulides, Science 324, 229 (2009).
[4] I. Kaminer, M. Segev, and D. N. Christodoulides, Phys. Rev. Lett. 106, 213903 (2011);
[5] A. Lotti, D. Faccio, A. Couairo, D. G. Papazoglou, P. Panagiotopoulos, D. Abdollahpour, and S. Tzortzakis, Phys. Rev. A 84, 021807 (2011).
[6] I. Dolev, I. Kaminer, A. Shapira, M. Segev, and A. Arie, Phys. Rev. Lett. 108, 113903 (2012).
[7] R. Bekenstein and M. Segev, Opt. Express 19, 23706 (2011).
[8] E. Greenfield, M. Segev, W. Walasik, and O. Raz, Phys. Rev. Lett. 106, 213902 (2011).
[9] A.V. Novitsky and D.V. Novitsky, Opt. Lett. 34, 3430 (2009); L. Carretero, P. Acebal, S. Blaya, C. Garcı´a, A. Fimia, R. Madrigal, and A. Murciano, Opt. Express 17, 22432 (2009).
[10] L. Froehly, F. Courvoisier, A. Mathis, M. Jacquot, L.Furfaro, R. Giust, P. A. Lacourt, and J. M. Dudley, Opt. Express 19, 16455 (2011).
[11] J. Durnin, J. J. Miceli, Jr., and J. H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 58, 1499 (1987).
[12] J. A. Stratton, Electromagnetic Theory (Classic Reissue, IEEE Press, New Jersey, 2007).
[13] S. Hacyan, J. Opt. 13, 105710 (2011).
[14] Similar to a temporally accelerating pulse which is also split in two halves, corresponding to positive and
negative group velocities; see I. Kaminer, Y. Lumer,
M. Segev, and D. N. Christodoulides, Opt. Express 19, 23132 (2011).
[15] J. Broky, G.A. Siviloglou, A. Dogariu, and D. N. Christodoulides, Opt. Express 16, 12880 (2008).
[16] Y. Kaganovsky and E. Heyman, Opt. Express 18, 8440 (2010).
[17] M.V. Berry and N. L. Balazs, Am. J. Phys. 47, 264 (1979).
[18] F. Courvoisier, A. Mathis, L. Froehly, R. Giust, L. Furfaro,
P.-A. Lacourt, M. Jacquot, and J. M. Dudley,