Учёные выяснили, что в невзаимных системах, где третий закон Ньютона не выполняется, фазовыми переходами вещества управляют сингулярности — точки, в которых две характеристики системы сливаются, становясь неразличимыми математически. Открытие может привести к появлению нового математического аппарата.

Пока у нас начинается флагманский курс Data Science, приглашаем под кат узнать подробности и, конечно, увидеть эксперимент с машинкой на КДПВ.

Третий закон Ньютона гласит:

Действию всегда есть равное противоположное противодействие.

400 лет этот закон объясняет, почему мы не проваливаемся сквозь пол (пол тоже давит на нас) и почему, гребя вёслами, мы заставляем лодку скользить по воде. В равновесной системе энергия не входит и не выходит. Такое равновесие — это правило.

Математически элегантно эти системы описываются статистической механикой — разделом физики, изучающим поведение совокупностей объектов. Это позволяет учёным моделировать условия, ведущие к фазовым переходам вещества, когда из одного состояния оно переходит в другое, например при замерзании воды.

Но многие системы далеки от равновесия. Ярчайший пример — сама жизнь. Метаболизм, преобразуя вещества в энергию, не даёт нам пребывать в равновесии. Тело человека, пребывающее в равновесии, — мёртвое тело. В живых системах слова «равное» и «противоположное» из третьего закона Ньютона теряют актуальность.

«Представьте себе две частицы, — предлагает Винченцо Вителли, специалист по теории конденсированных сред Чикагского университета, — частица A взаимодействует с B иначе, чем B с A». 

Такие отношения наблюдаются в системах типа нейронных сетей, частиц в жидкостях и даже — если брать шире — в социальных группах. Хищник ест свою добычу, но добыча не ест хищника.

Для таких неуправляемых систем статистическая механика не может сформулировать фазовые переходы. Вне равновесия преобладает невзаимность. Летящие в стае птицы — пример того, как легко нарушается третий закон Ньютона: они не могут посмотреть назад и меняют траекторию полёта, ориентируясь на впереди летящих птиц. Поэтому птица А взаимодействует с птицей В не так, как птица В взаимодействует с птицей А — такое поведение невзаимно.

Машины, которые несутся по шоссе или стоят в пробке, тоже невзаимны. Инженеры и физики, работающие с метаматериалами, чьи свойства определяются скорее структурой, нежели составом, использовали невзаимные элементы, чтобы создавать акустические, квантовые и механические устройства.

Многие из этих систем вне равновесия, так как отдельные их составляющие имеют собственный источник энергии — АТФ для клеток, бензин — для автомобилей. Но все эти дополнительные источники энергии и несовпадающие взаимодействия создают сложную динамическую систему, недоступную статистической механике. Как в столь переменчивых системах анализировать фазы?

Вителли с коллегами видит ответ в особых точках системы — математических объектах, обычно называемых сингулярностью. Сингулярность — это точка, где минимум две характеристики с точки зрения математики сливаются в одну и становятся неразличимыми. В особой точке математическое поведение системы резко отличается от её поведения в соседних точках. Такие точки часто описывают любопытные явления в системах, например лазеры, постоянно получающие и излучающие энергию.

Учёные обнаружили, что в невзаимных системах сингулярности управляют фазовыми переходами. Физики и математики десятки лет изучают особые точки в самых разных условиях, но никогда так широко не ассоциировали их с этим типом фазового перехода. 

«Никто раньше не думал о сингулярностях в контексте неравновесных систем, — делится физик Синтия Рейххардт из Лос-Аламосской национальной лаборатории в Нью-Мексико. — Так что можем привлечь всю имеющуюся технику, чтобы изучить эти системы».

Новая работа также устанавливает связи ряда сфер и явлений, которые многие годы, казалось, не имели отношения друг другу. 

«Считаю, что их работа представляет обширную область для дальнейших разработок в математике», — выражает своё мнение Роберт Кон из Курантовского института математических наук Нью-Йоркского университета.

Когда нарушается симметрия

Началось всё не с птиц или нейронов, а с квантовых странностей. Несколько лет назад два автора этой новой работы — Рио Ханаи, аспирант Чикагского университета, и Питер Литтлвуд, научный руководитель Ханаи, — исследовали квазичастицу поляритон. Литтлвуд входит в научно-консультативный совет Института Флэтайрон, исследовательского подразделения фонда Simons Foundation, который также финансирует этот ресурс.

Квазичастица, по сути, не является частицей. Это совокупность квантовых поведений, которые вместе выглядят так, будто имеют отношение к частице. Поляритон появляется, когда фотоны соединяются с квазичастицами — экситонами. Поляритоны имеют очень небольшую массу, очень быстро движутся и образуют бозе-конденсат — состояние вещества, в котором все отдельные атомы приходят в квантовое состояние при более высоких температурах, чем другие частицы.

Но использовать поляритоны для создания бозе-конденсата — это сложно: конденсат протекает, то есть фотоны постоянно покидают систему, а значит, чтобы компенсировать эту потерю, в неё всё время должен поступать свет. Иными словами, эта система вне равновесия.

«С точки зрения теории именно это нас и интересовало», — говорит Ханаи.

Для Ханаи и Литтлвуда это аналогично созданию лазеров.

«Фотоны просачиваются всё время, но мы поддерживаем когерентное состояние», — рассказывает Литтлвуд.

Это происходит из-за постоянного добавления новой энергии, питающей лазер. Учёные хотели узнать, как нарушение равновесия влияет на симметрию системы, переход в бозе-конденсат или другие экзотические квантовые состояния вещества.

В основе фазовых переходов лежит концепция симметрии. Жидкости и газы считаются очень симметричными: окажись вы в их струе размером с молекулу, брызги частиц во всех направлениях летели бы одинаково.

Но пролетите на корабле через кристалл или другое твёрдое тело, и вы увидите, что молекулы занимают прямые ряды, а узоры определяются вашим положением. Когда материал переходит из жидкого или газообразного состояния в твёрдое, учёные говорят, что его симметрия «нарушается».

В физике один из самых изученных фазовых переходов обнаруживается в магнитных материалах, например в железе или никеле, в каждом атоме которых есть так называемый магнитный момент — крошечное индивидуальное магнитное поле. 

В магнитах эти магнитные моменты расположены в одном направлении и все вместе создают магнитное поле. Но при нагреве материала — даже свечой на школьных опытах — направления меняются. Одни магнитные моменты указывают в одну сторону, другие — в другую. Общее магнитное поле теряется, а симметрия восстанавливается. При остывании моменты снова выравниваются, нарушая эту произвольную симметрию, и магнетизм восстанавливается.

Стаю птиц тоже можно рассматривать как нарушение симметрии: они летят не в случайных направлениях, а выравниваются, как направления магнита. Но есть важное отличие: ферромагнитный фазовый переход легко объясняется статистической механикой, так как соответствующая система находится в равновесии. Однако птицы — и клетки, и бактерии, и машины в пробке — добавляют в систему новую энергию.

«Имея источник внутренней энергии, они ведут себя иначе, — утверждает Райххардт. — Но энергия ими не сохраняется и появляется в системе из ниоткуда».

За пределами кванта

Ханаи и Литтлвуд начали изучение фазовых переходов в бозе-конденсат с размышлений об обычных фазовых переходах. Возьмём воду: жидкая вода и пар выглядят по-разному, но между ними практически нет различий в смысле симметрии. С математической точки зрения в точке перехода эти два состояния неразличимы. В равновесной системе точка перехода называется критической точкой.

Критические явления проявляются повсюду — в космологии, физике высоких энергий, даже в биологических системах. Но во всех этих примерах учёные не смогли найти хорошую модель для конденсатов, которые образуются при соприкосновении квантовомеханических систем с окружающей средой и постоянной утечке и поступлении энергии.

Ханаи и Литтлвуд предположили, что у критических и особых точек должны быть важные общие свойства, хотя бы и явно обусловленные разными механизмами.

«Критические точки — это своего рода математическая абстракция, — говорит Литтлвуд, — где разница между этими двумя фазами не определяется. — То же происходит и в системах с поляритонами».

Учёные также выяснили, что у лазера — технически это также состояние материи — и поляритонно-экситонного бозе-конденсата одни и те же основные уравнения. В работе, опубликованной в 2019 году, они предложили новый и — что особенно важно — универсальный механизм, с помощью которого в квантовых динамических системах особые точки приводят к фазовым переходам.

«Кажется, это было первое объяснение этих переходов», — делится Ханаи.

Тогда же Ханаи пришёл к выводу: хотя изучается квантовое состояние вещества, уравнения не зависят от квантовой механики. Применимо ли изучаемое ими явление к ещё более крупным и общим явлениям?

«Мы начали подозревать, что эта идея [связь фазового перехода и сингулярности] может быть применена и к классическим системам».

В погоне за идеей учёные обратились за помощью к изучающим необычные симметрии в классической области Вителли и постдокторанту его лаборатории Мишелю Фручарту. Их работа касается метаматериалов, которые изобилуют невзаимными отношениями: например, проявляют различные реакции на нажатие с той или иной стороны, а также сингулярности. Вителли и Фручарта это заинтриговало. Был ли в поляритонном конденсате какой-то универсальный принцип или фундаментальный закон систем с несохраняющейся энергией?

Синхронизация

Четверо учёных приступили к поискам общих принципов, лежащих в основе связи между невзаимностью и фазовыми переходами. Для Вителли это означало думать руками: он привык создавать физико-механические системы, чтобы иллюстрировать сложные абстрактные явления. Когда-то даже воспользовался Lego, чтобы сделать решётки, которые становятся топологическими материалами, движущимися по краям иначе, чем внутри.

«То, о чём мы говорим, — теория, но её можно показать с помощью игрушек», — утверждает Вителли.

Однако для особых точек, по его словам, «Lego недостаточно». Он решил, что невзаимные системы проще моделировать движущимися строительными блоками, на которые распространяются правила невзаимных отношений. Поэтому был собран отряд маленьких симпатичных двухколёсных роботов-помощников с цветовой кодировкой, запрограммированных на определённое невзаимное поведение. 

Красные выравниваются с другими красными, синие — с другими синими. В чём же невзаимность? Красные ориентируются в тех же направлениях, что и синие, а синие указывают в направлении, противоположном от красных. Это гарантирует, что ни один агент не получит желаемого.

Каждый робот запрограммирован одинаково с другими роботами того же цвета, но красные ориентируются на синих, а синие указывают в противоположном от красных направлении. Результат — спонтанный фазовый переход — все вращаются на месте.

«Вращение не было заложено в роботах, — уточняет Вителли. — Всё из-за этих досадных взаимодействий и их движений».

Велик соблазн позволить прелестному отряду вращающихся роботов затмить основную теорию,но эти вращения даже точно показали фазовый переход для системы вне равновесия. И продемонстрированное ими нарушение симметрии математически согласуется с явлением, которое Ханаи и Литтлвуд обнаружили, когда рассматривали экзотические квантовые конденсаты.

Чтобы лучше изучить это сравнение, учёные обратились к математической области теории бифуркаций. Бифуркация — это качественное изменение поведения динамической системы, часто в виде разделения одного состояния на два.

Учёные также смоделировали две группы агентов, движущихся с постоянной скоростью и имеющих различные отношения между собой. Слева две группы перемещаются случайным образом. На следующем кадре синие и красные агенты летят в одном направлении, спонтанно нарушая симметрию и демонстрируя поведение стаи. Когда две группы летят в противоположных направлениях, наступает аналогичная антистайная фаза. В невзаимной ситуации (справа) начинается новая фаза, когда агенты бегут по кругу — вот ещё один случай спонтанного нарушения симметрии.

Математики рисуют бифуркационные диаграммы (похожие на вилы), чтобы проанализировать реакцию состояний системы на изменения их параметров. Часто бифуркация отличает стабильность от нестабильности, разделяет различные типы стабильных состояний. 

Это полезно при изучении систем, связанных с математическим хаосом, где небольшие изменения в исходной точке (один параметр в начале) могут вызвать большие изменения в результатах. Система переходит от нехаотического к хаотическому поведению через целый каскад точек бифуркации. Чтобы лучше понять невзаимные системы, четвёрка учёных использовала давнюю связь бифуркаций с фазовыми переходами.

Пришлось подумать и об энергетическом ландшафте. В статистической механике энергетический ландшафт системы показывает, как меняются формы энергии в пространстве. Например, от потенциальной к кинетической. В равновесии фазы вещества соответствуют минимумам, то есть долинам энергетического ландшафта.

«Но такая интерпретация фаз вещества требует, чтобы система оказалась на этих минимумах», — рассказывает Фручарт.

«Вероятно, самый важный аспект новой работы — раскрытие ограничений языка, который физики и математики используют для описания систем», — добавляет Вителли. 

В условиях равновесия статистическая механика описывает поведение и явления с точки зрения минимизации энергии — энергия не добавляется и не теряется. Но, когда система вне равновесия, по словам Вителли, «её уже нельзя описывать знакомым нам языком энергии, однако ещё есть переход между коллективными состояниями». Новый подход делает менее строгим фундаментальное предположение о том, что для описания фазового перехода энергию необходимо минимизировать.

«Предполагая невзаимность, мы больше не можем определять энергию, — говорит Вителли, — и должны преобразовать язык этих переходов в язык динамики».

В поисках экзотических явлений

Результаты работы находят широкое применение. Чтобы показать, как их идеи работают вместе, учёные проанализировали ряд невзаимных систем. Те виды фазовых переходов, которые они связали с особыми точками, нельзя описать с точки зрения затрат энергии. Поэтому изменения симметрии особых точек могут происходить только в невзаимных системах. Это означает, что за пределами взаимности лежит целый ряд явлений в динамических системах, которые возможно описать с помощью нового теоретического фундамента. Заложив этот фундамент, по словам Литтлвуда, учёные начали изучать, как широко он может применяться.

«Мы начинаем переносить его на другие динамические системы, о которых думали, что они не обладают такими же свойствами», — говорит он.

По словам Вителли, почти любую динамическую систему с невзаимными поведениями стоило бы исследовать с помощью этого нового подхода.

«Это шаг навстречу общей теории коллективных явлений в системах, динамика которых не регулируется принципом оптимизации».

Литтлвуд крайне воодушевлён поиском фазовых переходов в одной из сложнейших динамических систем — человеческом мозге.

«Нас ждёт нейронаука», — говорит он. И указывает, что нейроны бывают «разных видов» — иногда возбуждённые, иногда заторможенные. «Невзаимные, естественно».

Это означает, что связи и взаимодействия нейронов возможно точно смоделировать с помощью бифуркаций и путём поиска фазовых переходов, при которых нейроны синхронизируются и обнаруживают циклы.

«Направление, которое мы исследуем, — по-настоящему захватывающее, — восхищается Литтлвуд, — и работает математика».

Математик Роберт Кон из Курантовского института математических наук Нью-Йоркского университета считает, что эта работа может иметь связь с другими темами (турбулентным переносом или потоком жидкости), ещё не охваченными учёными. Невзаимные системы могут проявлять фазовые переходы или другие пространственные закономерности, для которых пока нет математического аппарата.

«Может быть, нам понадобится новая математика, — говорит Кон. — Это своего рода суть объединения математики и физики на благо обеих дисциплин. Песочница, которую мы до того не замечали, и список того, что мы могли бы сделать».

Перспективы завораживают. А пока мы ждём новых результатов, обратите внимание на наши курсы, чтобы разобраться в математике нейросетей и научиться с их помощью решать проблемы бизнеса:

Узнать подробности акции.

• Профессия Data Scientist (24 месяца)

• Курс «Machine Learning и Deep Learning» (6 месяцев)