Привет всем, добро пожаловать в раздел о сокращении Big O. В первой части мы познакомились с BigO нотацией, а сегодня вы узнаете, как взять большой сложный алгоритм и свести его до минимального значения Big O. После прочтения данной статьи вы сможете взглянуть на любой алгоритм и определить, что представляют собой различные компоненты в рантайме. Итак, давайте выясним, как на самом деле анализировать и определять Big O любого алгоритма.

Правила сокращения

Сначала мы отбрасываем неосновные термины, затем удаляем константы, затем добавляем любые доминирующие термины и умножаем любые вложенные.

Давайте посмотрим на несколько примеров:

func newFunc(_ n: Int) {
  var a = 0
  a = 10 
  a += 5            // O(1)
  
  for i in 0..<n {
    i += 1          // O(n)
  }

  for _ in 0..<n {
    //some stuff...
    for _ in 0 <..n {
      //some stuff...    // O(n^2)
    }
  }
}

Функции подобно этой состоят из различных частей.Здесь у нас есть константы, несколько простых операторов со временем выполнения O(n), а затем здесь вложенный цикл for, который является квадратичным. Если сложить их вместе, мы имеем выражение O(1) плюс O(n) плюс O(n^2), это время выполнения всего алгоритма. Но единственная часть, которая имеет значение и выполняет тяжелую работу, находится в конце - O(n^2). Это доминирующий термин. Когда мы уменьшаем сложность времени выполнения, мы говорим, что мы опускаем не доминирующие члены, в данном случае O (1) и O (n), и все это выражение просто сводится к O(n^2).

func newCondition(_n: Int) {
  if n == 5 {
    for_ in 0..<n {
      // Do some stuff...
    } else {
      for_ in 0..<n {
        // Do another stuff...
        for_ in 0..<n {
          // Do some stuff...
        }
      }
    }
  }
}

Теперь вам может быть интересно, а что, если у нас есть оператор if или какие-то условные выражения. В этом случае делаем то же самое, только берем наихудший случай.  В этом примере, если у нас есть путь, которыйпровел бы нас по функции за скорость O(n), но есть и другой путь, который ведет сюда со скоростью O(n^2), это наихудший случай, потому что это доминирующий термин. Поэтому мы всегда берем наихудший случай, и это станет нашей сокращенной нотацией Big O для этого алгоритма.

func dropConstants(_n: Int) {
  for_ in 0..<n { //O(n)
    // Do stuff...
    }
    for_ in 0..<n { //O(n)
    // Do stuff...
    }
    for_ in 0..<n { //O(n)
    // Do stuff...
    }
}

Примером правила отбрасывания(сокращения) констант может быть подобный алгоритм с тремя циклами for, один за другим. Каждый из них мы можем сложить. У нас есть три O(n), что сводится к O(3n). Но на самом деле эта константа, тройка не имеет значение. Так что можем ее отбросить. И все это выражение сократится до O(n).

Теперь есть только две ловушки, с которыми мы должны быть осторожны при сокращении BigO.

func addDominants(_n: Int, _m: Int) {
  for_ in 0..<n { //O(n)
    // Do stuff...
    }
  for_ in 0..<m { //O(m)
    // Do stuff...
    }
  }

Одна из них - сложение доминирующих терминов. Здесь у нас есть два цикла for. Обратите внимание, как один зацикливается O(n), а другой зацикливается O(m). Мы больше не можем их сократить. Поэтому, когда мы складываем эти два цикла, мы говорим, что время выполнения этого алгоритма составляет O (n + m). Это первый нюанс, с которым нужно быть осторожным.

func nested(_n: Int, _m: Int) {
    for_ in 0..<n { //O(n)
    // Do stuff...
    for_ in 0..<m { //O(m)
      // Do stuff...
      }
    }
  }

То же самое относится и к вложенным циклам. У нас есть цикл for O(n), а затем внутри него еще один цикл for O(m), мы не можем объединить их в n в квадрате. На самом деле нам просто нужно объединить n в m. Таким образом, алгоритм сводится к O(n*m).

Упражнения

Теперь для проверки своих знаний предлагаю порешать немного задачек на сокращение алгоритмов:

Еще примеры кода на гите.

Заключение

Что касается собеседования, вам поможет в анализе алгоритмов:

Во-первых, понимание общих режимов выполнения

Во-вторых, знание, как определить время выполнения алгоритма (в основном: постоянные, логарифмические, линейные) и в-третьих, правила сокращения.

:

Помните о ловушках: