![](http://habrastorage.org/files/c08/7b0/de8/c087b0de87d34aa6a72f3a0d6a302c1b.png)
Скачать статью в виде документа Mathematica (NB), CDF-файла или PDF.
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко за помощь в переводе.
В этой статье систематически проверяются некоторые свойства фигуры, известной с древних времён, называемой арбелос. Она включает в себя несколько новых открытий и обобщений, представленных автором данной работы.
Введение
Будучи мотивирован вычислительными преимуществами, которыми обладает Mathematica, некоторое время назад я решил приступить к исследованию свойств арбелоса — весьма интересной геометрической фигуры. С тех пор я был впечатлен большим количеством удивительных открытий и вычислительных проблем, которые возникали из-за всё расширяющегося объёма литературы, касающейся этого примечательного объекта. Я вспоминаю его сходство с нижней частью культового велосипеда пенни-фартинг из The Prisoner (телесериал 1960-х), шутовской шапкой Панча (знаменитых Punch and Judy) и символом инь-ян с одной перевёрнутой дугой; см. рис. 1. В настоящее время существует специализированный каталог архимедовых кругов (круги, содержащиеся в арбелосе) [1] и важные применения свойств арбелоса, которые лежат вне поля математики и вычислительных наук [2].
Многие известные исследователи занимались этой темой, в том числе Архимед (убитый римским солдатом в 212 г. до н.э.), Папп (320 г. н.э.), Кристиан О. Мор (1835-1918), Виктор Тебо (1882-1960), Леон Банкофф (1908-1997), Мартин Гарднер (1914-2010). С недавних пор свойствами арбелоса занимаются Клейтон Додж, Питер Ай. Ву, Томас Шох, Хироши Окумура, Масаюки Ватанабе и прочие.
Леон Банкофф — человек, который привлекал всеобщее внимание к арбелосу в последние 30 лет. Шох привлёк внимание Бэнкоффа к арбелосу в 1979 году, открыв несколько новых архимедовых кругов. Он послал 20-страничную рукописную работу Мартину Гарднеру, который направил её Бэнкоффу, который затем отправил 10-страничный фрагмент копии рукописи Доджу в 1996 году. Из-за смерти Бэнкоффа запланированная совместная работа была прервана, пока Додж не сообщил о некоторых новых открытиях [3]. В 1999 году Додж сказал, что ему потребуется от пяти до десяти лет, чтобы отсортировать весь материал, которым он располагает, разложив всё это дело по стопкам. В настоящее время эта работа все ещё продолжается. Не удивительно, что в четвертом томе The Art of Computer Programming, сказано о том, что важная работа требует большого количества времени.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/89d/ebd/bff/89debdbffdf93083fa40ccc863d5d48d.gif)
Рис. 1. Велосипед пенни-фартинг, куклы Панч и Джуди, физический арбелос.
Арбелос (“нож сапожника” в греческом языке) назван так из-за своего сходства с лезвием ножа, использующегося сапожниками (Рис. 1). Арбелос — плоская область, ограниченная тремя полуокружностями и общей базовой линией (рис. 2). Архимед, вероятно, был первым, кто начал изучать математические свойства арбелоса. Эти свойства описаны в теоремах с 4-ой по 8-ую его книги Liber assumptorum (или Книги лемм). Возможно, эту работу написал не Архимед. Сомнения появились после перевода с арабского Книги лемм, в которой Архимед упоминается неоднократно, но ничего не сказано о его авторстве (однако, существует мнение, что эта книга — подделка [4]). Книга Лемм так же содержит знаменитую архимедову Problema Bovinum [5].
Эта статья направлена на систематическое изложение некоторых свойств арбелоса и не носит исчерпывающий характер. Наша цель состоит в том, чтобы выработать единую вычислительную методологию для того, чтобы преподнести данные свойства в формате обучающей статьи. Все свойства выстроены в рамках определённой последовательности и представлены с доказательствами. Эти доказательства были реализованы посредством тестирования эквивалентных вычисляемых утверждений. В ходе выполнения данной работы автором было совершено несколько открытий и сделано несколько обобщений.
Мы называем наибольший полукруг верхней дугой, а два маленьких — левосторонней и правосторонней дугами, или просто боковыми дугами, если нет необходимости их различать. Мы используем
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/4a7/588/cd1/4a7588cd17d74ca9eb7c26d83e6320c6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0a6/964/ab7/0a6964ab7d1414bcc0b872c18a59503e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/bc7/c79/eeb/bc7c79eeb42f151321d61f2820eb0817.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5dc/adb/287/5dcadb287239412d838a1e1e893b6f06.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/ea6/c02/12b/ea6c0212b19f759dcd163148f064926b.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/787/b94/946/787b94946c00c7bf4c4a65528502a522.gif)
Эта функция задаёт арбелос.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e92/830/de1/e92830de1784d9487612771555972d3f.gif)
Так можно нарисовать сам арбелос.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/585/b31/2c8/585b312c8b2fb33bf5e0f333868c2354.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b78/3d0/240/b783d02400baef1c5f4540fe272d60ae.gif)
Рис 2. Арбелос.
Свойство 1
Периметр арбелоса равен периметру наибольшей окружности.
Свойство 2
Площадь арбелоса равна площади круга с диаметром
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/154/437/ba1/154437ba11933c22b7580b292b75dda6.gif)
Это лемма под номером 4 из Книги лемм (рис. 3) [7, 8].
Эти два свойства легко доказываются путём вычисления представленной ниже логической конструкции, состоящей из двух равенств.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b68/bf1/f74/b68bf1f743d50bc25141b5500515ae39.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Функция drawpoints отображает заданные точки красными кружками.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/864/a5b/f16/864a5bf1604aef4775e3c2e4a4ff057f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/ef2/112/098/ef2112098bf3f2fbc54f7aa7ff2e371a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/c67/175/30c/c6717530c9af0759faf83d5c03c6eb2e.gif)
Рис. 3. Площадь круга диаметра
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/af0/293/db1/af0293db195c7b5a5e1b2aad2cdf8288.gif)
Радикальный круг
Круг на риc. 3 называется радикальным кругом арбелоса, а линия
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/154/437/ba1/154437ba11933c22b7580b292b75dda6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/723/617/79f/72361779f9e64383304bfec061ffdd21.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e35/b29/cd1/e35b29cd1cbb68787ba0ceab1aca48b6.gif)
Рис. 4. Обозначения координат, линий и окружностей, упомянутых в свойствах 3-11 и 25-26.
Свойство 3
Линии
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3ce/ad7/0ab/3cead70ab3d23ce1a3a6979c4a54f9f7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b37/15f/11c/b3715f11c4444037b7b0a353a45648aa.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f6e/8e7/94e/f6e8e794e01fb264109712e7ad85420e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/898/969/270/8989692700618893e00d4e328c9c1d8d.gif)
Чтобы доказать перпендикулярность линий
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3ce/ad7/0ab/3cead70ab3d23ce1a3a6979c4a54f9f7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b37/15f/11c/b3715f11c4444037b7b0a353a45648aa.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5ac/a37/d5d/5aca37d5d3a3638965e0366d21351c7f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/bea/e56/c0d/beae56c0d2ac0dc86ea6a77cf2e4aa47.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/469/205/5de/4692055dec3ad6678ff087d699931ba9.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Используем полученный результат для получения угла наклона прямой
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f6e/8e7/94e/f6e8e794e01fb264109712e7ad85420e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/898/969/270/8989692700618893e00d4e328c9c1d8d.gif)
Теорема 1
Уравнение касательной к левой дуге в точке
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/dfb/f8a/76a/dfbf8a76ae0fc13ed4984cb30586e35f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/daa/895/564/daa895564fbab5c6ae5763ab855c7790.gif)
а уравнение касательной к правой дуге в точке
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d7d/a2e/b14/d7da2eb14751a0ca9ee2c88316c1f22a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/6ae/f4e/9b8/6aef4e9b8b46e0f9eebb500966677138.gif)
Функция PQ находит координаты точек касания
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f6e/8e7/94e/f6e8e794e01fb264109712e7ad85420e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/898/969/270/8989692700618893e00d4e328c9c1d8d.gif)
Помимо PQ, в данной статье встречаются так же и нижеперечисленные обозначения точек и величин: VWS, HK, U, EF, IJr и LM.
Функция dSq вычисляет квадрат расстояния между двумя заданными точками.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/893/e92/3c8/893e923c84588efc4754ae74bf29dc53.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f4b/53b/356/f4b53b356932085d30db18033a859c3b.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/656/0fd/658/6560fd658510af52bbcc4bc29ea514f4.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/fcd/e2a/b6a/fcde2ab6a31938f088aaf06037319ee0.gif)
Свойство 4
Точки
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f6e/8e7/94e/f6e8e794e01fb264109712e7ad85420e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/898/969/270/8989692700618893e00d4e328c9c1d8d.gif)
Так как
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/154/437/ba1/154437ba11933c22b7580b292b75dda6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f6e/8e7/94e/f6e8e794e01fb264109712e7ad85420e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/898/969/270/8989692700618893e00d4e328c9c1d8d.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/4c4/016/cb0/4c4016cb01164c480ac9247cbcf39b68.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a2f/e36/198/a2fe361987672179407c6380d1cd2377.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Свойство 5
Пусть линия
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a4e/c2f/cbc/a4ec2fcbce969e1e947561af2065ff3c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/387/e98/948/387e9894894e97bcdf29176e3b986fd2.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a8c/d40/8c5/a8cd408c57c861e9ef62f143cbf21046.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/387/e98/948/387e9894894e97bcdf29176e3b986fd2.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a8c/d40/8c5/a8cd408c57c861e9ef62f143cbf21046.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5ac/a37/d5d/5aca37d5d3a3638965e0366d21351c7f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/154/437/ba1/154437ba11933c22b7580b292b75dda6.gif)
Мы получаем координаты точек
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/387/e98/948/387e9894894e97bcdf29176e3b986fd2.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a8c/d40/8c5/a8cd408c57c861e9ef62f143cbf21046.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3dc/e5e/4d9/3dce5e4d9d6ce283c68ec6ce164430c8.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3dd/f1d/2e1/3ddf1d2e1b5968e289dbf7586d64c0dc.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/98a/d68/0b0/98ad680b04e358df50433050de4b79d9.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/35a/a24/c1b/35aa24c1b26cf95744a923d109fe7515.gif)
Это доказывает свойство 5 путём проверки того, что расстояния от
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/387/e98/948/387e9894894e97bcdf29176e3b986fd2.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a8c/d40/8c5/a8cd408c57c861e9ef62f143cbf21046.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5ac/a37/d5d/5aca37d5d3a3638965e0366d21351c7f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5ac/a37/d5d/5aca37d5d3a3638965e0366d21351c7f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a3e/8c9/13d/a3e8c913d2b5b51cbad193ce6f4c9090.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Свойство 6
Прямая
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1fe/493/485/1fe4934851f2ebfe5ff4fe120d4a6e35.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/09f/6e3/3bd/09f6e33bd64295736c55cecebeaa2cb2.gif)
Это эквивалентно тому, что определитель векторов
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d90/d21/fed/d90d21fed465fbb4b551e5e7d8eff8b3.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f67/30f/8c0/f6730f8c07bc2c9939d8707835c91e94.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/6f8/089/daf/6f8089dafe0c5555746f29fc7dbba4cf.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Свойство 7
Прямая
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1fe/493/485/1fe4934851f2ebfe5ff4fe120d4a6e35.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/131/c99/e04/131c99e04edbb9cf27a2343acfa6ccd0.gif)
Это эквивалентно тому, что скалярное произведение векторов
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d90/d21/fed/d90d21fed465fbb4b551e5e7d8eff8b3.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/279/919/82f/27991982f458850d2a1660288f5f0fe3.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/ace/aa0/f30/aceaa0f305e015a54ebeafc429bf13cb.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Обозначим окружность с центром в
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/9ad/1f8/b27/9ad1f8b270821a34ddef4566ed958ca6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/842/392/18e/84239218e02c8c2aa769934d3427d79f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e0e/2c1/3ca/e0e2c13ca29752d199f14b39203d9ec9.gif)
Свойство 8
Пары
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0f0/758/0e4/0f07580e49ec6599b7eb3b25495362c4.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f6e/8e7/94e/f6e8e794e01fb264109712e7ad85420e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/190/156/4b1/1901564b118fc85b33a910d98be40805.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/898/969/270/8989692700618893e00d4e328c9c1d8d.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/12c/02f/28f/12c02f28f71c58e9191a75f347b88175.gif)
Обратной точкой к точке
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/873/154/9bf/8731549bffd7a59b7ee825f3a9e45221.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a1d/dfe/194/a1ddfe194a50805ddf91b2b6d5fb357b.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d65/b07/5c1/d65b075c181ce5d459978f9cc1e67c35.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/865/a73/57a/865a7357ab79235fdc1d3485cc228af6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/c78/ed7/ba5/c78ed7ba557a8750e234e875012ae5c1.gif)
Так можно доказать свойство 8, подставив
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/190/156/4b1/1901564b118fc85b33a910d98be40805.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/8c4/36a/6d6/8c436a6d609f6f47ca2d33c6e16d580d.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/fcc/5b0/3d3/fcc5b03d3f4aa57290d403b9a2972970.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Свойство 9
Исследуем окружность обратных точек
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/12c/02f/28f/12c02f28f71c58e9191a75f347b88175.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/387/e98/948/387e9894894e97bcdf29176e3b986fd2.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a8c/d40/8c5/a8cd408c57c861e9ef62f143cbf21046.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/ae2/529/47d/ae252947df8fb5d56c596abdeb10c2e0.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/99d/65b/f29/99d65bf29dc772e77ab1075433bdd94a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1c9/54c/893/1c954c893298bc951d75e8f7d0e64a3f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/ae8/25f/feb/ae825ffebdecc12b501219cf284221cc.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cb7/d8e/90f/cb7d8e90fce1c2047434e075088c27d0.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a6a/e19/20c/a6ae1920c8ba43741226d85355fbc6d7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3f6/a4a/c8b/3f6a4ac8beeb44175c72e7ebaf2d27fd.gif)
Свойство 10
Прямые
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1fe/493/485/1fe4934851f2ebfe5ff4fe120d4a6e35.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/09f/6e3/3bd/09f6e33bd64295736c55cecebeaa2cb2.gif)
Это утверждение аналогично тому, что соответствующие дуги (то есть их касательные) перпендикулярны радикальной окружности (его касательным в точках пересечения). Согласно свойству 8, дуги являются перпендикулярными окружности с диаметром
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/154/437/ba1/154437ba11933c22b7580b292b75dda6.gif)
Свойство 11
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/050/efd/a1e/050efda1e675025ef1b0e86a471f0944.gif)
Это один из сюрпризов Бэнкоффа (Bankoff’s surprises) [12,13,14]. Если все четыре точки лежат на радикальной окружности, нам достаточно доказать, что
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a4e/c2f/cbc/a4ec2fcbce969e1e947561af2065ff3c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1d7/3e8/5a0/1d73e85a03a3c5578ec8410d988a3f88.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/691/895/1fe/6918951fe983cc8e13adf54afc0d3f6e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Представленная ниже демонстрация со слайдером (реализованным посредством функции Manipulate) иллюстрирует свойства 3-11. Самый лёгкий способ задать точки P, Q, H, K — скопировать и вставить соответствующие для них формулы.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/996/e10/d89/996e10d890552741a1f8c8071c556f05.gif)
![](http://habrastorage.org/files/55d/7ea/3ba/55d7ea3ba2e6404ba29bfe124765f565.gif)
Вписанная окружность
Теперь рассмотрим окружность, касательную к боковым дугам и верхней дуге — вписанную окружность
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/2ae/d56/256/2aed5625695fb41c7e49fa737bcf0151.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/453/29b/974/45329b974ea30409f935f4559fe0113c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b68/dde/4ea/b68dde4ea8f36fd4a7cebdeb706d7b70.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/eff/5f8/2bc/eff5f82bcebd6bfc932ba1c684f8a3e7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/29e/74b/71e/29e74b71e31abe7bd84d800ae0ccc558.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/4d6/797/271/4d6797271698f2916d3d8731598eaf29.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/6df/99a/743/6df99a7439a5cba8274afd4d1aa4c5e8.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3c9/dcb/185/3c9dcb18577310fc5c94df43d1795455.gif)
Рис. 5. Вписанная окружность
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/931/8a3/3df/9318a33dfae47dbed2b4a9f107ff70dd.gif)
Шестое утверждение из Книги лемм включает так же радиус вписанной окружности, обозначаемый как
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0ab/528/548/0ab528548e7d47ecd42c3f8a65d760fd.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1eb/856/d72/1eb856d726d6acb68356c3913df7394f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/dfa/961/82f/dfa96182f9952f4ac66f3ff06eae872a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0ab/528/548/0ab528548e7d47ecd42c3f8a65d760fd.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/fa8/5a3/ed8/fa85a3ed8709fac85f2646375a1b4fa3.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/486/f64/0f9/486f640f94e1f10c9226f89b5e1fc49a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a9d/031/5fe/a9d0315fe8e30ee77beda4a9f9b361f4.gif)
Координаты точек касания
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/453/29b/974/45329b974ea30409f935f4559fe0113c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b68/dde/4ea/b68dde4ea8f36fd4a7cebdeb706d7b70.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/eff/5f8/2bc/eff5f82bcebd6bfc932ba1c684f8a3e7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/7e1/7c2/e49/7e17c2e499cac7a64ffd24a625facaa5.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/7b4/f86/cae/7b4f86cae66ef4e6ecc65f19de664b04.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/57f/7c6/637/57f7c6637f226044538fc72e9cbd38cf.gif)
Свойство 12
Точки
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/29e/74b/71e/29e74b71e31abe7bd84d800ae0ccc558.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/453/29b/974/45329b974ea30409f935f4559fe0113c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/190/156/4b1/1901564b118fc85b33a910d98be40805.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0f0/758/0e4/0f07580e49ec6599b7eb3b25495362c4.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b68/dde/4ea/b68dde4ea8f36fd4a7cebdeb706d7b70.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/4d6/797/271/4d6797271698f2916d3d8731598eaf29.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d12/208/f9a/d12208f9a55027d6bfdb01aa9a6fda12.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/37b/9e0/854/37b9e0854d11bc40fa668733445fc7b4.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/29c/46f/719/29c46f719860994ac4c7b24e5abcecd4.gif)
Первые два утверждения можно доказать, используя критерий определителя для проверки коллинеарности.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/692/4f9/dc5/6924f9dc5fe75c2782d53acf017a6620.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Пусть
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/082/c85/c2f/082c85c2f3602ac711ba65eb6a7b6eb7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d12/208/f9a/d12208f9a55027d6bfdb01aa9a6fda12.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/37b/9e0/854/37b9e0854d11bc40fa668733445fc7b4.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/dfa/961/82f/dfa96182f9952f4ac66f3ff06eae872a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0ab/528/548/0ab528548e7d47ecd42c3f8a65d760fd.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b9d/c94/1aa/b9dc941aa37415d10d1fd13606c6343e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Свойство 13
Точки
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0f0/758/0e4/0f07580e49ec6599b7eb3b25495362c4.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b68/dde/4ea/b68dde4ea8f36fd4a7cebdeb706d7b70.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/eff/5f8/2bc/eff5f82bcebd6bfc932ba1c684f8a3e7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/29e/74b/71e/29e74b71e31abe7bd84d800ae0ccc558.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/190/156/4b1/1901564b118fc85b33a910d98be40805.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/453/29b/974/45329b974ea30409f935f4559fe0113c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/eff/5f8/2bc/eff5f82bcebd6bfc932ba1c684f8a3e7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/4d6/797/271/4d6797271698f2916d3d8731598eaf29.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/40e/b58/4fe/40eb584fe52c890ac8019030dc313c22.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/56f/f60/ced/56ff60ced0019c9e64737dd2291d448f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Представленная ниже демонстрация с Manipulate иллюстрирует свойство 13 [17]. Опция Bankoff circle покажет вписанную окружность в треугольник, который соединяет центры дуг. Это иллюстрирует свойство 23.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d84/755/093/d84755093eb38f0bf55528ee17161dbf.gif)
![](http://habrastorage.org/files/bb6/c10/42e/bb6c1042ebe443739efcb6e209cd151e.gif)
Свойство 14
Пусть
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cb4/ff8/c46/cb4ff8c4603f8d1c82642f8d73976f67.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3f6/a4a/c8b/3f6a4ac8beeb44175c72e7ebaf2d27fd.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/491/854/528/491854528b9c7ed0bfbe97bbc653d7b6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cb4/ff8/c46/cb4ff8c4603f8d1c82642f8d73976f67.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3f6/a4a/c8b/3f6a4ac8beeb44175c72e7ebaf2d27fd.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cb4/ff8/c46/cb4ff8c4603f8d1c82642f8d73976f67.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/491/854/528/491854528b9c7ed0bfbe97bbc653d7b6.gif)
Данное свойство проиллюстрировано в следующей демонстрации с Manipulate и легко может быть проверена следующим выражением.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/22f/85e/cd0/22f85ecd0849b84ac2578764b3c75ff6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Свойство 15
Пусть
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/204/770/5ef/2047705ef0baed2501c59e3707457d97.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e35/cc3/7cf/e35cc37cf60e2344a9c06f992b40d407.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/524/e5f/220/524e5f22086b28d959547d7a777371aa.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/de7/a52/2da/de7a522daef324abf749e2bb61322ee1.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/af6/06a/4b2/af606a4b26361a9b092017c804fa5111.gif)
Сперва получим точки
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/204/770/5ef/2047705ef0baed2501c59e3707457d97.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e35/cc3/7cf/e35cc37cf60e2344a9c06f992b40d407.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/54e/2fe/e33/54e2fee33d25415e26a6903eb8ecc969.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/8f5/631/4ca/8f56314ca6aa0dbefcb090c30ac2eac5.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/31a/850/cf9/31a850cf9c3bc5748d2457ca640d54cf.gif)
Докажем свойство 15, сделав
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/204/770/5ef/2047705ef0baed2501c59e3707457d97.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/7c1/0e9/695/7c10e96951e803e5ba96bd8c24512a85.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/eff/5f8/2bc/eff5f82bcebd6bfc932ba1c684f8a3e7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/204/770/5ef/2047705ef0baed2501c59e3707457d97.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/7c1/0e9/695/7c10e96951e803e5ba96bd8c24512a85.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/97e/89e/19f/97e89e19f518789e47ed09991d1d219d.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Учитывая
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/7f5/036/6b3/7f50366b3e8f79f14080fff593ddfcf2.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/fed/bad/ebd/fedbadebdd6d4095ee0efd12a3ed61c0.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/125/74b/16a/12574b16a998c6700b3b634d53e2e261.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a40/89f/579/a4089f579349808b1855bd355e03a3a2.gif)
Демонстрация с Manipulate иллюстрирует свойства 14 и 15.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/190/35a/9ec/19035a9ec3a71908fefc143a61db7241.gif)
![](http://habrastorage.org/files/983/9c6/f05/9839c6f052184c338769520615b92d9b.gif)
Близнецы
Рассмотрим два серых круга, которые касаются радикальной оси, а так же боковые и верхние дуги на рис. 6. Они называются близнецами, или архимедовыми окружностями. В связи с нижеследующим замечательным свойством, они были хорошо изучены. Множество их необычных черт были освещены в нашем списке свойств [3, 18, 19].
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/026/529/975/0265299758e16f7ccb7dc04abf798343.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/eb9/b66/a4a/eb9b66a4a8bb7728fd94782cf57081e6.gif)
Рис. 6. Близнецы.
Свойство 16
Два круга, которые касательны радикальной оси, верхней и боковым дугам арбелоса имеют одинаковый радиус.
Это свойство идёт как пятое утверждение в Книге лемм. Решая данную систему из шести уравнений, мы находим значения их радиусов, проверяем, что они равны и находим координаты их центров
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/14c/bec/fa0/14cbecfa0febc45c3c888c363fade28f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/411/a57/f6e/411a57f6eae625f39abd55908ab69b73.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/9e3/32b/6ba/9e332b6ba5c4d0112942f19f6491c88a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b96/bd2/16f/b96bd216f2bd53eefb1bfb6bcf2f6185.gif)
Эти четыре решения дают центры, сгруппированные попарно:
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/ca3/3d3/40b/ca33d340b25b21d1c6c69c17115c72b2.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3cc/0b0/4f5/3cc0b04f5c50a0db3d561a13a5a0a389.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cb3/8d9/2d1/cb38d92d127a65030319a835abc694c8.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1e1/972/e12/1e1972e12df4666742bf37798f809cf7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e2b/753/e19/e2b753e1987162e0adb50aa5ff9dc778.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/840/b11/0eb/840b110ebeea8db58d3dff462e31bdfb.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/14c/bec/fa0/14cbecfa0febc45c3c888c363fade28f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/411/a57/f6e/411a57f6eae625f39abd55908ab69b73.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a84/90b/0b5/a8490b0b5a99e950f87180a746c2f312.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/842/392/18e/84239218e02c8c2aa769934d3427d79f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/4a7/588/cd1/4a7588cd17d74ca9eb7c26d83e6320c6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0a6/964/ab7/0a6964ab7d1414bcc0b872c18a59503e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/842/392/18e/84239218e02c8c2aa769934d3427d79f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/4a7/588/cd1/4a7588cd17d74ca9eb7c26d83e6320c6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0a6/964/ab7/0a6964ab7d1414bcc0b872c18a59503e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/944/c5f/e58/944c5fe58ff5732467e70f4e495a4131.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cb4/a17/368/cb4a1736853bce71945d880d5454549e.gif)
Свойство 17
Площадь арбелоса равна площади наименьшего круга, который охватывает близнецов.
Рассмотрим окружность, касательную к обоим близнецам, с центром в точке
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/62a/7e0/7fd/62a7e07fdd9c2b619421c85c0b8bb92f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5a2/fea/095/5a2fea095350a65b85798d286beea426.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5a2/fea/095/5a2fea095350a65b85798d286beea426.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/44b/f31/fea/44bf31fea6a50aedefe1ed1269ebd3a6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/931/8a7/92e/9318a792e531b11331cc6d34893a3d17.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e32/d99/105/e32d9910562fc94bd9b54ffd1cf651f0.gif)
Чтобы найти экстремум для
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5a2/fea/095/5a2fea095350a65b85798d286beea426.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/539/7f3/d4d/5397f3d4dbf1f0110439f7f97e7d0b3f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f7d/010/081/f7d010081d2b467d8b8bef46c4b750ef.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d05/8f0/efc/d058f0efcdbeeb45b126f525eb041d55.gif)
Таким образом, центры наименьшей и наибольшей окружностей, касательных к близнецам, лежат на радикальной оси. Более того, их центры лежат в одной точке, что следует из решения данного выражения.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/330/2dc/7f3/3302dc7f3271c2993f6b950219908225.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/ffd/635/f06/ffd635f061e25a2ee3c176962636fe4e.gif)
Таким образом, используя свойство 2, мы доказываем, что наибольшая касательная окружность, которая является самой малой из тех, что содержит близнецов, удовлетворяет свойству 17. Нижеследующая демонстрация с Manipulate показывает окружности, касательные к близнецам, при этом можно регулировать радиус
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/4a7/588/cd1/4a7588cd17d74ca9eb7c26d83e6320c6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3d7/0e2/24e/3d70e224e60db75fe2bed85bea0eac78.gif)
![](http://habrastorage.org/files/744/0f5/6e4/7440f56e4cc54392b8ef490c1e14f758.gif)
Следующий график сравнивает радиусы двух окружностей, касательных к близнецам, с центрами на радикальной оси.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1b0/436/b28/1b0436b28778cd80124275c667f8b2d2.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/17b/08a/d26/17b08ad268267c2ca3ac8d36edb03ce8.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/bbe/49b/e5e/bbe49be5e48b3158498cd5608a9de4e4.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/13f/83e/c53/13f83ec532e161286d49a100a6033a63.gif)
Рис. 7. Обозначения точек и отрезков, которые будут фигурировать в свойствах 18-24.
Свойство 18
Общая касательная к левой дуге и близнецу (точка касания —
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/098/ab1/2d6/098ab12d6466c6015a383ec5669501ce.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/190/156/4b1/1901564b118fc85b33a910d98be40805.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e81/a64/088/e81a640885dd628ecb6d7f11b6ad9a45.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0f0/758/0e4/0f07580e49ec6599b7eb3b25495362c4.gif)
Так можно вычислить точки касания
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/098/ab1/2d6/098ab12d6466c6015a383ec5669501ce.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e81/a64/088/e81a640885dd628ecb6d7f11b6ad9a45.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0c7/b38/ca9/0c7b38ca97af7f1b103ec23aac4fd117.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e76/e17/6c0/e76e176c08ee5a380b87f90684eb18ee.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b96/a12/eeb/b96a12eeb7eb5bbfaad207009ab9436f.gif)
Используя теорему 1, докажем оба утверждения.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/00d/091/079/00d0910795dd3f9da0ed372242208e12.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Свойство 19
Длина
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cb2/a5c/e29/cb2a5ce291fb043b4069468fa924624f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b37/15f/11c/b3715f11c4444037b7b0a353a45648aa.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/fa0/a1f/e78/fa0a1fe78ca4db39f1774211bdbc17d8.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3ce/ad7/0ab/3cead70ab3d23ce1a3a6979c4a54f9f7.gif)
Докажем оба утверждения одновременно.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e8d/d2c/031/e8dd2c031e12a0359efa6f25a6fb636b.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Однако, точки
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/098/ab1/2d6/098ab12d6466c6015a383ec5669501ce.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/14c/bec/fa0/14cbecfa0febc45c3c888c363fade28f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5ac/a37/d5d/5aca37d5d3a3638965e0366d21351c7f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/190/156/4b1/1901564b118fc85b33a910d98be40805.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5ac/a37/d5d/5aca37d5d3a3638965e0366d21351c7f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/411/a57/f6e/411a57f6eae625f39abd55908ab69b73.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e81/a64/088/e81a640885dd628ecb6d7f11b6ad9a45.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0f0/758/0e4/0f07580e49ec6599b7eb3b25495362c4.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/ff1/4ca/49d/ff14ca49d68125da0ce58dd1295e306e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f8d/73e/8a9/f8d73e8a97ef3010b06db7df175749e1.gif)
Свойство 20
Линия
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cb2/a5c/e29/cb2a5ce291fb043b4069468fa924624f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/499/098/7e3/4990987e3aa75717d573c4ad1611cb75.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/fa0/a1f/e78/fa0a1fe78ca4db39f1774211bdbc17d8.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cfb/9a9/53d/cfb9a953dc5d3ccbff76165228e3acda.gif)
Поскольку длина отрезка
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/499/098/7e3/4990987e3aa75717d573c4ad1611cb75.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/14c/bec/fa0/14cbecfa0febc45c3c888c363fade28f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cfb/9a9/53d/cfb9a953dc5d3ccbff76165228e3acda.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/411/a57/f6e/411a57f6eae625f39abd55908ab69b73.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/049/96d/530/04996d5308ebd5c917af512fa847f188.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Свойство 21
Два синих круга с диаметрами на
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3f6/a4a/c8b/3f6a4ac8beeb44175c72e7ebaf2d27fd.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/fa0/a1f/e78/fa0a1fe78ca4db39f1774211bdbc17d8.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cb2/a5c/e29/cb2a5ce291fb043b4069468fa924624f.gif)
Эти круги — четвёртый и пятый архимедовы круги, открытые Бэнкоффом [20]. Чтобы проверить это свойство, используем следующий результат [21]:
Теорема 2
Расстояние от точки
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/c6b/aa2/e9c/c6baa2e9cc86fb5fc7462560dd46341e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/edd/b30/d1a/eddb30d1a9dd623b0867d122e1bb4eac.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/8c2/dda/430/8c2dda430e23d3af9dfa1394e7a86aea.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/c60/8df/72b/c608df72b834e383845e3f0d5be76c64.gif)
Данное ориентированное расстояние будет положительным, если треугольник
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/fba/482/769/fba482769b0ddddd68b98fddbe443585.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/25a/aa3/01d/25aaa301d5956cf68f04ec25d81333e1.gif)
Пусть
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/37a/ced/232/37aced23204056024bd2a77eb1fc11e7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/335/a0e/46d/335a0e46df1edab2fd7ce32edec8de79.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/335/a0e/46d/335a0e46df1edab2fd7ce32edec8de79.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/c7b/fe2/507/c7bfe25075656782712d04dbded002c4.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3eb/019/419/3eb0194190b7c49f1b3f76a790fc8e2a.gif)
Аналогично можно вычислить радиус синего круга справа от
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/335/a0e/46d/335a0e46df1edab2fd7ce32edec8de79.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/ba3/5a1/c14/ba35a1c14b48de671e3054a99bed3a84.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3eb/019/419/3eb0194190b7c49f1b3f76a790fc8e2a.gif)
Таким образом, оба круга — архимедовы, как и было сказано ранее. Следующая демонстрация с Manipulate содержит близнецов и два других круга.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e92/9d3/874/e929d3874e6240e35759eb53ef0d262f.gif)
![](http://habrastorage.org/files/191/6fa/d35/1916fad35d3d4feca95d27f8c15e06c9.gif)
Свойство 22
Окружность, проходящая через точки
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/453/29b/974/45329b974ea30409f935f4559fe0113c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b68/dde/4ea/b68dde4ea8f36fd4a7cebdeb706d7b70.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
Архимед открыл исходные два близнеца; Бэнкофф дополнил их третьей окружностью, открытой в 1950 году [22]. Координаты центра
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/01b/c33/8f9/01bc338f9c6994b174e4090a433bc7cf.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/01b/c33/8f9/01bc338f9c6994b174e4090a433bc7cf.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/453/29b/974/45329b974ea30409f935f4559fe0113c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b68/dde/4ea/b68dde4ea8f36fd4a7cebdeb706d7b70.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3a2/2ee/f79/3a22eef79572c556d033077e7364e17b.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/7ba/2c5/22c/7ba2c522c1741d9bb432f8a30c28d460.gif)
Свойство 23
Окружность Бэнкоффа — вписанная в треугольник, который образован соединением центров боковых дуг и центра
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/dfa/961/82f/dfa96182f9952f4ac66f3ff06eae872a.gif)
Используя теорему 2 для вычисления расстояния от
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/dfa/961/82f/dfa96182f9952f4ac66f3ff06eae872a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/30f/7ad/acb/30f7adacbb07e33cf8217786b3eef447.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d19/add/e7c/d19adde7cfb5d0b07afd301d070a5f0c.gif)
Свойство 24
Окружность
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/41a/191/bb2/41a191bb2c0aee0e3040ae8af97b09d2.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/c06/03d/074/c0603d0748006a1ca3dbc442b2b81dee.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/7f8/b7f/9c3/7f8b7f9c3b0521fe47dd7d86fcc0ac4d.gif)
Таким образом можно вычислить значения
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/00c/975/4b2/00c9754b2a70320035e9c4053fb46647.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/788/cad/4e7/788cad4e75054afadd20b3d8f0ce7007.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a1a/0a3/c50/a1a0a3c50dd35d6038203b75b9363528.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/565/dac/ffd/565dacffd3c36d6fc5bfff61225609ba.gif)
Окружность
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/529/d29/fdb/529d29fdb5cbe07a7f2e608f81510bb9.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/00c/975/4b2/00c9754b2a70320035e9c4053fb46647.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/00c/975/4b2/00c9754b2a70320035e9c4053fb46647.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/2d2/28c/3a8/2d228c3a8ba0311295eb4654dac5d8b5.gif)
![](http://habrastorage.org/files/d51/373/cdd/d51373cdde6b495c943b403433ab5b7a.gif)
Свойство 25
Окружности
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/13e/1aa/100/13e1aa100f160dbf2029af979b741f5e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d16/9f6/947/d169f69474e8f3e142114b04cf9ec30a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f6e/8e7/94e/f6e8e794e01fb264109712e7ad85420e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/898/969/270/8989692700618893e00d4e328c9c1d8d.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/47d/0d0/fb2/47d0d0fb2ccea830f05f0a1e9b5d3642.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0b8/08b/4fc/0b808b4fcf38c571ae36ed79773239b0.gif)
Свойство 26
Окружность
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f62/7b4/968/f627b49688f8544c0492a889da843d1b.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/131/c99/e04/131c99e04edbb9cf27a2343acfa6ccd0.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5ac/a37/d5d/5aca37d5d3a3638965e0366d21351c7f.gif)
Окружность с центром в точке
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/840/23e/7b3/84023e7b314999a90e78f7c05ef9a672.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/842/392/18e/84239218e02c8c2aa769934d3427d79f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/131/c99/e04/131c99e04edbb9cf27a2343acfa6ccd0.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/eff/5f8/2bc/eff5f82bcebd6bfc932ba1c684f8a3e7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/131/c99/e04/131c99e04edbb9cf27a2343acfa6ccd0.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/842/392/18e/84239218e02c8c2aa769934d3427d79f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/9f2/2ca/4f2/9f22ca4f2874bf6f31f46ee1e92ae175.gif)
Так как окружность проходит через
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5ac/a37/d5d/5aca37d5d3a3638965e0366d21351c7f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/243/f3f/4ac/243f3f4ac52010d3f23b84213541968a.gif)
Так как окружность
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f62/7b4/968/f627b49688f8544c0492a889da843d1b.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a59/282/24e/a5928224e7831f3119f73c7beb0c50f2.gif)
Тут мы используем явные выражения для
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/539/7f3/d4d/5397f3d4dbf1f0110439f7f97e7d0b3f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5e5/5b1/228/5e55b122884853a44ca8eb295e277e93.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/842/392/18e/84239218e02c8c2aa769934d3427d79f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d1e/530/bd5/d1e530bd5de414e824c34e75cac3c853.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e9d/633/95a/e9d63395ad3c5220535af36745f64b78.gif)
Свойство 27
Рассмотрим два отрезка (обозначены красным), соединяющих центр верхней дуги с вершинами левой
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/29e/74b/71e/29e74b71e31abe7bd84d800ae0ccc558.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/4d6/797/271/4d6797271698f2916d3d8731598eaf29.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5de/9c0/7af/5de9c07af46500c7b289ce0b61fa65f6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/686/81d/041/68681d04101b75c069fb27a2f9cdc47c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/29e/74b/71e/29e74b71e31abe7bd84d800ae0ccc558.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/4d6/797/271/4d6797271698f2916d3d8731598eaf29.gif)
Это свойство было обнаружено летом 1998 года [23].
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/c4e/d5c/b21/c4ed5cb215ddf7401e36fc4c44ae176c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/46e/0b8/6eb/46e0b86ebad6149cdbfab74841ec4ade.gif)
Рис. 8. Две пары архимедовых окружностей из свойства 27.
Наклонные близнецы
Было показано, что есть архимедовы окружности, отличные от близнецов, а именно — окружности Бэнкоффа, которые фигурируют в свойствах 21-27. Есть так же неархимедовы близнецы — пары окружностей с одинаковым радиусом, отличным от радиуса близнецов, которые появляются в определённых областях арбелоса.
Открытие наклонных близнецов возникло из предположения о том, что помимо того, чтобы касаться боковой и верхней дуг, окружности-близнецы могут касаться друг друга, и при этом необязательно касаться радикальной оси.
Очевидно, что существует бесконечное число решений, если мы не требуем, чтобы эти окружности были одного радиуса. Идея была следующая: если мы начнём с предположения о том, что они равного радиуса, мы могли бы в результате обнаружить, что они касаются радикальной оси. Это оказалось не так. Рассмотрим окружности с центрами в точках
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/603/b8f/7b1/603b8f7b1911272fccc1ecd7949c73a4.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/7c0/de0/d17/7c0de0d1764df4e57ef8be5ee0d9d013.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/842/392/18e/84239218e02c8c2aa769934d3427d79f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/842/392/18e/84239218e02c8c2aa769934d3427d79f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/698/e39/2ea/698e392ea1d3b0a11af5c0296050ee54.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/56e/1d2/f95/56e1d2f9579135fb20ad049f17b7ecbd.gif)
Эти выражения включают квадратные корни, отличающиеся знаком. Положительные корни расходятся на
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/67a/04d/771/67a04d77106e373819bb77d425965fd8.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/11c/53d/962/11c53d9626c3ff678dd7e8aa1a1e015a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/54f/d62/3d4/54fd623d461de409b64f75df304af987.gif)
Остальные — сходятся.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1f0/c63/282/1f0c632823569c2602da5861972ae8e0.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/2f2/281/f20/2f2281f20c3cd04c10b643daa4378d90.gif)
Подытожим: наклонные близнецы действительно равны и их общий радиус
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/842/392/18e/84239218e02c8c2aa769934d3427d79f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/8ce/45d/07a/8ce45d07ae30a8602831f85ccc867bd5.gif)
Следующее сравнение между радиусами обычных и наклонных близнецов показывает, что они отличаются весьма незначительно.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cac/76d/40b/cac76d40b853a4b52d575cf2f9a7603a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/22b/96b/6c6/22b96b6c65b1ff6347e3f495f266b5b5.gif)
Так можно получить координаты центров наклонных близнецов.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e1a/115/59e/e1a11559e4e2b95b29680e70d2a6707a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/f92/c70/56a/f92c7056af69a9d4129be839b5fedb0a.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/2f0/945/c09/2f0945c09cc7a4c8933c2d7725fdbeb3.gif)
На представленной ниже демонстрации с Manipulate показаны наклонные близнецы и, опционально — близнецы, которые получаются при изменении параметра
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/4a7/588/cd1/4a7588cd17d74ca9eb7c26d83e6320c6.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e75/e43/c38/e75e43c3804c4e44352c428a7e28635e.gif)
![](http://habrastorage.org/files/dd2/9c5/d49/dd29c5d49d6444c5b312b9a04e48f441.gif)
Обобщения
В этом разделе мы обобщаем геометрию арбелоса, позволив дугам пересекаться и рассматривая трёхмерный вариант. Чтобы задать контекст первого из обобщений, введём понятие радикальной оси для двух окружностей.
Радикальные оси
Пусть
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1e7/183/087/1e7183087a7f4dd9b1cb2e9355bcab79.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5fb/763/0ab/5fb7630ab78a7e4b1437188e59d20c33.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1e7/183/087/1e7183087a7f4dd9b1cb2e9355bcab79.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/182/9c7/f8c/1829c7f8cb0f79c41aff2cc39df731ee.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1e7/183/087/1e7183087a7f4dd9b1cb2e9355bcab79.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/9ab/01c/4eb/9ab01c4eb5fdc6290fd35602b4431f41.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1e7/183/087/1e7183087a7f4dd9b1cb2e9355bcab79.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/df1/750/30a/df175030a91b427843d32c1e251494b7.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/7a3/42d/dde/7a342ddde05ffad4c28f58e3b034a84f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/476/3fb/fa5/4763fbfa5948dda094ff22bfcc8dfa8e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/583/415/d5c/583415d5cbe84d3a8f18197951030217.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/476/3fb/fa5/4763fbfa5948dda094ff22bfcc8dfa8e.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
Вот очень интересное свойство степени точки. Пусть даны окружность и некоторая точка
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/774/118/d62/774118d629ae17672e7cb50aa861d659.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/842/392/18e/84239218e02c8c2aa769934d3427d79f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a8a/84e/1c6/a8a84e1c607ccfedae557868e6d476ef.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/9db/3a2/4ff/9db3a24ff7add26ed30e7f9777c0980f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
В приведенной ниже демонстрации с Manipulate имеется четыре локатора для изменения размеров окружности, положения
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a44/aab/b0b/a44aabb0b3c5c0206e83edeeaa03e2d0.gif)
![](http://habrastorage.org/files/bf6/5cf/c21/bf65cfc2183748698602f3dc19b377a7.gif)
Пусть даны две окружности с центрами в разных точках. Их радикальные оси определяются как прямые, содержащие все точки, которые имеют одинаковые степени по отношению к каждой из окружностей. Доказательство данного утверждения можно найти в [10].
Теорема 3
Если две окружности пересекаются в точках
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/8d3/272/790/8d3272790cb50208d6c6d59ddfb3fcbb.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5bd/cde/91b/5bdcde91be7c5b742af89f6e6eb078d4.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/c4b/f7f/7af/c4bf7f7afa7a3b01b748535eeafbe2b8.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/485/013/7a4/4850137a4543511d0a51d8453aee8c01.gif)
Следствие 1
Пусть даны три окружности с центрами, не лежащими на одной прямой. Тогда их радикальные оси будут попарно параллельны и не будут совпадать.
Теорема 4
Радикальная ось двух окружностей есть геометрическое место точек, из которых проведенные к ним касательные имеют одинаковую длину.
Представленная ниже демонстрация с Manipulate показывает две окружности; одна закреплена, а размер и центр другой окружности можно изменять, перемещая локатор и меняя положение слайдера, который отвечает за радиус. Можно использовать другой слайдер для изменения положения красной точки на радикальной оси чтобы проиллюстрировать теорему 4.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/06b/75b/b99/06b75bb99d0950ef84f9bef81d4316f3.gif)
![](http://habrastorage.org/files/1f1/a3e/88b/1f1a3e88bb6245678415b5fad043dc5a.gif)
Пересечение двумерного и трехмерного арбелосов
В данной демонстрации показаны два обобщения.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/351/fc1/2ba/351fc12ba356f893306773de3b0736f7.gif)
![](http://habrastorage.org/files/100/4ff/155/1004ff155c04435bad53bd993dde54fc.gif)
Свойство 28
Вписанные окружности касаются радикальной оси боковых и верхней дуг, и каждая из дуг в обобщённом арбелосе имеет одинаковый радиус.
Пусть
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/469/e3f/e0a/469e3fe0af596af66244873eb2359002.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/21c/27d/d7b/21c27dd7b9d205071488ce9ff1891dc3.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5a2/fea/095/5a2fea095350a65b85798d286beea426.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/539/7f3/d4d/5397f3d4dbf1f0110439f7f97e7d0b3f.gif)
Теорема 5
Если окружности
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e47/8ba/45d/e478ba45db4f4e044d341af239f6d6d8.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3e9/3f1/c34/3e93f1c3456c377b80799be34cf5e4d8.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/00b/8c5/6cc/00b8c56ccf09e1fdfb90499f0a063100.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/45b/070/8bc/45b0708bc19b484285c78f7d852a2bbc.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e46/232/c71/e46232c7168c0178deaf6120feb8d74c.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/7cd/e07/056/7cde070565cf82cc86604794679aa182.gif)
Воспользовавшись данной теоремой, вычислим значение
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5a2/fea/095/5a2fea095350a65b85798d286beea426.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/1a8/91b/9ab/1a891b9ab17f4396bb13a93b050ad5d8.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/7ac/07a/01d/7ac07a01de25bbf305a49c2a1a7b8616.gif)
Не теряя обобщённости, можем предположить, что
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/fed/bad/ebd/fedbadebdd6d4095ee0efd12a3ed61c0.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d28/6b0/01f/d286b001f5bc8220be57730010b48d39.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/107/a9b/7cb/107a9b7cb4ef66622ef831e14c363406.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/469/e3f/e0a/469e3fe0af596af66244873eb2359002.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/60a/a85/8e5/60aa858e509f7298faa84b58f1b97ee1.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/c95/9b8/e49/c959b8e49c523d0ea0a923941b55ab18.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/2f9/c3a/ea9/2f9c3aea966c92b1bcbf0c6ad5ca572f.gif)
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/751/36c/8cd/75136c8cd22ae2ed3944d2b204c40dce.gif)
Тогда, хоть некоторыми центрами можно и пренебречь, но радиус будет одинаков в любом случае.
Доказательство без слов
Собственно, вот еще три свойства арбелоса. Посмотрим, сможете ли Вы догадаться, какие где свойства задействованы, экспериментируя с элементами управления [24,25].
Первый Manipulate позволяет передвигать боковые дуги.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e8e/9f6/d5d/e8e9f6d5d46cc9f52dfa3ce3f522d968.gif)
![](http://habrastorage.org/files/81f/d55/435/81fd55435e48498db42d427821f94d7d.gif)
Второй Manipulate позволяет вращать прямую вокруг точки касания боковых дуг.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/9b6/7b9/a40/9b67b9a400a37611aec8830947cce589.gif)
![](http://habrastorage.org/files/062/fc7/fa5/062fc7fa57f44fd886bace0f940c9260.gif)
Наконец, третий Manipulate показывает бесконечное семейство близнецов.
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d43/1b5/454/d431b545402ba4b1586fc59660e3c867.gif)
![](http://habrastorage.org/files/a78/01e/917/a7801e9170ae43cead6313986d67db8b.gif)
Список литературы
[1] F. van Lamoen. “Online Catalogue of Archimedean Circles.” (Jan 22, 2014) home.planet.nl/~lamoen/wiskunde/arbelos/Catalogue.htm.
[2] S. Garcia Diethelm. “Planar Stress Rotation” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/PlanarStressRotation.
[3] C. W. Dodge, T. Schoch, P. Y. Woo, and P. Yiu, “Those Ubiquitous Archimedean Circles,” Mathematical Magazine, 72(3), 1999 pp. 202-213. www.jstor.org/stable/2690883.
[4] H. P. Boas, “Reflection on the Arbelos,” American Mathematical Monthly, 113(3), 2006 pp. 236-249.
[5] H. D. Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution (D. Antin, trans.), New York: Dover Publications, 1965.
[6] J. Rangel-Mondragon. “Recursive Exercises II: A Paradox” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/RecursiveExercisesIIAParadox.
[7] R. B. Nelsen, “Proof without Words: The Area of an Arbelos,” Mathematics Magazine, 75(2), 2002 p. 144.
[8] A. Gadalla. “Area of the Arbelos” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/AreaOfTheArbelos.
[9] J. Rangel-Mondragon, “Selected Themes in Computational Non-Euclidean Geometry. Part 1. Basic Properties of Inversive Geometry,” The Mathematica Journal, 2013. www.mathematica-journal.com/2013/07/selected-themes-in-computational-non-euclidean-geometry-part-1.
[10] D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, New York: Dover, 1970.
[11] M. Schreiber. “Orthogonal Circle Inversion” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/OrthogonalCircleInversion.
[12] M. G. Welch, “The Arbelos,” Master’s thesis, Department of Mathematics, University of Kansas, 1949.
[13] L. Bankoff, “The Marvelous Arbelos,” The Lighter Side of Mathematics (R. K. Guy and R. E. Woodrow, eds.), Washington, DC: Mathematical Association of America, 1994.
[14] G. L. Alexanderson, “A Conversation with Leon Bankoff,” The College Mathematics Journal, 23(2),1992 pp. 98-117.
[15] S. Kabai. “Tangent Circle and Arbelos” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/TangentCircleAndArbelos.
[16] G. Markowsky and C. Wolfram. “Theorem of the Owl’s Eyes” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/TheoremOfTheOwlsEyes.
[17] P. Y. Woo, “Simple Constructions of the Incircle of an Arbelos,” Forum Geometricorum, 1, 2001 pp. 133-136. forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200119.pdf.
[18] B. Alpert. “Archimedes’ Twin Circles in an Arbelos” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/ArchimedesTwinCirclesInAnArbelos.
[19] J. Rangel-Mondragon. “Twins of Arbelos and Circles of a Triangle” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/TwinsOfArbelosAndCirclesOfATriangle.
[20] H. Okumura, “More on Twin Circles of the Skewed Arbelos,” Forum Geometricorum, 11, 2011 pp. 139-144. forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201114.pdf.
[21] E. W. Weisstein. “Point-Line Distance—2-Dimensional” from Wolfram MathWorld—A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html.
[22] L. Bankoff, “Are the Twin Circles of Archimedes Really Twins?,” Mathematics Magazine, 47(4), 1974 pp. 214-218.
[23] F. Power, “Some More Archimedean Circles in the Arbelos,” Forum Geometricorum, 5, 2005 pp. 133-134. forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200517.pdf.
[24] A. V. Akopyan, Geometry in Figures, CreateSpace Independent Publishing Platform, 2011.
[25] H. Okumura and M. Watanabe, “Characterizations of an Infinite Set of Archimedean Circles,” Forum Geometricorum, 7, 2007 pp. 121-123. forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200716.pdf.
Комментарии (29)
Meklon
05.05.2015 18:36+8У вас очень крутой блог, но он заставляет моего внутреннего нематематика тихо плакать пыльном углу моего подсознания. Моих знаний хватает только на поверхностный анализ данных в Mathematica
OsipovRoman Автор
05.05.2015 19:15+3Спасибо! Должен признаться, что когда смотрю ваши посты, поражаюсь красоте медицины и биологии. Всюду своя красота и прелесть.
Вообще, думаю, вам будет не так сложно овладеть Wolfram Language, чтобы делать довольно сложные вещи, как показывает опыт Русскоязычной поддержки Wolfram Mathematica.Meklon
05.05.2015 20:49+1Я стараюсь, спасибо. Беда в полном отсутствии математической базы. Чтобы что-то хотеть от инструмента нужно в принципе понимать, что это существует. Если вы не знаете о методе МНК, то вы и даже попытаться криво применить его не сможете. В итоге очень выручает Wolfram Alpha, который просто ковыряет массив, вываливая все, что про него думает. Это позволяет понять какие-то закономерности в полученных данных и дальше уже копать направлено.
OsipovRoman Автор
05.05.2015 23:13А вы пробовали использовать Wolfram Data Drop для подгрузки данных в Wolfram|Alpha? Мне кажется это довольно удобно будет для ваших задач?
Meklon
06.05.2015 08:12Ещё нет. Пока только читал. Там объём не столь велик. Грубо говоря, контроллер наливает данные через usb в файл в процессе эксперимента, куда пишет три-четыре параметра с временными метками. И это бывает не так часто. Но я попробую, спасибо
kahi4
05.05.2015 19:45+1Два круга, которые перпендикулярны радикальной оси, верхней и боковым дугам арбелоса имеют одинаковый радиус.
5 минут не могу понять, как же круг может быть перпендикулярым оси?
OsipovRoman Автор
05.05.2015 19:50Один из их диаметров (радиусов) перпендикулярен соответствующей кривой.
kahi4
05.05.2015 20:18+4И? Я для любой окружности могу построить диаметр, перпендикулярный любой прямой. * Опять же — перпендикулярен кривой в какой точке?
Фигура красивая и изящная, спору нет, но есть такое ощущение, что большинство теорем «подгон». Как минимум, таким описанием. Так же не исчезает ощущение, что фигур, у которых можно найти не меньшее количество интересных свойств — бесчисленное множество.
* Вообще диаметр перпендикулярен касательной окружности. И, как следствие, у двух окружностей, касающихся в точке, диаметры, проходящие через эту точку, лежат на одной прямой и перпендикулярны касательной прямой в этой точке, а, следовательно, и дугам арбелоса.
brainick
05.05.2015 20:26угол между двумя кривыми – это угол между касательными в точке пересечения
kahi4
06.05.2015 10:45Первый раз слышу. А что если они не пересекаются, а только касаются? Или точек касания несколько? Или не одной? Ну и опять же, окружность в вашем определении всегда… имеет угол 0, потому что как я писал уже — касательные в точке касания обязаны совпадать.
OsipovRoman Автор
06.05.2015 10:49Обратите внимание, перевод был исправлен.
kahi4
06.05.2015 11:07Да, с такой формулировкой вопросов нет. Однако тут я уже отвечаю на комментарий ув. brainick.
Чуть более конструктивно: я понимаю, задача этого поста — показать, насколько вольфрам крут. Но, как известно, все познается в сравнении. В Maple, например, можно сделать все тоже самое (разве что с интерактивом туговато, либо я сильно отстал), при этом там формулы будут выглядеть как в книге, что интуитивнее и понятнее (некоторые доказательства в статье без 100 грамм не разберешь).
Почему интерактив не дали возможность потыкать онлайн? Есть же утилита для этого, которая позволяет публиковать.
Двоякое впечатление: с одной стороны — круто, с другой — сложно понять некоторые формулировки, я уж молчу про доказательства.
P.S. Список литературы убрать бы под спойлер, не самая нужная тут пелина.OsipovRoman Автор
06.05.2015 11:19Считаю, что функциональная нотация для программирования важнее.
В Wolfram Language всегда можно отобразить все в стандартной нотации с помощью враппера TraditionalForm:
brainick
06.05.2015 11:04https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B3%D0%BE%D0%BB#.D0.A3.D0.B3.D0.BE.D0.BB_.D0.BC.D0.B5.D0.B6.D0.B4.D1.83_.D0.BA.D1.80.D0.B8.D0.B2.D1.8B.D0.BC.D0.B8
kahi4
06.05.2015 11:10Там же четко написано:
угол между… гладкими кривыми в точке пересечения
Это неотъемлемая оговорка. Без уточнения «в точке пересечения» эта фраза не полная. Это как спросить «какая температура?». Вы, разумеется, ответите «какая температура где?» (без контекста).brainick
06.05.2015 13:15Да, тут некая небрежность есть с моей стороны, хотя конечно, имеются ввиду касательные именно в точке пересечения.
UPD. Хотя я вроде так и написал, что измерять надо угол между касательными в точке пересечения. Понятно также, что определение локальное.
Figleglum
05.05.2015 20:05+4Зачем в свойстве 3 доказывать, что OR и DR перпендикулярны? Разве это не следует из того что угол ORD опирается на диаметр (Угол, опирающийся на диаметр окружности)?
brainick
05.05.2015 20:17+11>>Периметр арбелоса равен периметру наибольшей окружности.<<
Нет периметра у окружности, длина у неё есть.
Да и проще сказать это можно:
" Длина большей окружности равна сумме длин двух меньших".
К слову забавный факт — вычисление радиуса вписанной окружности — задача из ГИА для 9 класса, правда самая сложная. Эка русские над детьми издеваются.
А в целом статья сильно впечатляет. Своей абсолютной бессмысленностью.
Ну да, элементарная геометрия неисчерпаема, как и электрон. И что дальше?
Торвальдс когда-то отозвался очень нелестно о разработчиках OpenBSD (https://xakep.ru/2008/07/18/44524/)
Автора настоящей статьи (оригинала) я бы тоже причислил к этой компании.
Именно о таких Саша Чёрный писал:
Попишу животом, и ноздрей, и ногами, и пятками,
Двухкопеечным мыслям придам сумасшедший размах,
skf
05.05.2015 21:02+2В каких прикладных вещах может быть использовано хоть что-то из этого?
OsipovRoman Автор
05.05.2015 23:02+6Непосредственного практического применения нет. Применение простое — движение математики вперед.
Многие задачи не имеют прямого практического смысла, как скажем, доказанная Перельманом гипотеза Пуанкаре, или решенная 10-я проблема Гильберта, Матиясевичем. Однако без всяких абстрактных задач мы бы так и сидели в пещере.brainick
06.05.2015 00:11-2Вы действительно видите здесь движение математики вперёд? В лучшем случае – бег на месте.
SemenovVV
06.05.2015 09:18-3Немного режет фраза перевода:
Архимед (убитый римским солдатом в 212 г. до н.э.)
Тогда еще не было солдат, у римлян были легионеры.
Слово солдат появилось значительно позже и связано с названием монеты сольдо.
Впрочем и в вики в статье про Архимеда тоже упоминаются солдаты, что несколько неточно.zelenin
06.05.2015 10:06+31. А был ли тогда русский язык? Имеем ли мы право историю 3 в. до н.э. передавать на русском языке? Да и о Риме ли речь идет, если тогда это называлось Roma, а русское «Рим» появилось много позже?
2. Солдат — в широком смысле — военный человек в любом звании опытный в военном деле; обладающий воинскими качествами.
sergiks
12.05.2015 19:43Для тех, кто не может купить Mathematica, есть бесплатная программа Geogebra, с которой можно не менее забавно исследовать свойства арбелоса.
pizzazz
13.05.2015 05:54+1Парни! мне одному только кажется, что это стринги натянутые на прекрасную пухлую женскую попку?
Posya
Впечатляет!
OsipovRoman Автор
Спасибо! Jaime написал отличную статью.