На этой табличке родом из Вавилона, сделанной около 1800 года до н.э., перечислены пифагоровы тройки – целые числа a, b и c, удовлетворяющие полиномиальному уравнению a² + b² = c². По сию пору поиск рациональных и целочисленных решений полиномиальных уравнений остаётся серьёзной задачей для математиков

В пятом столетии до н.э. греческий математик сделал открытие, пошатнувшее основы математики, и, по легенде, стоившее ему жизни. Историки считают, что это был Гиппас из Метапонта, и он принадлежал к пифагорейской школе математики, основным догматом которой было то, что любое физическое явление можно выразить целыми числами и их отношениями (тем, что мы называем рациональными числами). Но это предположение развалилось, когда, как считают историки, Гиппас рассматривал длины сторон прямоугольного треугольника, которые должны удовлетворять теореме Пифагора – знаменитому соотношению a² + b² = c². Говорят, что Гиппас показал, что при одинаковой длине катетов треугольника, выражаемой рациональным числом, его гипотенузу нельзя выразить рациональным числом.

Согласно одной из версий истории, Гиппас сделал это открытие, находясь в море, и его коллеги, потрясённые этим открытием, сбросили его за борт.

Современные математики уже не смущаются, словно древние греки, иррациональными числами (и вообще открыли, что иррациональных чисел больше, чем рациональных). Но любовь пифагорейцев к рациональным решениям уравнений продолжает питать математиков информацией. Она лежит в основе теории чисел, традиционного теоретического ответвления математики, которое, в нашу цифровую эру нашло неожиданно много применений.

Теперь два молодых математика продвинулись на передовой край науки в своём исследовании рациональных решений кубических уравнений. Полиномиальные уравнения, в которых переменные находятся в некоторых степенях, такие, как y = 3x³ + 4 или x² + y² = 1, принадлежат к числу фундаментальных объектов, изучаемых математиками, и используются в различных практических приложениях, а также в ответвлениях математики.

Полиномиальная вселенная

Легко видеть, что у полиномиального уравнения, в котором степень переменных не превышает 1, типа y = 3x + 4, есть бесконечное число рациональных решений. Любое рациональное значение x даёт рациональное значение y, и наоборот.

Как находить рациональные решения для полиномов со степенью 2, таких, как x² + y² = 1 или y = 3x³ + 2x – 7, известно уже тысячу лет. Они могут вообще не иметь решения, или иметь бесконечно много решений. Графиками таких кривых служат конические сечения – окружности, параболы, эллипсы и гиперболы. Если одна рациональная точка P находится на графике, то есть красивый способ найти все остальные рациональные точки. Нужно просто взять все линии, проходящие через P с рациональным уклоном, и рассчитать второе пересечение этой линии с коническим сечением.

В 1983 году Герд Фолтингс [Gerd Faltings], занимающий сегодня пост директора математического института им. Макса Планка в Бонне, разобрался с полиномиальными уравнениями со степенями более 3. Он показал, что у большинства из них может быть только конечное число рациональных решений. И остались кубические уравнения, упрямые уклонисты вселенной полиномов.

Кубические уравнения сопротивлялись попыткам математиков, классифицировавших их решения. Попытками классификации рациональных решений кубических уравнений – точнее, семейства кубических уравнений, известного, как эллиптические кривые, поскольку именно у них, за исключением нескольких других, могут быть рациональные решения – занимались все великие специалисты по теории чисел, начиная с французского математика XVII столетия Пьера Ферма, говорит Бенедикт Гросс из Гарвардского университета.

У эллиптических кубических уравнений может быть ноль, конечное или бесконечное число решений. Математикам пока удалось лишь догадаться, как часто возникают эти варианты.

У эллиптических кривых есть необъяснимая способность возникать в неожиданных местах, как в теоретической, так и в прикладной математике. Их понимание стало ключевым элементом в доказательстве теоремы Ферма от 1995 года, хотя, кажется, что эллиптические кривые не имеют отношения к её формулировке. Операции, использующие эллиптические кривые, стали центральными компонентами многих криптографических протоколов, кодирующих номера банковских карт в онлайн-транзакциях. Рациональные решения эллиптических кривых находятся в самом центре различных геометрических задач пифагорейского стиля, к примеру, поиска прямоугольных треугольников с рациональными длинами сторон и одновременно рациональной площадью.

«Интеллектуальная стимуляция, прекрасная структура, практические приложения – всё это есть у эллиптических кривых», – говорит Манджул Баргава [Manjul Bhargava] из Принстонского университета.

Баргаве 38 лет, его коллеге, Арулу Шанкару [Arul Shankar] – 26, они работают в институте передовых исследований в Принстоне и уже сделали один из крупнейших шагов за последние несколько десятилетий к пониманию рациональных решений эллиптических кривых.

В их работе не найти рецепта для поиска рациональных решений конкретной эллиптической кривой; вместо этого она объясняет, каковы могут быть наиболее вероятные сценарии для рациональных решений, если выбирать кривую случайным образом.

Открытия Баргавы и Шанкара «начинают проливать свет на крупную область нашей невежественности, – сказал Гросс. – После их работы весь мир выглядит по-другому».

Эллиптическая безопасность

Если взять две рациональные точки на эллиптической кривой, то проходящая через них прямая почти всегда будет пересекать кривую ещё в одной точке, также с рациональными координатами. Очень просто использовать две разные рациональные точки для генерации третьей, но очень сложно сделать наоборот – взять одну рациональную точку и найти две других рациональных точки, которые бы сгенерировали её. Это свойство делает эллиптические кривые полезными для криптографии: на операциях, которые легко сделать в одном направлении и сложно в другом, основана криптографическая безопасность.

«Эллиптические кривые участвуют во многих удивительных вещах, – сказал Питер Сарнак из Принстонского университета. – Они достаточно сложны, чтобы переносить большое количество информации, но достаточно просты для углублённого изучения».

Весёлая поездка

Нахождение рациональных решений эллиптической кривой сводится к нахождению точек на её графике на плоскости xy, таких, что их x и y координаты – рациональные числа. И часто это довольно сложно проделать. Но если вы нашли несколько рациональных точек, становится возможным сгенерировать ещё, при помощи простых процедур, впервые открытых два тысячелетия назад александрийским математиком Диофантом. К примеру, если провести линию через две рациональные точки, обычно она пересечёт кривую ещё ровно в одной точке, также рациональной.

Этот процесс – «очень сложная структура, есть нечто особенное в кубических уравнениях, придающее им глубину», – сказал Баргава.

В 1922 году Луис Морделл доказал нечто поразительное. Для любой эллиптической кривой, даже имеющей бесконечно много рациональных точек, можно сгенерировать все рациональные точки, начав с небольшого их числа, и затем соединяя их между собой. Если количество рациональных точек на эллиптической кривой бесконечно, то минимальное количество точек, необходимое для генерации их всех, называется рангом кривой. Когда количество этих точек конечно, то ранг кривой равен 0.



Десятилетия математики обдумывали минималистскую гипотезу, оценивающую ранг эллиптических кривых, с неоднозначными доказательствами. Гипотеза говорит, что статистически, примерно у половины эллиптических кривых ранг равен 0 (то есть, у них есть либо конечное количество рациональных точек, или нулевое), а у другой половины – 1 (то есть, их бесконечное количество рациональных точек можно сгенерить из одной). Согласно этой гипотезе, количество всех остальных случаев исчезающе мало. Это не значит, что исключений не бывает, или даже что их конечное число – но если брать всё более крупные коллекции эллиптических кривых, то кривых, попадающие в другие категории, в процентном отношении будет становиться всё меньше, и их количество будет стремиться к 0%.

Это предположение впервые сформулировал в 1979 Дориан Голдфелд [Dorian Goldfeld] из Колумбийского университета, имея в виду определённый класс эллиптических кривых. «Оно уже давно стало фольклорным», – говорит Барри Мазур из Гарвардского Университета.

Частично минималистскую гипотезу поддерживает распространённая вера в то, что у эллиптических кривых не должно быть слишком много рациональных точек. Ведь на числовой прямой рациональных чисел меньшинство.

«Рациональные точки эллиптических кривых – случайные жемчужины математики, и очень сложно представить, чтобы таких драгоценных случайностей было слишком много», – писал Мазур и его три соавтора в 2007 году для журнала Bulletin of the American Mathematical Society.

На первый взгляд это говорит о том, что большинство эллиптических кривых должно обладать рангом 0. Но многие математики верят в гипотезу паритета, предполагающую, что эллиптические кривые с чётными и нечётными рангами встречаются 50 на 50. Если скомбинировать гипотезу паритета с редкостью рациональных точек, то мы получим минималистскую гипотезу – разделение 50 на 50 между нижайшими из возможных рангов, 0 и 1.

В поддержку минималистской гипотезы говорят и экспериментальные данные, согласно которым эллиптическим кривым действительно сложно обладать высокими рангами. Специалисты по построению эллиптических кривых использовали компьютеры для поиска кривых с высокими рангами. Текущий рекорд установлен на отметке 28 – но таких кривых очень мало и их коэффициенты гигантские.

Но другие расчётные данные уже не такие вдохновляющие. Математики подсчитывали ранги сотен тысяч эллиптических кривых, и пока что 20% всех кривых обладают рангом 2. У небольшого, но не очень маленького процента кривых ранг равен 3. Согласно минималистской гипотезе их процент должен стремиться к нулю, если принять во внимание все эллиптические кривые. «Судя по всему, данные противостоят предположению», – сказал Мазур.

Обычно, когда данные не соответствуют гипотезе, правильно будет отбросить её. Но множество математиков цепляется за минималистскую гипотезу. И хотя компьютеры переработали множество примеров, математики указывают на то, что эти подсчёты – лишь верхушка айсберга. «Может случиться и так, что пока мы не докажем гипотезы, никакие собранные нами данные, даже и весьма солидные по количеству, не успокоят теоретиков», – писал Мазур с коллегами.

Также они добавили, что довольно крупная часть подсчитанных эллиптических кривых с рангом более 1 аналогична тёмной материи в физике. «Эта большая масса рациональных точек явно находится там. У нас нет сомнений на этот счёт. Мы сомневаемся лишь в том, как дать удовлетворительное объяснение тому, что они там есть».

Из-за конфликта данных и теории, пишут они, десятилетия минималистская гипотеза «то отвергалась, то принималась на веру».

Новые методы

До недавнего времени Манджул Баргава, восходящая звезда математического мира, находился в стане сомневающихся. Один из журналов Popular Science причислил его к «десятке гениев» в 2002 году, а в следующем году в 28 лет он стал одним из самых молодых людей, получивших звание профессора в Принстонском университете. Его коллеги восторгаются не только его математическими достижениями, но и его добрым и творческим нравом.


Манджул Баргава в 38 лет

«Манджул весьма необычный парень, – сказал Гросс. – Он смотрит на вещи отличным от большинства людей способом, в этом и состоит его гений».

Баргава, специалист по теории чисел, заинтересовался явным контрастом между расчётными данными и минималистской гипотезой. «Это говорит о том, что там происходит что-то интересное», – сказал он. «Я пошёл к коллеге, Питеру Сарнаку, и спросил его: „Как ты можешь верить в это предположение?“ – вспоминает Баргава. „Для меня оно выглядело смешным“.

Но Сарнак считал, что данные в результате начнут склоняться в противоположную сторону, когда можно будет обсчитать эллиптические кривые с гораздо большими коэффициентами. „Он был весьма уверен в этой гипотезе“, – сказал Баргава.

Баргава решил так или иначе выяснить что-либо определённое по поводу гипотезы. „Настало время что-нибудь доказать“, – говорит он. Он начал изучать наборы алгоритмов, подсчитывающих ранги эллиптических кривых, берущие начало в процедуре, введённой Ферма в XVII веке. Это семейство алгоритмов, зовущихся алгоритмами спуска – для каждого из целых чисел больше 2 существует по алгоритму – работали со знанием дела и находили эллиптические кривые с рациональными точками. Но несмотря на многочисленные попытки, никто не смог доказать, что эти алгоритмы всегда будут работать.

Баргава решил попробовать другой подход. „У меня была идея попробовать алгоритм спуска для всех эллиптических кривых одновременно, и потом доказать, что в большинстве случаев он будет работать“, – сказал Баргава. Ведь для исследования минималистской гипотезы не обязательно знать, как выглядит каждая эллиптическая кривая – достаточно знать, к какому виду они стремятся.

Такой подход включал работу в области геометрии чисел, занимающейся подсчётом узлов решётки в различных фигурах (узел решётки – точка с целочисленными координатами). У простейших форм типа круга или квадрата число узлов решётки примерно соответствует площади фигуры. Но задача Баргавы касалась более сложных фигур, и когда у фигуры есть непростые особенности, типа щупалец, у неё может оказаться гораздо больше или меньше узлов решётки, чем предсказывает её площадь.


Арул Шанкар в 26 лет

Перед тем, как приняться за такие формы, Баргава поставил схожую, но простую задачу перед Арулом Шанкаром, его аспирантом. Частенько аспиранты годами сражаются с задачами из диссертаций, но Шанкар принёс решение всего через три месяца. Поэтому, говорит Баргава, „я спросил его, не хочет ли он присоединиться ко мне“.

Баргава и Шанкар выработали набор новых техник, чья важность, вероятно, выйдет далеко за пределы изначальной решаемой ими задачи, как говорит Мазур. „Геометрия чисел всегда была глубоким и мощным методом, и теперь они серьёзно увеличили его мощность“. Он добавил, что гениальность их техники „открывает новые возможности в теории чисел“.

Эти новые техники „будут влиять на теорию чисел ещё много лет“, – соглашается Гросс.

Чёткая закономерность

Если минималистская гипотеза верна, то средний ранг эллиптических кривых должен быть ?, но до работы Баргавы и Шанкара математики не могли даже доказать, что среднее значение будет конечным. Используя алгоритм спуска 2 порядка, Баргава и Шанкар смогли показать, что средний ранг для всех эллиптических кривых не превышает 1,5. Используя порядки 3, 4 и 5 для некоторых кривых, не обработанных на предыдущем шаге, они смогли снизить верхнюю планку до 0,88.

И хотя между этим значением и средним числом, предсказанным минималистской гипотезой, пока есть разрыв, открытие Баргавы и Шанкара представляют собой скачок вперёд. „Это только первый шаг, но уже очень большой, – говорит Сарнак. – Здорово видеть, как активно продвигаются двое настолько молодых людей“.

Более того, показав, что средний ранг меньше 1, Баргава и Шанкар доказали, что довольно большой кусок эллиптических кривых – не менее 12% — обладают рангом 0 (поскольку иначе среднее было бы выше). Они использовали это, чтобы показать, что та же часть кривых удовлетворяет знаменитой гипотезе Бёрча — Свиннертон-Дайера, старому вопросу об эллиптических кривых, за ответ на который математическим институтом Клэя назначена награда в миллион долларов.

На лекции Баргавы в институте Клэя один из слушателей в шутку спросил, не полагается ли Баргаве и Шанкару теперь 12% от приза в миллион. „Представители института были на лекции, и они сразу же сказали, что нет, не полагается“, – печально заметил Баргава.

Открытия Баргавы и Шанкара переполошили специалистов по теории чисел, многие из которых не ожидали прогресса в области среднего ранга. „Спроси вы меня за месяц до того, как Манджул рассказал мне о своей работе, – говорит Гросс, – я бы ответил вам, что это безнадёжно“. Теперь, по его словам, минималистская гипотеза выглядит всё более многообещающей. „Я бы поставил на неё деньги“.

Один из возможных путей – который, вероятно, потребует вливания новых идей, как говорят математики – попробовать использовать алгоритмы спуска порядков выше, чем 5, чтобы всё больше уточнять границы среднего ранга. „С использованием спусков 2, 3, 4 и 5 порядков возникла чёткая закономерность, и скорее всего, она продолжится“, – сказал Баргава.

Баргава не считает себя единоличным обладателем прав на эту идею, и надеется, что их работа вдохновит молодых математиков на дальнейшие исследования в области рациональных точек эллиптических кривых. „Минималистская гипотеза – не самоцель, – говорит он. – Каждый раз, открывая дверь, оказывается, что нужно открыть ещё множество дверей. Чем больше людей этим занимаются, тем больше дверей мы сможем открыть“.