В четвёртой книге «Начал» Евклида, текста по геометрии возрастом 2 300 лет, есть указанаия по построению 15-стороннего многоугольника внутри круга. Первый шаг хорошо известен изучающим геометрию: построение равностороннего треугольника и правильного пятиугольника так, чтобы их вершины лежали на окружности и обе фигуры имели одну общую вершину. Кроме текстовых указаний, в «Началах» содержались иллюстрирующие метод чертежи.
В старейшей полной копии «Начал», манускрипте девятого века, хранящемся в Ватиканской библиотеке, отрезки прямых чертились и стирались. Изображение из Library of Congress Online Catalog, Prints and Photographs Division.
Невозможно узнать, как выглядели исходные схемы самого Евклида, но в выживших манускриптах открываются удивительные вариации в отображении таких геометрических фигур, как пятнадцатиугольник. Современному наблюдателю такие вариации кажутся ошибками: в некоторых средневековых версиях текста отрезки прямых имеют неверную длину. В манускрипте девятого века, старейшей копии «Начал», хранящейся в Ватиканской библиотеке, отрезки чертились и стирались. В ещё одном тексте девятого века, хранящемся в Оксфордском университете, стороны пятнадцатиугольника внутри окружности изогнутые и беспорядочные, а не прямые. В парижской копии двенадцатого века тоже используются кривые, но они немного менее извилисты, чем в старой оксфордской версии. В Вене хранится текст одиннадцатого или двенадцатого века, в котором исходные линии были правильной длины и прямыми, но позже кто-то добавил к ним изогнутые отрезки (1).
«Начала» вызывают огромный интерес, но это не единственный исторический научный текст с проблемами в чертежах. Оказывается, они встречаются в копиях работ Ибн аль-Хайсама, Архимеда, Аристотеля и Птолемея. Среди вариаций встречаются параллельные линии, которые на самом деле не параллельны, неверно обозначенные фигуры, равные отрезки или углы, нарисованные неравными, или неравные углы, которые могут выглядеть равными. Например, в манускрипте палимпсеста Архимеда десятого века для обозначения паработы используется равнобедренный треугольник. Это может казаться простыми историческими странностями, но некоторые исследователи находят среди чертежей интригующие намёки на то, как эволюционировала математика на протяжении тысячелетия.
Исследователи начинают изучать эти вариации, чтобы узнать, как распространялись математические идеи и понять, как к этой теме подходили разные люди. Традиционно, историки математики, изучающие древнегреческие тексты, сосредоточены на словах и числах и пропускают чертежи, как простые иллюстрации к тексту. Как считают историк науки Натан Сидоли из токийского Университета Васэда и его коллега Кен Саито из Университета префектуры Осака, заметившие в эссе 2012 года схематические изменения пятнадцатиугольника и других доказательств, из-за такой сосредоточенности на тексте мы пропускаем часть истории (1).
Математика богата на абстракции, и со временем люди открыли множество способов визуализации этих абстракций. «С самой юности мы обучаемся пониманию общих концепций определёнными визуальными способами», — говорит Сидоли. «Посмотрев на эти работы, мы можем напомнить себе, что это не универсальный способ видения».
Чертежи и схемы были частью математики тысяч лет человеческой истории. Вавилоняне вычисляли квадратные корни и знали принцип теоремы Пифагора ещё за тысячу с лишним лет до Пифагора или Евклида. Свидетельством может служить глиняная табличка, датированная семнадцатым веком до нашей эры, на которой нарисован чертёж квадрата и его диагоналей с соответствующими числами. Пионер визуализации данных Эдвард Тафти, профессор-эмерит политических наук, информатики и статистики из Йеля, называет табличку «графическим свидетелем» знаний вавилонян.
Некоторые исследователи считают, что чертежи сами могут являться цельной частью математики и носителем информации между веками, несмотря на все свои недостатки. Если ошибка, появившаяся в одной копии, распространилась на последующие версии, то это показывает, что переписчики не понимали математики или не ценили точность. С другой стороны, некоторые учёные мужи использовали чертежи, чтобы дополнить знания, изложенные в «Началах». Например, там, где Евклид описывал свойства только острого угла, более поздние переписчики могли добавить похожие свойства для тупых и прямых углов.
Этот фрагмент «Начал» был частью оксиринхских папирусов, группы манускриптов, обнаруженных в 1897 году на древней мусорной свалке рядом с городом Оксиринх в Египте. Текст возрастом примерно 2 000 лет ссылается на пятую теорему второго тома «Начал». Изображение принадлежит Bill Casselman (University of British Columbia, Vancouver).
«Начала», состоявшие из тринадцати томов, были выпущены по крайней мере в сотнях изданий, и до последнего века это была вторая по объёмам продаж книга в мире. (Первая — это Библия.) Но не всё в «Началах» было выведено Евклидом. В томах представлен сборник математических знаний, известных древним грекам того времени. Физик Стивен Хокинг назвал Евклида «величайшим энциклопедистом математики всех времён» и сравнил его с Ноа Уэбстером, составившим первый словарь английского языка (2).
«Начала» переводились с древнегреческого, арабского, латыни, древнееврейского и других языков. Трактат в процессе роста и миграции эволюционировал, как и чертежи в нём. Читатели оставляли заметки на полях и вносили правки. Последующие читатели и переводчики, видели и манускрипт, и добавления, и редактировали труд в соответствии с тем, что соответствовало их времени. Такие взаимодействия зафиксированы в переводах доказательств и чертежей «Начал», и сам акт копирования стал, по словам изучающего эволюцию чертежей «Начал» аспиранта Стэнфордского университета Енсу Ли, актом преобразования.
«Мы легко можем упустить роль читателей в создании чертежей», — говорит Ли, подчёркивая, что они могли вмешиваться и вносить свой вклад, делая пометки в манускрипте. Позже переписчики принимали эти примечания к сведению. «Если они считали, что чертежи на полях были важнее основных чертежей, — объясняет Ли, — то чертежи на полях последующими поколениями превращались в основные». Эти визуальные изменения передавали математические идеи способами, которые невозможно передать текстом.
Называть такие изменения ошибками было бы слишком банально. Некоторые из изменений должны были стать улучшениями; другие возникли из культурных практик. Например, арабский текст читается справа налево, поэтому в ранних арабских версиях «Начал» ориентация чертежей часто отзеркаливалась — углы, которые в древнегреческих манускриптах раскрывались влево, в арабских версиях раскрывались справо. Однако, когда эти арабские версии переводились на латынь, некоторые переписчики не переворачивали чертежи обратно.
Математик Робин Хартсхорн, ранее работавший в Калифорнийском университете в Беркли, даже утверждает, что не всегда справедливо видеть изменение чертежей как процесс правки. Даже со всеми этими кривыми и изгибами чертежи пятнадцатиугольников передавали нужный смысл. Печать «Начал» с точными чертежами отражает ценности времени, говорит он, но эта практика нелояльна к предыдущим версиям. «Я бы назвал это перерисовкой чертежей под вкусы современных математиков, стремящихся видеть метрическую точность», — говорит Хартсхорн.
«Это были нарисованные от руки чертежи понятий, которые не всегда легко представить в письменном виде», — добавляет историк науки Кортни Роби, изучающая древние научные тексты в Корнеллском университете. «Чертежи — это творения конкретных авторов и переписчиков, их креативности, экспериментов и изменений».
Ли занимается манускриптами с девятого века до первой печатной версии «Начал», появившейся в 1482 году после изобретения печатного станка. С того времени, говори Ли, «Начала» стали стандартом учебника во многих европейских университетах, а их чертежи превратились в инструмент преподавания. В результате «в эру печатной культуры мы наблюдаем совершенно другие виды чертежей», — говорит Ли, занимающийся оцифровкой коллекции, состоящей не менее чем из пяти папирусов, 32 древнегреческих манускриптов, 92 переведённых манускриптов и 32 печатных изданий «Начал».
До девятнадцатого века трактат Евклида считался образцом строгих и структурированных математических доказательств. Чтобы иметь смысл, эти доказательства требуют чертежей. «Они бесполезны без чертежей», — объясняет философ Джон Мумма из Университета штата Калифорния, утверждающий, что чертежи «Начал» — это не просто наглядный инструмент преподавания, они являются и важными для доказательства самих утверждений (3)
В конце 19-го и начале 20-го веков математики поставили под вопрос превосходство «Начал» и частично причиной тому была зависимость Евклида от чертежей. В частности, немецкий математик Давид Гильберт призывал к более формальному подходу к математике, использующему исключительно логику и не требующий для доказательств чертежей, которые он считал своего рода «костылями» математики.
«От „Начал“ Евклида отказывались, потому что они казались не очень строгими», — рассказывает Джон Мумма. «Считалось, что он использовал чертежи интуитивно и слишком свободно».
Например, в «Началах» был чертёж, показывающий точку на прямой между двумя другими точками. Хильберту нужно было аналитическое описание того, что он называл «промежуточностью», без использования рисунков. Британский философ и логик Бертран Рассел тоже критиковал подход Евклида: он заметил, что многие древнегреческие доказательства слабы, потому что они берут силу своих рассуждений из чертежей, а не исключительно из логики. «Подлинное доказательство должно сохранять свою силу даже при отсутствии нарисованных фигур, но очень многие доказательства Евклида не проходят эту проверку», — писал Расселл в 1902 году (4). (Первое доказательство в «Началах» показывает, как построить равнобедренный треугольник с помощью двух пересекающихся окружностей. Однако точка пересечения обосновывается из чертежа, её существование не доказывается строго.)
Однако многие современные историки математики воспринимают подход Евклида как ещё один способ видения математики — и он необязательно слаб просто потому, что использует чертежи. Эти учёные утверждают, что чертёж и представляет собой доказательство, и что нет универсального способа понимания математики. «Мы на самом деле можем всё понять, в точности использовав информацию, содержащуюся на чертеже в качестве доказательства», — говорит Мумма. «Это не просто иллюстрация».
Современные исследования сфокусировались на чертежах по большей степени с 1990-х, когда Ревил Нетц из Стэнфордского университета и Кеннет Мэндерс из Питтсбургского университета заявили, что античные математические чертежи заслуживают, чтобы их рассматривали под другим углом. Нетц говорит, что область исследования сосредоточена на двух аспектах: самом графическом представлении и способах использования чертежей людьми (5, 6). Он утверждает, что работа Ли из Стэнфордского университета по сравнению чертежей разных веков объединяет эти два аспекта, позволяя расширить область исследования.
Нетц говорит, что работа Ли поможет историкам понять, как «наука перешла от теоретической геометрии древних греков к… более прикладному и физическому использованию геометрии для реального мира».
После «Начал» Ли хочет проанализировать чертежи в «Оптике» Евклида — раннем труде по физике света, а затем сосредоточиться на работах Птолемея и Архимеда. Он надеется, что его исследования привлекут интерес историков, философов и математиков к анализу того, как люди использовали (и продолжают использовать) чертежи для изучения глубоких математических идей. «Мы склоняемся к том, что от чертежей можно избавиться», — говорит он. «Но некоторые идеи невозможно передать в тексте. Их необходимо передавать графически».
В старейшей полной копии «Начал», манускрипте девятого века, хранящемся в Ватиканской библиотеке, отрезки прямых чертились и стирались. Изображение из Library of Congress Online Catalog, Prints and Photographs Division.
Невозможно узнать, как выглядели исходные схемы самого Евклида, но в выживших манускриптах открываются удивительные вариации в отображении таких геометрических фигур, как пятнадцатиугольник. Современному наблюдателю такие вариации кажутся ошибками: в некоторых средневековых версиях текста отрезки прямых имеют неверную длину. В манускрипте девятого века, старейшей копии «Начал», хранящейся в Ватиканской библиотеке, отрезки чертились и стирались. В ещё одном тексте девятого века, хранящемся в Оксфордском университете, стороны пятнадцатиугольника внутри окружности изогнутые и беспорядочные, а не прямые. В парижской копии двенадцатого века тоже используются кривые, но они немного менее извилисты, чем в старой оксфордской версии. В Вене хранится текст одиннадцатого или двенадцатого века, в котором исходные линии были правильной длины и прямыми, но позже кто-то добавил к ним изогнутые отрезки (1).
«Начала» вызывают огромный интерес, но это не единственный исторический научный текст с проблемами в чертежах. Оказывается, они встречаются в копиях работ Ибн аль-Хайсама, Архимеда, Аристотеля и Птолемея. Среди вариаций встречаются параллельные линии, которые на самом деле не параллельны, неверно обозначенные фигуры, равные отрезки или углы, нарисованные неравными, или неравные углы, которые могут выглядеть равными. Например, в манускрипте палимпсеста Архимеда десятого века для обозначения паработы используется равнобедренный треугольник. Это может казаться простыми историческими странностями, но некоторые исследователи находят среди чертежей интригующие намёки на то, как эволюционировала математика на протяжении тысячелетия.
Визуализация
Исследователи начинают изучать эти вариации, чтобы узнать, как распространялись математические идеи и понять, как к этой теме подходили разные люди. Традиционно, историки математики, изучающие древнегреческие тексты, сосредоточены на словах и числах и пропускают чертежи, как простые иллюстрации к тексту. Как считают историк науки Натан Сидоли из токийского Университета Васэда и его коллега Кен Саито из Университета префектуры Осака, заметившие в эссе 2012 года схематические изменения пятнадцатиугольника и других доказательств, из-за такой сосредоточенности на тексте мы пропускаем часть истории (1).
Математика богата на абстракции, и со временем люди открыли множество способов визуализации этих абстракций. «С самой юности мы обучаемся пониманию общих концепций определёнными визуальными способами», — говорит Сидоли. «Посмотрев на эти работы, мы можем напомнить себе, что это не универсальный способ видения».
Чертежи и схемы были частью математики тысяч лет человеческой истории. Вавилоняне вычисляли квадратные корни и знали принцип теоремы Пифагора ещё за тысячу с лишним лет до Пифагора или Евклида. Свидетельством может служить глиняная табличка, датированная семнадцатым веком до нашей эры, на которой нарисован чертёж квадрата и его диагоналей с соответствующими числами. Пионер визуализации данных Эдвард Тафти, профессор-эмерит политических наук, информатики и статистики из Йеля, называет табличку «графическим свидетелем» знаний вавилонян.
Некоторые исследователи считают, что чертежи сами могут являться цельной частью математики и носителем информации между веками, несмотря на все свои недостатки. Если ошибка, появившаяся в одной копии, распространилась на последующие версии, то это показывает, что переписчики не понимали математики или не ценили точность. С другой стороны, некоторые учёные мужи использовали чертежи, чтобы дополнить знания, изложенные в «Началах». Например, там, где Евклид описывал свойства только острого угла, более поздние переписчики могли добавить похожие свойства для тупых и прямых углов.
Этот фрагмент «Начал» был частью оксиринхских папирусов, группы манускриптов, обнаруженных в 1897 году на древней мусорной свалке рядом с городом Оксиринх в Египте. Текст возрастом примерно 2 000 лет ссылается на пятую теорему второго тома «Начал». Изображение принадлежит Bill Casselman (University of British Columbia, Vancouver).
Вмешательство читателя
«Начала», состоявшие из тринадцати томов, были выпущены по крайней мере в сотнях изданий, и до последнего века это была вторая по объёмам продаж книга в мире. (Первая — это Библия.) Но не всё в «Началах» было выведено Евклидом. В томах представлен сборник математических знаний, известных древним грекам того времени. Физик Стивен Хокинг назвал Евклида «величайшим энциклопедистом математики всех времён» и сравнил его с Ноа Уэбстером, составившим первый словарь английского языка (2).
«Начала» переводились с древнегреческого, арабского, латыни, древнееврейского и других языков. Трактат в процессе роста и миграции эволюционировал, как и чертежи в нём. Читатели оставляли заметки на полях и вносили правки. Последующие читатели и переводчики, видели и манускрипт, и добавления, и редактировали труд в соответствии с тем, что соответствовало их времени. Такие взаимодействия зафиксированы в переводах доказательств и чертежей «Начал», и сам акт копирования стал, по словам изучающего эволюцию чертежей «Начал» аспиранта Стэнфордского университета Енсу Ли, актом преобразования.
«Мы легко можем упустить роль читателей в создании чертежей», — говорит Ли, подчёркивая, что они могли вмешиваться и вносить свой вклад, делая пометки в манускрипте. Позже переписчики принимали эти примечания к сведению. «Если они считали, что чертежи на полях были важнее основных чертежей, — объясняет Ли, — то чертежи на полях последующими поколениями превращались в основные». Эти визуальные изменения передавали математические идеи способами, которые невозможно передать текстом.
Называть такие изменения ошибками было бы слишком банально. Некоторые из изменений должны были стать улучшениями; другие возникли из культурных практик. Например, арабский текст читается справа налево, поэтому в ранних арабских версиях «Начал» ориентация чертежей часто отзеркаливалась — углы, которые в древнегреческих манускриптах раскрывались влево, в арабских версиях раскрывались справо. Однако, когда эти арабские версии переводились на латынь, некоторые переписчики не переворачивали чертежи обратно.
Математик Робин Хартсхорн, ранее работавший в Калифорнийском университете в Беркли, даже утверждает, что не всегда справедливо видеть изменение чертежей как процесс правки. Даже со всеми этими кривыми и изгибами чертежи пятнадцатиугольников передавали нужный смысл. Печать «Начал» с точными чертежами отражает ценности времени, говорит он, но эта практика нелояльна к предыдущим версиям. «Я бы назвал это перерисовкой чертежей под вкусы современных математиков, стремящихся видеть метрическую точность», — говорит Хартсхорн.
«Это были нарисованные от руки чертежи понятий, которые не всегда легко представить в письменном виде», — добавляет историк науки Кортни Роби, изучающая древние научные тексты в Корнеллском университете. «Чертежи — это творения конкретных авторов и переписчиков, их креативности, экспериментов и изменений».
Эволюция начал
Ли занимается манускриптами с девятого века до первой печатной версии «Начал», появившейся в 1482 году после изобретения печатного станка. С того времени, говори Ли, «Начала» стали стандартом учебника во многих европейских университетах, а их чертежи превратились в инструмент преподавания. В результате «в эру печатной культуры мы наблюдаем совершенно другие виды чертежей», — говорит Ли, занимающийся оцифровкой коллекции, состоящей не менее чем из пяти папирусов, 32 древнегреческих манускриптов, 92 переведённых манускриптов и 32 печатных изданий «Начал».
До девятнадцатого века трактат Евклида считался образцом строгих и структурированных математических доказательств. Чтобы иметь смысл, эти доказательства требуют чертежей. «Они бесполезны без чертежей», — объясняет философ Джон Мумма из Университета штата Калифорния, утверждающий, что чертежи «Начал» — это не просто наглядный инструмент преподавания, они являются и важными для доказательства самих утверждений (3)
В конце 19-го и начале 20-го веков математики поставили под вопрос превосходство «Начал» и частично причиной тому была зависимость Евклида от чертежей. В частности, немецкий математик Давид Гильберт призывал к более формальному подходу к математике, использующему исключительно логику и не требующий для доказательств чертежей, которые он считал своего рода «костылями» математики.
«От „Начал“ Евклида отказывались, потому что они казались не очень строгими», — рассказывает Джон Мумма. «Считалось, что он использовал чертежи интуитивно и слишком свободно».
Например, в «Началах» был чертёж, показывающий точку на прямой между двумя другими точками. Хильберту нужно было аналитическое описание того, что он называл «промежуточностью», без использования рисунков. Британский философ и логик Бертран Рассел тоже критиковал подход Евклида: он заметил, что многие древнегреческие доказательства слабы, потому что они берут силу своих рассуждений из чертежей, а не исключительно из логики. «Подлинное доказательство должно сохранять свою силу даже при отсутствии нарисованных фигур, но очень многие доказательства Евклида не проходят эту проверку», — писал Расселл в 1902 году (4). (Первое доказательство в «Началах» показывает, как построить равнобедренный треугольник с помощью двух пересекающихся окружностей. Однако точка пересечения обосновывается из чертежа, её существование не доказывается строго.)
Однако многие современные историки математики воспринимают подход Евклида как ещё один способ видения математики — и он необязательно слаб просто потому, что использует чертежи. Эти учёные утверждают, что чертёж и представляет собой доказательство, и что нет универсального способа понимания математики. «Мы на самом деле можем всё понять, в точности использовав информацию, содержащуюся на чертеже в качестве доказательства», — говорит Мумма. «Это не просто иллюстрация».
Современные исследования сфокусировались на чертежах по большей степени с 1990-х, когда Ревил Нетц из Стэнфордского университета и Кеннет Мэндерс из Питтсбургского университета заявили, что античные математические чертежи заслуживают, чтобы их рассматривали под другим углом. Нетц говорит, что область исследования сосредоточена на двух аспектах: самом графическом представлении и способах использования чертежей людьми (5, 6). Он утверждает, что работа Ли из Стэнфордского университета по сравнению чертежей разных веков объединяет эти два аспекта, позволяя расширить область исследования.
Нетц говорит, что работа Ли поможет историкам понять, как «наука перешла от теоретической геометрии древних греков к… более прикладному и физическому использованию геометрии для реального мира».
После «Начал» Ли хочет проанализировать чертежи в «Оптике» Евклида — раннем труде по физике света, а затем сосредоточиться на работах Птолемея и Архимеда. Он надеется, что его исследования привлекут интерес историков, философов и математиков к анализу того, как люди использовали (и продолжают использовать) чертежи для изучения глубоких математических идей. «Мы склоняемся к том, что от чертежей можно избавиться», — говорит он. «Но некоторые идеи невозможно передать в тексте. Их необходимо передавать графически».
Справочные материалы
- Saito K, Sidoli N (2012) Diagrams and arguments in ancient Greek mathematics: Lessons drawn from comparisons of the manuscript diagrams with those in modern critical editions. The History of Mathematical Proof in Ancient Traditions, ed Chemla K (Cambridge Univ Press, Cambridge, UK), pp 135–162. Google Scholar
- Hawking S, ed (2002) On the Shoulders of Giants (Running Press, Philadelphia). Google Scholar
- Mumma J (2010) Proofs, pictures, and Euclid. Synthese 175:255–287. CrossRef Web of Science Google Scholar
- Russell B (1902) The teaching of Euclid. Math Gaz 2:165–167. Google Scholar
- Netz R (1998) Greek mathematical diagrams: Their use and their meaning. Learn Math 18:33–39. Google Scholar
- Manders K (1995) Diagram-based geometric practice. The Philosophy of Mathematical Practice, ed Mancosu P (Oxford Univ Press, Oxford), pp 65–79. Google Scholar
Комментарии (3)
AntonSor
07.12.2017 19:23Судя по последней иллюстрации, ещё древние египтяне обладали привычкой выкидывать конспекты, как только сдан экзамен :)
M1Q4
Для интересующихся вопросом рекомендую недавнее исследование «Начал» Евклида. Авторы попытались максимально строго воспроизвести утверждения и доказательства из первой книги «Начал» и проверить их с помощью автоматизированных систем проверки доказательств (Coq, HOL Light).
В целом это удалось. Те места, которые Евклид считал очевидными, были формализованы путем добавления необходимых аксиом и теорем. Несмотря на то, что авторы исправили в доказательствах много ошибок и пробелов, общая логика была сохранена. А сами утверждения Евклида являются истинными и действительно выводятся из аксиом.
Гильберт был в общем-то прав относительно евклидовой геометрии: ее можно формализовать, обходясь без картинок. Но в поиске решения геометрических задач картинки служит важным подспорьем и источником вдохновения. Можете в этом убедиться, попробовав вписать квадрат в окружность с помощью ровно 7 прямых или окружностей: Задача 1.7 в Euclidea. Это и так сложная головоломка, а без картинки ее практически нереально решить.