В «колодце лотоса», круглом, с ровным дном и вертикальными стенками, должен быть уровень воды ровно один древнеегипетский метр. Определяют сколько наливать просто: бросают две жерди, длиной два и три метра, они нижними концами встают напротив друг друга, и пересекаются ровно на нужной высоте. Каков диаметр колодца?
Конечно, можно сразу перевести задачу в плоскость. Построим модель колодца, радиусом в один метр, соответственно, в плоскости шириной в два.
Чтобы изобразить жерди, можно использовать зависимости координат:
Где a и b это высота пересечений с осью колодца для длинной и короткой жерди. Для отображения каждой точки жерди n это вертикальная координата, m это горизонтальная. Так можно и оставить дальше, для обозначения координат пересечения, в виде уровня над дном и смещения от оси.
Наш колодец другой ширины, так что и уровень воды будет не метр. Вполне ясен коэффициент масштаба между колодцами — он, так как уровень надо привести к единице, равен . Или , так как ширину надо привести от 2 к L.
Получается, .
Так как то
После «разворота»:
После подстановки:
Для n можно построить ещё одно выражение.
После деления
Для m можно получить ещё одну закономерность:
После умножения:
Теперь обозначим условия задачи.
Длина жердей по теореме Пифагора:
Или проще:
Если убрать из правой части n:
Если убрать из правой части константу:
Это уравнение можно выразить через и :
И тут прекрасно сокращается.
Из этого определения m уже можно посчитать без решения уравнений четвертой степени, а просто подставляя значение в формулу по кругу несколько раз.
Но если сделать замену
то уравнение станет
Получается, чтобы решить задачу нужно всего-то пересечь две параболы разного размера, которые друг относительно друга повернуты на прямой угол, и край одной лежит на оси другой.
Как же из r вывести L?
Из выводится
И тогда доступна такая последовательность преобразований:
В итоге получается
Поэтому, простой ответ такой:
Вот и всё, осталось построить, и по древнеегипетской традиции налить…
Впрочем, можно ещё избавиться от рекурсии и найти из уравнения нужный нам корень.
ПолучитсяНаверное, новобранцам давали две глиняных таблички, на одну бы не влезло.
lisper
"… колодец Лотоса, как круг солнца; возле колодца положен один камень, одно долото, две тростинки. Одна тростинка имеет три меры, вторая имеет две меры. Тростинки скрещиваются всегда над поверхностью воды в Колодце Лотоса, и от этой поверхности одна мера до дна. Кто сообщит числа наидлиннейшей прямой, содержащейся в ободе Колодца Лотоса, возьмет обе тростинки, будет жрецом бога Ра." (с) А. Казанцев «Колодец лотоса».
Хотя рассказ Казанцева художественный, в нем описано сразу два решения этой задачи: с уравнением четвертое степени и на основе измерения реального колодца.
yurixi Автор
Представленное решение — на основе системы координат «два глаза», в которой координаты на плоскости задаются тем, на сколько далеко видится предмет каждому из двух глаз. В нём используются простые преобразования координат: x = (a-b)/(a+b), y = 2ab/(a+b), a = n/(1-m), b = n/(1+m). Можно использовать не только для этой задачки.