Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу Вам рассказать удивительную историю, которая есть далеко не у каждого математического или геометрического объекта. Корни моего рассказа уходят в 18 век и происходили в самом сердце Священной Римской империи - итальянском городе Милан.
В зажиточной купеческой семье (21-ой по счёту) в 1718 году родилась Мария Гаэтана Аньези. Иронично, что в именно в 21 год отец Марии не дал уйти девушке в монастырь, настояв на необходимости заниматься математикой (он сам был профессором и заметил способности дочери).
Уже нетипичная история для 18 века, не правда ли?
В итоге по представлению Папы римского Бенедикта XIV Мария стала профессором математики, натуральной философии и физики университета Болоньи, а затем вошла в историю за исследование одной плоской кубической кривой. Давайте посмотрим, о чем шла речь.
Построение на пальцах
1. Итак, нам необходимо построить окружность, а также провести касательную l1 через любую её точку. Удобнее всего это будет сделать через её верх:
2. Берем произвольную точку А на касательной l1 и проводит через неё прямую в точку, диаметрально противоположную точке касания.
3. Через точку пересечения с окружностью новой прямой проводим прямую l2, параллельную касательной l1.
4. Из точки А проводим перпендикуляр к прямой l2. На пересечении и получаем точку искомой кривой.
Если повторить указанные выше построения, а затем отразить всё через вертикальную ось, получим такую кривую:
С первого взгляда кривая очень похожа на колоколообразную кривую нормального распределения, однако первое впечатление обманчиво. У нашей героини намного более "тяжелые хвосты"
Конечно, как и в почти любой математической истории 17-18 века здесь не обошлось без вездесущего Пьера Ферма, который уже рассматривал похожую конструкцию. Заслуга Марии Аньези в том, что именно она систематизировала все знания о кривой и нашла её алгебраическое уравнение, дала характеристики точкам перегиба и асимптотической линии, к которой стремятся внизу "ведьминские" локоны.
Кстати, а при чём здесь ведьмы?
Первое название "верзьера" кривой дал еще один знакомый персонаж - итальянский монах Гвидо Гранди, известный по одноименному числовому ряду.
Дело в том, что при построениях он оперировал функцией "синус-верзус"
Из-за этого профессор Кембриджа Джон Колсон неправильно перевел название кривой как "ведьма", когда работал над английской адаптацией труда Марии Аньези. Зато теперь в англоязычной литературе можно встретить названий "Witch of Agnesi".
А какие применения есть у верзьеры Аньези?
С точки зрения прикладной математики именно кривая Аньези стала полем для эксперимента, благодаря которому был открыт т.н. эффект Рунге.
Простыми словами он заключается в неограниченном увеличении погрешности приближения некоторых кривых линий с помощью интерполяционных полиномов при увеличении их степени. Смотрите:
Так вот, впервые эффект Рунге был замечен как раз на кривой Аньези.
Верзьера, представляющая с эстетической точки зрения идеальный холм или одиночную морскую волну, также используется в математическом моделировании.
Источник: https://voenflot.ru/wp-content/uploads/2020/11/1-2048x1366.jpg
Форму кривой Аньези также имеет трамплин-рампа авианесущего крейсера "Адмирал флота Советского Союза Кузнецов". Его параметры (длина, угол схода) подобраны таким образом, что самолет находится на идеальном угле атаки с нужно скоростью. Могла ли предположить итальянская девушка Мария такое применение своей безобидной кривой?
TELEGRAM "Математика не для всех" - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
Комментарии (40)
Un_ka
24.10.2021 16:58+20Трамплин-рампа авианосца имеет форму данной кривой, вопрос – почему? Значит она является решением какой-то физической задачи. Хотелось бы узнать увидеть ход её решения.
vesper-bot
24.10.2021 17:48+7Да хотя бы саму задачу увидеть, в той постановке, в которой её решением является кривая Аньези, а также почему именно в этой точке кривая оборвана (разве что это точка перегиба кривой — ракурс не тот, чтобы оценить математически).
sshikov
24.10.2021 20:21+4>Трамплин-рампа авианосца имеет форму данной кривой
Я не был бы пока уверен, что это вообще реальный факт. Если поискать ссылки, то единственное что удается найти с ходу — это некая передача на НТВ. Ну и статья про кривую Аньези. Считать ли это достоверными источниками… ну не знаю.
>Его параметры (длина, угол схода) подобраны таким образом, что самолет находится на идеальном угле атаки с нужно скоростью.
На первый взгляд это скорее вызывает вопросы (без ответов). И пока не факт, что есть смысл делать именно такой трамплин.
Я уже не говорю о том, что трамплин вместо скажем катапульты — это ну такое условное достоинство, на самом деле у него масса недостатков, начиная с того, что взлетать можно только в одну сторону, и садиться тоже, что вызывает массу неудобств.
ksbes
25.10.2021 10:40+1Я не был бы пока уверен, что это вообще реальный факт.
Но весьма правдоподобный - там в любом случае тот или иной сплайн - т.е. кубическая кривая, потому что когда его проектировали, то проектировали "физическими сплайнами" - т.е. специальными устройствами для рисования таких кривых.
на самом деле у него масса недостатков, начиная с того, что взлетать можно только в одну сторону, и садиться тоже, что вызывает массу неудобств.
На катапульте внезапно тоже можно взлетать только в одну сторону. Да и садятся - присмотритесь - мимо трамплина. Там посадочная палуба идёт вкось.
Зато трамплин всегда готов, хоть по самолёту каждые пять секунд запускай! И сломать тяжело (хотя, вроде умудрились пару раз: наша армия всех сильней!)
Так что этот спор - что лучше - умрёт только с авианосцами.
sshikov
25.10.2021 10:47+3>Но весьма правдоподобный
Я немного про другое. Конечно, там сплайн. У меня вот это вызывает вопросы:
>самолет находится на идеальном угле атаки с нужно скоростью.
В моем понимании угол атаки на трамплине постоянный. Потому что скорость направлена по касательной к кривой, и положение корпуса и крыльев тоже не меняется по отношению к этой же касательной. Т.е. вопрос не в том, что там кривая Аньези, а скорее в мотивации, по которой ее якобы выбрали.
>На катапульте внезапно тоже можно взлетать только в одну сторону.
Ну, если нет катапульты, то хотя бы садиться можно в обе стороны. Ну просто потому что палуба плоская (понятно что катапульту и аэрофинишер нужно иметь в двух экземплярах — т.е. это тоже не само по себе происходит).ksbes
25.10.2021 11:02+2В моем понимании угол атаки на трамплине постоянный...
Не совсем так: трамплин "закидывает нос" самолёту вверх. И когда тот сходит с среза и "проваливается" - он оказывается в самом оптимальном положении с максимальной подъёмной силой. Такого же эффекта можно было бы добиться расположив в носу самолёта дополнительные двигатели, которые, задирают нос на разбеге - похоже, например, взлетает этот F-35B. Но это более рискованный и дорогой способ на авианосце.
Ну, если нет катапульты, то хотя бы садиться можно в обе стороны
Так и так можно, если очень захотеть - см. фотографию, что помешает?. Просто направление посадки определяется ходом авианосца. Он задом, обычно, не ходит.
drWhy
25.10.2021 11:09Тяжёлым транспортникам ещё помогают взлетать одноразовые твердотопливные ускорители.
sshikov
25.10.2021 11:12+1>Не совсем так: трамплин «закидывает нос» самолёту вверх.
Ну я возможно чего-то не понимаю, но каким образом трамплин может развернуть самолет по тангажу? Ну т.е. опять же — то что самолет сходит с трамплина под углом например 30 градусов к горизонту — не меняет угол атаки никаким образом, потому что он измеряется не по отношению к горизонту авианосца, а к продольной оси аппарата. Вот с катапульты выбросить так можно — поставить самолет на тележку под наклоном, и разогнать в таком положении. И при обычном взлете угол атаки возрастает когда передняя стойка шасси отрывается от полосы.
>что помешает
торчащий вверх трамплин? Понятно, что все можно побороть, и это условные недостатки.ksbes
25.10.2021 11:21+4Ну я возможно чего-то не понимаю, но каким образом трамплин может развернуть самолет по тангажу?
Самолёт с 0м углом атаки может лететь только по параболе. Т.е. сразу после того как колёса сходят с катапульты - самолёт "проваливается" - вектор его скорости под действием ускорения гравитации поворачивается вниз (при этом положение самолёта за счёт работы аэродинамических поверхностей - не меняется). И трамплин рассчитан таким образом, чтобы ускорение от подъёмной силы крыла выставленного трамплином под нужным углом останавливало этот вектор скорости как раз на уровне горизонта.
>что помешает
торчащий вверх трамплин?Ну посмотрите на фото авианосца в статье - садятся на посадочную полосу. На ней вертолёты стоят. Как там трамплин помешает? Она же под углом идёт!
sshikov
25.10.2021 11:29+1Ну т.е. не «трамплин разворачивает», а скорее траектория после схода с него парабола, и поэтому угол атаки нарастает? Ну да, в таком виде все логично.
LuggerMan
25.10.2021 13:38-1Нет же. Трамплин именно задирает нос (разворачивает без закрылок и прочего), вследствие чего угол атаки сразу же меняется (по определению — угол между потоком и осью аппарата), что позволяет получить траекторией после схода прямую за счет подьемной силы при данном угле атаки, а не параболу как раз-таки. (вектор скорости явно задирается вверх незначительно при прохождении по трамплину, и уж точно не до сонаправленности с осью аппарата)
ksbes
25.10.2021 13:49+3вектор скорости явно задирается вверх незначительно при прохождении по трамплину, и уж точно не до сонаправленности с осью аппарата
Пока аппарат едет всеми колёсами по палубе /трамплину, его вектор скорости сонаправлен с его осью (с точностью до работы подвески и изначальной установки угла конструкцией шасси). Просто по геометрии системы палуба-аппарат.
sshikov
25.10.2021 17:23+2>явно задирается вверх незначительно при прохождении по трамплину
Пока как-то не убедительно. Вот с этим комментарием я согласен, а тут нет. При обычном старте с плоской ровной полосы угол атаки растет только при отрыве передней стойки. А тут почему должно быть иначе? Скорость направлена по касательной к кривой трамплина, угол наклона оси аппарата к трамплину — не меняется, если нет отрыва передней стойки. С чего углу атаки-то меняться, пока мы на трамплине?
Tarakanator
26.10.2021 10:17Тут зависит от точки зрения.
Я вот вообще считаю наиболее правильным следующее определение функции трамплина:
Трамплин устанавливает необходимое положение самолёта относительно горизонта. Угол атаки нарастает сам после схода с трамплина.
Tarakanator
26.10.2021 10:09А разве трамплин делает невозможной катапульту? Я думал это независимые системы. Одна для разгона самолёта, другая для его схода с полосы.
ksbes
26.10.2021 10:22)) Если катапультой разогнать самолёт в трамплин, то от самолёта лепёшка останется. Не от самолёта, так от пилота - точно. Трамплин - он слишком "резкий" на полётных скоростях (~ 300 км/ч).
Tarakanator
26.10.2021 11:10Ну давайте посчитаем.
Дано:
угол схода 14 градусов.
Скорость 300км/ч=83м/с
длина корабля 306 метровПредположим:
длина трамплина 50 метров (тупо исходя из пропорций на фото)Решение:
время прохождения трамплина 50/83=0.6с
вертикальная скорость после трамплина 83*tg14 градусов=20.7м/с
20.7/0.6=34,5м/с^2Вопрос: что за военные пилоты у нас, от которых при 3.5g лепёшка остаётся?
ksbes
26.10.2021 11:29Согласен, немного преувеличил, но 3,5g -это среднее ускорение. Трамплин не равномерен и надо считать (благо мы, благодаря статье знаем его форму!). Максимальное ускорение может и 10g превысить в точке максимальной кривизны. А у шасси запас прочности на как раз порядка 5-10g.
А учитывая что катапульта даёт те же - 2-4g, но в продольном направлении, то рывок (производная ускорения, которая и воспринимается как "удар") будет уже несколько десятков в секунду - как удар кувалдой.
Tarakanator
26.10.2021 11:391)Если бы ускорение было проблемой, то трамплин делали бы равномерным.
2)никто не заставляет разгонять катапультой до 300км/ч.(при наличии трамплина)
3)амортизаторы должны сгладить пиковое ускорение.
4)на вики указано что пилоты спортивных самолётов переносят до 12G, парашютисты при раскрытии парашюта 10-16g
sshikov
26.10.2021 10:27Я не слышал про такие варианты. Может и не делает, но таких гибридов вероятно нет в природе.
KAYANO
24.10.2021 19:30+1Смотрю на третий рисунок, и не могу понять. Как построили прямую l3 и l4? Получается их подняли на произвольное расстояние? Если так, то тогда при меньшем шаге мы будем получать другую форму кривой.
Mingun
24.10.2021 21:16+1Почему произвольное? Обе параллельны исходной касательной и проходят через точку окружности, в которой пересечение прямой из точки A до точки, противоположной точке касания
ciubotaru
24.10.2021 21:22+2Прямые l3 и l4 построили так же, как l2.
Кривая это график зависимости y от x. Каждому значению x соответствует одна точка (Ax) на касательной l1. Через каждую точку A проводится отдельная прямая к нижней точке окружности. Каждой прямой соответствует своя точка пересечения окружности и своё значение y.
SquareRootOfZero
25.10.2021 09:42+2На фотографии авианосца, на левом борту — это что, команда удочки закинула?
Javian
25.10.2021 21:22+3uss midway имеет эти удочки с каждой стороны.
They are simply HF antennas, hinged at the base so they do not interfere with aircraft operations, or with docking. They are not part of a DF system or array. They have been used on aircraft carriers since WW2.
Astromatics
Красивый корабль, крутой, гордость СССР и Российской Федерации. Надо ещё парочку построить.
Astromatics
Я понял, почему вам вышесказанное не понравилось. Что ж, повторю ещё раз: мы, то есть моя страна, Российская Федерация, строила и будет строить морские корабли, в том числе авианосцы. Потому что мы единственная подпорка под разваливающейся мировой цивилизацией. Мы обязаны удержать её от скатывания в экзистенциальный кризис. И это будет сделано.
salkat
"Адмирал Кузнецов" был построен на ЧСЗ в Николаеве, Украина. Российская Федерация конкретно авианосцев ни разу не строила.
Просто уточнение :)
Sergey-Aleksandrovich
Возможно ошибаюсь, но мне кажется, что @Astromatics гордится тем, что построеный при CCCР ("правоприемником" которого является РФ) на судостроительном заводе, заложеном при Российской империи, авианосец эксплатируется в РФ. И, лично мне, искренне жаль, что предприятие с такой богатой историей и инженерной традицией обанкротилось. А вот то, что РФ не строит авианосцев это очень даже хорошо - для современных войн они крайне неэффективны
Maximuzz
ну как эксплуатируется..))
LAutour
Если быть еще точнее: «Адмирал Кузнецов» был построен на ЧСЗ в Николаеве, УССР.
teecat
Если еще точнее «Адмирал Кузнецов» был построен на ЧСЗ в Николаеве с использованием систем с более 90 (емнип) предприятий Союза. Никак не умаляю подвиг ЧСЗ — это действительны был этапный для верфи корабль. Но строила его вся страна и после развала Союза достроить следующий авианосец не смогли. Хотя пытались
121212121
Как много пафоса :)
Сразу видно, что не служили.
tommy_lee
Тот самый неловкий момент, когда сарказм оказался настолько тонким, что тебя приняли за идиота
dolovar
Статья не про авианосец, но, раз уж Вы решили развивать эту тему, расскажите, пожалуйста, что Вы знаете о перспективах применения авианосцев в современную эпоху.
Возможно, Вы считаете, что «дипломатия канонерок» не потеряла свою актуальность и по-прежнему является достаточно эффективной, чтобы вкладывать столь большие средства разработку, постройку и содержание столь уязвимого вида вооруженных сил?
Видите ли Вы на карте мира возможные конфликты, в которых авианосная группа для России была бы полезнее других видов войск?
stanislav888
Сорян господа за оффтопик.
Чего далеко ходить, конфликт в Сирии. РФ под насмешки всего мира тащила свой неисправный авианосец к её берегам. Подозреваю это стоило весьма дорого, ибо дикий перерасход топлива. Но, видимо оно того стоило, раз российская элита решила потратить
своибюджетные деньги на такое вот мероприятие. А могли бы потратить, как обычно.Maximuzz
Поход в Сирию группы российских военных кораблей во главе с крейсером «Адмирал Кузнецов» обошлись бюджету от 7,5 млрд рублей до 10 млрд рублей, подсчитало РБК. В том числе на топливо было потрачено от 1,1 млрд до 1,5 млрд рублей, на боевые вылеты – 1,5 млрд, потеря двух истребителей стоила бюджету от 4,5 млрд до 6,7 млрд рублей.