1. Введение
Комплексные числа (z=x+iy) прочно вошли в арсенал методов исследования окружающего нас Мира - от теории элементарных частиц до космологии. К сожалению, во всех теоретических моделях, они (комплексные числа) рассматриваются в качестве технического приема, облегчающего математические вычисления. Наблюдательные данные и экспериментальные результаты «объясняются» только с помощью вещественной части комплексного выражения, полученного из теоретического расчета. Мнимую часть отбрасывают, как не реальную (не наблюдаемую).
Цель данной работы – показать, что наш Мир намного сложней и интересней, чем тот, который мы фиксируем с помощью наших несовершенных ощущений или инструментов. Он содержит кроме материальной составляющей еще и мнимую часть, такую же «реальную», как и вещественная часть.
Кратко напомним историю возникновения комплексных чисел. Хорошо известно, что корни математики уходят в глубокую древность и уже тогда ученые столкнулись с необычными числами. Пифагор (VI век до н.э.) придавал числам мистический смысл. Документальные сведения о необычных числах датируются 1545 годом, когда Джиронимо Кордано предложил создать новый вид чисел для решения некоторых уравнений. В 1552 году с комплексными аргументами Рафаэль Бомбелли установил первые правила арифметических операций над такими числами. Название «мнимые числа» ввел в 1637 году Рене Декарт. В 1707 году Абрахам де Муавр построил общую теорию корней уравнений любой степени. В 1777 году Леонард Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginare (мнимые) для обозначения мнимой единицы. Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря Карлу Гауссу (1831 г.), который ввел термин «комплексные числа».
2. Комплексные числа в физике
Классическая физика. С XIX-го века комплексные числа стали неотъемлемой частью практически всех разделов физики. Главная особенность использования комплексных чисел заключается в том, что с их помощью удивительно легко и просто решаются задачи, принципиально нерешаемые в рамках математики вещественных чисел. С самых ранних этапов использования комплексных чисел, велись дискуссии о реальности результатов вычислений, содержащих не только действительную часть, но и часть с мнимой единицей. Особенно актуальным этот вопрос был в тех разделах классической физики (электрические цепи, передача информационных сигналов, гидродинамика, аэродинамика и др.), где результаты расчета непосредственно проверялись экспериментом. Здесь существуют многочисленные примеры наблюдений, описываемых комплексными числами. Наиболее четко это можно проследить на примере, так называемого, импеданса (Z) – комплексного полного сопротивления электрической цепи. Если придать току и напряжению комплексную форму, то закон Ома для сложной цепи, содержащей кроме омического сопротивления еще конденсатор и катушку индуктивности, сохраняет свой традиционный вид. Но теперь формула закона Ома будет содержать новое сопротивление в виде комплексного числа
Z:U = ???????? = (???????????? + ????)???? (i - мнимая единица, U - напряженность, L – индуктивность, ω – частота, R – омическое сопротивление, I – электрический ток).
В самом общем случае, для любых сложных электрических цепей, сопротивление представляется в виде суммы активного (вещественного) и реактивного (мнимого). Физическое измерение (с помощью физических приборов) дает суммарное сопротивление. Теоретически можно выделить действительную и мнимую части, но зафиксировать их по отдельности, видимо невозможно. Основные свойства комплексных чисел легко обобщаются на случаи комплексных векторов и комплексных функций. Кроме того, комплексная плоскость позволяет применять, так называемые, конформные (подобные) отображения, упрощающие расчеты не только в электрических цепях, но и в задачах теплопроводности, гидродинамики и, даже, магнитных полях. Та же проблема реальности мнимых форм возникает при использовании, так называемого, интеграла Фурье в комплексном виде: в электрической цепи электродвижущую силу (эдс) можно с помощью интеграла Фурье рассматривать как сумму бесконечного числа синусоидальных колебаний. Анго приводит ряд примеров, когда комплексный интеграл Фурье следует рассматривать как физическую реальность. Его соображения применимы и к оптическим задачам, где имеется тесная связь между коэффициентом преломления и коэффициентом поглощения в виде соотношений, связывающих вещественную и мнимую части диэлектрической постоянной (дисперсионные соотношения). В последние годы дисперсионные соотношения стали широко использоваться при изучении взаимодействия элементарных частиц.
Это означает, что существует полная симметрия между временем и частотой. Данный факт играет большую роль в современной теории информации.
Я подробно остановился на книге Анго в связи с тем, что это единственная современная (известная мне) работа, где принципиально обсуждается вопрос о реальности мнимой компоненты в классических физических экспериментах. В математических книгах, посвященных функциям комплексного переменного, классические физические задачи рассматриваются только как примеры эффективного использования данного математического аппарата без обсуждения реальности мнимой составляющей теоретических расчетов.
Квантовая механика. Данная наука «родилась» из классической механики путем внедрения ряда постулатов [3]: 1) введение волной функции Ψ =a exp(????????⁄ℏ), где a – const , S – действие, ħ – постоянная Планка. То есть, уже в первом постулате появилась мнимая единица i. Волновая функция Ψ полностью определяет состояние физической системы; 2) введение волнового уравнения Шредингера iħ(????????⁄????????)=ĤΨ, где Ĥ – оператор Гамильтона. Это основное уравнение квантовой механики, которое определяет волновую функцию физической системы. Здесь опять мы видим мнимую единицу i .
В этом уравнении имеются чисто вещественные и чисто мнимые части. Приравнивая вещественные и мнимые части (пренебрегая слагаемым, содержащим ℏ2) по отдельности нулю (?), получают два уравнения:
Уравнение (1) интерпретируют, как предельный переход к классическому уравнению Гамильтона-Якоби для действия S. Уравнение (2), игнорируя мнимую единицу, интерпретируют, как уравнение неразрывности. Действительно, выражение в квадратных скобках можно преобразовать к уравнению неразрывности, но голословно отбрасывать i, стоящую перед квадратной скобкой в уравнении (2) – это традиционное пренебрежение физиками мнимой составляющей.
Теория относительности. Основным понятием данной теории, в инерциальной системе отсчета, является интервал: d????2= ????2d????2- d????2- d????2- d????2. Благодаря введению Минковским мнимого времени τ=ict, интервал приобрел более симметричный вид: -d????2=(d????2+d????2+d????2+ ????????2) и появилось фундаментальное представление о едином пространстве-времени. Таким образом, в теорию относительности внедрилась мнимая единица i. Если мы переходим в неинерциальную систему отсчета (теорию гравитации – ОТО), то d????2 уже не будет суммой квадратов дифференциалов четырех координат и интервал примет вид: -d????2=????????????d????????d????????, где ????????????-метрический тензор пространства-времени, ????1,????2,????3 - пространственные координаты ????0- временная координата. Так как уже нет смысла сохранять мнимое время, то переходят к реальному времени t.
Таким образом, теория относительности (как и квантовая механика) несет в себе мнимую компоненту. И это, по моему мнению, не формальный математический прием, а не понятый до сих пор, скрытый смысл сосуществования мнимого и действительного в нашем Мире.
3. Фракталы и реальность
В отличие от физики, в математике революции проходят спокойно и даже незаметно. Появление комплексных чисел большинством ученых (и физиков, и математиков) было воспринято, как естественный процесс расширения множества вещественных чисел (ассоциируемое с линией без ширины), до двумерного множества в плоскости комплексных чисел. Кроме «кучки диссидентов» типа Анго, никто не обратил внимание на скрытый физический смысл мнимой единицы.
То же самое можно сказать и о революционных изменениях в базовых понятиях математики второй половины ХIХ века. Все началось с открытия Вейерштрассом непрерывной, но нигде недифференцируемой функции
В сущности, эта функция уже была прообразом фрактала, но никто еще об этом не догадывался. Математическая мысль пошла в сторону введения новых понятий - дробной размерности и, соответственно, - дробной производной. «Фрактальная» функция Вейерштрасса, из-за ее «изрезанности» («шероховатости»), воспринималась как линия с шириной. В начале ХХ века Жулиа и Фату (1918 г.) открыли нелинейное итерационное отображение с комплексными аргументами:
Это уже был настоящий фрактал, но «разглядеть» его не представлялось возможным, в виду отсутствия технических средств. Такая возможность появилась с созданием компьютерных технологий.
Считается, что фракталы открыл Мандельброт в 1980 г.. Он впервые наблюдал на экране дисплея множество Жулиа. Эффект превзошел все ожидания – перед учеными наглядно открылся виртуальный мир комплексных чисел. Фрактальные картины с экрана дисплея быстро перекочевали в музейные залы искусствоведов – началась эпоха фрактальной геометрии.
Данное открытие было обусловлено тремя составляющими:
использование нелинейного итерационного отображения ????????+1→???????? 2+c (функция Жулиа);
использование в качестве аргументов данной функции комплексных чисел z=x+iy, c=a+ib;
использование современных компьютерных технологий, позволяющих задействовать достаточно длительный итерационный процесс и вывести его результат на экран дисплея.
В результате появились визуальные фрактальные картины с необычной графикой, где-то повторяющие аналогичные картины из окружающей нас Природы (живой и неживой). Итерационный процесс ????0→????1→????2→… за достаточно большой период времени и составляет предмет исследования фрактала.
Главные особенности фрактала:
если в отображении ????????+1→???????? 2+c зафиксировать параметр с и изменять z (от начальной точки ????0) в поле комплексных чисел, то мы получим множество Жулиа; а если зафиксировать точку ????0= 0 и менять параметр с , то получим множество Мандельброта;
одни фракталы статичны (очертания гор, извилистая линия морского берега и др.), другие непрерывно меняются (движущиеся облака, мерцающее пламя и др.), третьи – живые, они сохраняют структуру в процессе эволюции (деревья, сосудистые системы животных, человека и т.д.);
фрактальные объекты самоподобны – каждая точка объекта повторяет сам объект в меньшем масштабе до бесконечности
Компьютер, как главный «поставщик» фрактала, позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. Главным образом это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки. Многие ученые, и люди искусства, и обеспокоенные родители, воспринимают компьютер как дьявольский инструмент – все становятся его рабами. Можно было бы отдать красивые компьютерные «игрушки» для развлечения юных (и великовозрастных) дитятей. Но как быть с Природой? Кто (или что) породил аналогичные «игрушки» в нашем реальном мире? Списать это на случайность – просто нелепо, Признать существование некой Всевышней Силы – в принципе, можно (на всякий случай). Но мы прекрасно осознаем, что картины, и в дисплее, и в Природе – это порождение «игры» комплексных чисел. Можно интерпретировать алгоритмы и программы построения фракталов, как шифровальный код будущей развернутой информации: короткий алгоритм (4) и 4 строчки компьютерной программы – это сотни страниц текста с описанием представленной картины. В отличие от физики, здесь уже невозможно выбросить мнимую часть алгоритма – картина зависит от всего комплексного выражения. Как виртуальные (в компьютере), так и реальные фрактальные картины нашей Природы, получились благодаря некоему комплексному «Началу», пока не зафиксированному нашими несовершенными ощущениями и инструментами.
4. Модель мнимого вакуума
Современные теории элементарных частиц и космологии, используют скалярное поле, в качестве одного из основных своих понятий. За последнее время наибольшие успехи в данной области были достигнуты благодаря представлению плотности потенциальной энергии однокомпонентного, однородного скалярного поля φ в виде потенциала Хиггса:
Появление данного потенциала объясняется перестройкой исходного вакуумного состояния (спонтанное нарушение симметрии) с «приобретением» массы элементарными частицами. Дальнейшее развитие теории вакуума потребовало введения двухкомпонентного скалярного поля φ. В этой связи стали использовать его представление в комплексном виде: φ = ????1+ i ????2 .
Я предлагаю возможный вариант скалярного поля в виде суммы действительной и мнимой части фрактальной функции Вейерштрасса (3) с комплексным аргументом. Ниже рассмотрена простейшая модель появления мнимого поля в процессе фазовой перестройки космического вакуума в момент зарождении материи.
Ограничимся первым слагаемым ряда Вейерштрасса (3) и рассмотрим следующий вид потенциальной энергии двухкомпонентного скалярного поля φ (до момента фазовой перестройки вакуума и появления материи):
Перейдем к безразмерным величинам: v/u=α и φ*∙u=φ. Разложим cos z в ряд Маклорена (до трех первых слагаемых) и выделим действительную и мнимую части:
Предложенная модель позволяет получить традиционную форму действительного скалярного поля (то есть «не портит» существующей теории вакуума), предсказывает появление нового, мнимого поля, антиподного физическому и, следовательно, избавляет от необходимости привлечения в космологию гипотетических параллельных и зеркальных миров. Очевидно, что реальность мнимого поля может быть зафиксирована только в нефизическом эксперименте.
Параметр α = v / u играет в модели ключевую роль: равенство нулю космологической постоянной и численные значения величин ????1 , ????2 , ????1 и ????2 определяются «тонким взаимоотношением» между действительной (u) и мнимой (v) частями комплексного аргумента. Причем в каждом конкретном случае, это «взаимоотношение» будет разным и даже, возможно, непредсказуемым (в этом и заключается некое «сознание» мнимого вакуума).
Таким образом, «чисто математический» подход не исключает возможности существования мнимого поля, обладающего эволюционной (генетической) памятью, как порождение фрактальной функции Вейерштрасса.
5. Заключение
Завороженные красотой фрактальной геометрии, ученые по-прежнему упускают редкую возможность выйти за пределы тесных рамок материальных парадигм. Факты, собранные в данной работе (далеко не все), убедительно показывают, что наш Мир изначально двойственен. Эта двойственность постоянно проявляется в многочисленных природных явлениях. В физике: частица-волна, частицы-античастицы, и т.д. В биологии: двойная спираль ДНК, деление клеток надвое, двуполость организмов и т.д. Наконец, в математике: бинарность операций, бинарность комплексных чисел, бифуркации и т.д. Самый яркий пример двойственности (и в физике, и в биологии) - фракталы. Этот пример должен окончательно убедить ученых в реальности мнимого мира.
Комментарии (48)
nktkz
09.02.2022 14:01+1"ученые по-прежнему упускают редкую возможность выйти за пределы тесных рамок материальных парадигм" - что вы здесь имеете в виду?
Jury_78
09.02.2022 14:11Теоретически можно выделить действительную и мнимую части, но зафиксировать их по отдельности, видимо невозможно.
Если цепь состоит из чистой емкости или индуктивности?
VT100
09.02.2022 21:10"Измерить сдвиг фаз между током и напряжением не представляется возможным ввиду отсутсвия такового!"
Расходимся.
samsergey
09.02.2022 14:57+5Комплексные числа было бы разумно назвать "полными числами" или "замкнутыми", а мниную единицу -- "пополнением", "замыканием" или чем-то в этом духе. Это бы избавило от нас от ощущения их мнимости нереальности и прочих лишних сбивающих с толку эпитетов. Система комплексных чисел это минимальное алгебраически замкнутое поле с топологией, соответствующей нашей интуиции, способностям нашего пространственного воображения и рабочим моделям физического мира. Работая в полной и алгебраически замкнутой числовой системе, можно рассуждать обо всех операциях и функциях, сводимых к рядам, алгебраическим корням, применять все элементы мат. анализа и функционального анализа, дифференциальной и аналитической геометрии. В таком поле можно строить поля полиномов и линейные пространства, так, чтобы они образовывали полноценные алгебры с развитой спектральной теорией. Поэтому линейная алгебра начинает полноценно работать над полем С, а не над его урезанными подполями и подкольцами. Ии именно по этим причинам практически все фундаментальные уравнения и законы формулируются в C (даже те, где это не вырвжено явно, типа уравнений механики).
Нет разделения на реальные и мнимые числа, а есть алгебраически замкнутое числовое поле (просто числа) и его в чем-то "неполноценные" подмножества: целые, рациональные, различные пополнения рациональных, вещественные, гауссовы и т. п.
Kodim
09.02.2022 15:01Если комплексные числа - это числа на плоскости, то напрашивается продолжить аналогию и обсудить, можно ли иметь дело с числами в пространстве? Что по этому поводу математика думает? Если кроме мнимой единицы еще добавить единицу для определения числа в пространстве?
samsergey
09.02.2022 15:19+2Ещё одну добавить не выйдет, нарушатся законы числового поля. А если добавить к вещественным числам три новых элемента, то можно построить хорлшо изученное поле кватернионов (там правда, уже нарушается коммутативность умножения). Дальше опять ничего интересного до тех пор пока мы не добавим семь дополнительных элементов и не получим октонионы (это уже не поле, в них умножение уже неассоциативно). Наконец с пятнадцатью новыми единицами алгебру построить можно, но в ней появляются делители нуля и значит, нельзя сокращать уравнения. Так что комплексные числа -- самые классные!
Indemsys
09.02.2022 15:20Похоже это кватернионы. А если еще дальше, то матрица.
Кстати, сразу видна разница между комплексными числами и векторами.
Когда речь идет о двухкомпонентных объектах, то они похожи.
А когда количество компонент увеличивается, то вектор будет просто столбцом, а комплексное число станет матрицей.
Zenitchik
09.02.2022 16:15+1Дальше - октанионы. Главное различие с векторами и матрицами в том, что комплексные и гиперкомплексные числа - остаются числами. И для них определены все те же операции и функции, что и для чисел.
Я могу возвести кватернион в степень кватерниона и получить кватернион.
Для векторов и матриц такого не предусмотрено.
kostushka
09.02.2022 23:20+1Этот ряд можно продолжать бесконечно, есть такая процедура Кэли-Диксона - способ построения алгебр над полем чисел с удвоением размерности на каждом шаге, так получают кватернионы, октонионы, сидернионы и т.д. С каждым шагом алгебра теряет симметричность относительно операций, например, в алгебре кватернионов уже не работает коммутативность (перестановка слагаемых) a*b != b*a, в алгебре октонионов уже выключается ассоциативность a*(b*c) != a*(b*с), в алгебре сидернионов выключается еще более общее свойство - альтернативность a*(b*b) != (a*b)*b, плюс в алгебре сидернионов появляются нетривиальные делители нуля, есть ненулевые a b, которые a*b = 0
Так что с ростом размерности гиперкомплексной алгебры все уже область ее применения, поскольку теряются привычные отношения и появляется нетривиальные сущности (типа нетривиальных делителей нуля)
GospodinKolhoznik
09.02.2022 16:36+3А ещё лучше было бы назвать комплексные числа армейскими, ведь именно балгодаря им в военное время синус достигает значения 4. Тогда вещественные числа можно называть просто гражданскими или штатскими. А кватернионы, наверное вообще тогда бы назывались флотскими числами и были бы самыми престижными, со своими кватернионскими традициями и терминами!
Refridgerator
09.02.2022 17:23+1А ещё с помощью комплексных чисел можно легко и непринуждённо решать геометрические задачи, не зная ни одной теоремы из геометрии.
alnite
09.02.2022 17:27А можно примеры?
Refridgerator
09.02.2022 20:43Ну допустим, нам нужно найти точку пересечения двух отрезков ab и cd, а заодно найти отражение одного от другого.
То это можно сделать так
Veber
10.02.2022 05:11Пример на вольфраме конечно круто, но не все с ним работают. Проще понять пример на более распространенном способе записи (словами или в символах алгебры)
Refridgerator
10.02.2022 05:55+1Вольфрам использует те же символы алгебры, что и все остальные. "=" это равно, "+" это плюс, "-" это минус, "/" это деление. «Im[x]» — извлечение мнимой составляющей, «Conjugate[x]» — сопряженное число, «I» это мнимая единица. Знак умножения в Вольфраме можно не писать, как и при обычной математической записи. Справа от равно — формула, слева — переменная, в которую записывается результат вычисления. Фигурные скобки группируют объекты для однотипных операций.
Refridgerator
10.02.2022 11:49Вычисления можно подставить друг в друга, упростить, и получить результат в более привычном для математиков виде:
Но в таком случае уже не так очевидно, откуда эти формулы взялись.
alnite
10.02.2022 13:07Спасибо! (жаль, плюс поставить не могу).
Еще "более жаль", что вся эта математика забылась за годы "обычной жизни", и сейсас приходится напрягать мозги, чтобы помогать ребёнку-старшекласнику с домашкой, а уж что будет в институте...
Refridgerator
10.02.2022 05:42Или, например, задача вхождения точки в выпуклый многоугольник. Решается за одно деление и два сложения для каждой пары вершин (по аналогии с предыдущим примером).
DimPal
09.02.2022 17:55IMHO комплексные числа, на самом деле не числа (это ведь не скаляры), а вектора с "перезагруженной" операцией умножения. Мне до сих пор странно как много-компонентные величины можно так легко называть числами, ведь квадратнрого корня из скаляра -1 на самом деле не существует. То что в комплексной математике внешний вид сакляра и комплексной величины выглядят внешне одинаково - скорее своеобразный "конфликт преобразования типов".
samsergey
09.02.2022 20:03+1Это и так и не совсем так.
Действительно, комплексные числа образуют линейное (векторное) пространство над полем вещественных чисел. Но так как это пространство само образует поле (с известной операцией умножения), с ним можно работать точно так же, как с числами (конфликта типов тут нет, класс реализует оба интерфейса). Таким же образом можно расширить поле рациональных чисел каким-нибудь иррациональным корнем (скажем,
) и построить двумерное линейное пространство чисел 
. Вы, думаю, точно согласитесь, что это числа. Хотя в исходном поле рациональных чисел 
нет корня из 2, то есть нет решения уравнения 
. Так можно расширять любые поля, корнями уравнений, не решаемых в исходном поле, получая новые числовые системы, имеющие вид линейных пространств. Поле комплексных чисел точно также дополняет поле 
решением уравнения 
, так что это полноценная числовая система с числами, которые можно использовать в качестве скаляров в конечномерных линейных пространствах, строимых на их основе. Но эти пространства уже не будут образовывать полей (бесконечномерные -- могут, например, поле многочленов ![\mathbb{C}[x]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/91c/a7a/631/91ca7a63104db867bc19891704bb82c0.svg)
).DimPal
10.02.2022 11:32Ну по такой логике и вектор можно назвать "числом". Получается неявное преобразование типов (лично мне, больше нравиться строгая типизация).
samsergey
10.02.2022 12:03Вектор нельзя назвать "числом". Вернее можно, но от этого числом он не станет.
Переходя на язык типов, можно сказать, что полноценные числа должны реализовывать методы для интерфейса (или класса типов) Поле, причём, не просто реализовывать, а выполнять очень чётко определённые контракты. А именно: для операции сложения должна быть реализация интерфейса АбелеваГруппа (со своими контрактами -- замкнутость, ассоциативность, коммутативность, наличие нейтрального и обратного элементов), для умножения -- интерфейса Группа (с контрактами замкнутость, ассоциативность, наличие нейтрального и обратного элементов). Кроме этого, сам интерфейс Поле налагает дополнительные законы (дистрибутивность умножения, поглощающие свойства нуля, отсутствие делителей нуля). Для типа Real × Real, то есть, двумерного вещественнозначного вектора можно определить все эти интерфейсы и контракты единственным способом -- получается тип КомплексноеЧисло. И для четырехмерных можно, получатся Кватернион. Можно и для бесконечномерных -- это полиморфные типы Полином<F> и ФормальныйСтепеннойРяд<F>, где F -- тип, реализующий интерфейс Поле. Существуют и другие полезные параметризованные типы высшего порядка, например Раcширение<F>. Они тоже строятся по принципам линейных пространств, но при этом на элементы расширений накладываются свои контракты.
Но в общем случае, для векторов (элементов произвольных линейных пространств) сразу все контракты всех интерфейсов выполнить не получится. У них всё хорошо по части АбелеваГруппа по сложению, но увы, они не образуют Группу по умножению. Можно определить несколько видов умножений (скалярное, векторное, смешанное, тройное), но ни одно из них не даёт корректного обратного элемента и не согласуется с абелевой группой по сложению (хотя бы, так:
, где 2 -- это не скаляр, а тоже вектор). Так что нет, тип Вектор можно назвать числом только в особых случаях.DimPal
10.02.2022 12:21Ну и чему равен квадратный корень из минус единицы?
samsergey
10.02.2022 13:04+1В каком поле?
В рациональных и действительных -- его не существует. В поле вычетов по модулю пять
(это простая аглебра на остатках от деления чисел на 5) он равен 2, в поле 5-адических чисел -- 
. У меня встречный вопрос, а чему равен корень из 2? В поле рациональных чисел этого значения не существует, и в поле комплексных рациональных его нет. Зато его можно вычислить в поле вычетов по модулю 7 и в 7-адических числах. Ну, и в вещественных, конечно, тоже.
Не все поля одинаково "мощны" в смысле возможности решить любое алгебраическое уравнение. с коэффициентами из этого поля. Самое мощное в этом смысле -- поле комплексных чисел, все остальные в чём-то ущербнее.
DimPal
10.02.2022 14:38+1Подвох вопроса был в том что для вещественного типа аргумента "-1" ответа не существует, а если сказать что входной аргумент комплексное число ответ существует (и вы его знаете). Так вот, меня смущает визуальная одинаковость записи при разных типах входных аргументов.
samsergey
10.02.2022 16:27В плане обозначений, соглашусь, это неоднозначно. Но в математике обратные по сложению числа принято обозначать именно так. Даже в модулярных арифметиках можно написать -1 и иметь в виду совершенно разные "реальные" значения. Например -1 = 4 в
поэтому всё честно, 
. Даже во множестве цифр 
есть корень из 
, поскольку 
.DimPal
10.02.2022 17:03Да я и не спорил, просто хотелесь бы от точной науки больше однозначности и меньше гуманитарной поэзии вроде "вещественная часть" и "мнимая часть". Если, например, в кватернионах мнимых частей много, стоило ли вообще вводить такое определение?
samsergey
10.02.2022 19:14В этой точной науке огромное количество терминологических несоответствий, вызванных исключительно историческими причинами или мотивами тридиций :) Команда Бурбаки старалась навести порядок, но вышло так сложно и занудно, что это скорее отпугивает, чем привлекает. Вон, например, словом "модуль" называют абсолютное значение числа, порядок модулярной арифметики и линейное пространство над кольцами.
odisseylm
10.02.2022 14:50Спасибо! Круто! (это вместо +, т.к. избранным имеющим право ставить +/- не являюсь)
kostushka
09.02.2022 18:39+1Наблюдательные данные и экспериментальные результаты «объясняются» только с помощью вещественной части комплексного выражения, полученного из теоретического расчета. Мнимую часть отбрасывают, как не реальную (не наблюдаемую).
Наблюдаемым является модуль волной функции*, это амплитуда вероятности, а не только вещественная часть, физическая же картина не должна меняться при изменении фазы волновой функции, но фишка в том, что потенциалы физических полей влияют именно на фазу ... отсюда возникает в частности фундаментальный принцип калибровочной инвариантности
обратите внимание, что все наблюдаемые физические величины (амплитуда вероятности, квантовомеханический ток и т.д.) строятся из билинейных комбинаций волновой функции и ее сопряжения (инверсия фазы)
IIIarp
09.02.2022 22:50Хорошая статья!
Работал в проекте с вычленением нот из аудиопоследовательности, там довольно фактический и правильный результат выходит.
А всего то нужно взять "обратное преобразование Фурье", которое построено с теми самыми комплексными числами, найти последовательность точек из реальных/мнимых результатов на нужном участке аудио, получить среднее арфиметическое, построить график средних арифметических на определённом участке (более широком), найти пики и получить реальные "ведущие и ведомые" частоты нот в текущем моменте аудиофайла основываясь на пиках используя "нереальные" числа :)
Хорошо работает для определения нескольких нот, которые играют одновременно.
Для одиночных нот делают куда проще (как в муз тюнерах для телефона)
Там комплексные числа не участвуют.
Но само преобразование Фурье как прямое так и обратное, не только в музыке применяется.
phenik
10.02.2022 07:37Факты, собранные в данной работе (далеко не все), убедительно показывают, что наш Мир изначально двойственен. Эта двойственность постоянно проявляется в многочисленных природных явлениях. В физике: частица-волна, частицы-античастицы, и т.д. В биологии: двойная спираль ДНК, деление клеток надвое, двуполость организмов и т.д. Наконец, в математике: бинарность операций, бинарность комплексных чисел, бифуркации и т.д. Самый яркий пример двойственности (и в физике, и в биологии) — фракталы. Этот пример должен окончательно убедить ученых в реальности мнимого мира.
У всех этих фактов вполне естественные объяснения) Нет оснований сваливать их в кучу, и делать выводы о неком мнимом мире.
Любые физические явления можно описать только с помощью вещественных чисел, вот здесь обсуждается этот вопрос для КМ, и большинство ответов состоит в том, что можно обойтись без комплексных. Но это очень неудобно и накладно для расчетов! ВФ не является физическим объектом, это элемент описания, см. ПРИЛОЖЕНИЕ B по этой ссылке.
Дуализм волны-частицы не имеет отношение к мнимости, это следствие принципа дополнительности описания выдвинутого Бором. Это принцип действует не только для КМ, но и объединяет пространство и время в единый континуум в рамках ТО.
Предсказание существования античастиц следствие симметрий в решении уравнений КТП. Существую истинно нейтральные частицы.
Двойная спираль в ДНК. Какое отношение это имеет к мнимости? Она связана с клеточным делением, и передачей генетической информации потомкам.
Деление клеток надвое связано с предыдущим — двойной спиралью ДНК.
Двухполость — специализация организмов, женский организм не мнимый) хотя мнительность им присуща)
Остальные примеры из математики. Здесь может быть все! В зависимости от фантазии автора, конструктивности и непротиворечивости построения. Если конечно он это докажет. И желательно не 5 тыс. страницах текста)
michael_v89
10.02.2022 20:42и большинство ответов состоит в том, что можно обойтись без комплексных
А зачем? Давайте назовем их не комплексными из "реальной" и "мнимой" части, а специальными из двух компонентов A и B. Зачем нам отказываться от специальных чисел из 2 компонентов, которые хорошо описывают определенные процессы?
Но это очень неудобно и накладно для расчетов
Так может быть эти дополнительные неудобные расчеты потому и появились, что мы используем не те числа, которые надо использовать? Однокомпонентные, а не двух.
phenik
12.02.2022 06:22Зачем нам отказываться от специальных чисел из 2 компонентов, которые хорошо описывают определенные процессы?
Совершенно не зачем! Это обобщение операций с вещественными числами (переменными) на плоскость, кватернионы на 3-х или 4-мерные пространства, причем любые абстрактные, как в КМ, а не только в евклидовом. В этом и состоит специфика, кот. дает им преимущество в описании процессов в сравнении с вещественными числами, а не описание некой мнимой части мира, как это представляет себе автор статьи. Есть еще интересное обобщение, находящее применение во многих областях физики. Как и любое обобщение это фактически сжатие описания, в данном случае носящего формализованный характер, с последствиями в синтаксисе языка описания (метода описания).
Пример изложенного. Можно описать волны на воде в виде большого числа переменных, каждая из кот. описывает амплитуду волны в данной точке, в общем случае для каждой молекулы. И работать с этим массивом переменных) А можно перейти в плоскость (или пространство) и описывать этот процесс с помощью синусоидальной функции, т.е. произвести обобщение. На лицо сжатие описания, возможно с потерей некоторой точности в конкретном случае. А можно перейти в комплексную плоскость и сразу получить готовый аппарат для работы с колебательными процессами. Здесь нет никакой мнимости, или чего-то подобного, процесс колебания молекул воды один и тот же, но эффективность его описания резко возрастает. Происходит интеграция наших знаний, методов описания, и в будущем описание волновых процессов может еще более упроститься.michael_v89
12.02.2022 09:20Ну вот моя точка зрения в том, а почему собственно эффективность описания возрастает? Может быть такая модель более точно представляет то, что фактически происходит во Вселенной ("на низком уровне"). Значит есть реально существующие взаимодействия, которые переводят характеристику, которую мы откладываем по вещественной оси, в характеристику, которую мы откладываем по мнимой.
michael_v89
10.02.2022 20:40+1это единственная современная (известная мне) работа, где принципиально обсуждается вопрос о реальности мнимой компоненты в классических физических экспериментах
На самом деле прийти к такому выводу довольно просто. Раз процессы происходят в реальности, значит они каким-то образом реализованы, независимо от нашей математики, то есть во Вселенной есть какие-то элементарные взаимодействия, которые дают такой результат. И если математическая формула правильно описывает поведение процесса, то и ее компоненты соответствуют каким-то реально существующим компонентам реального процесса. Они могут быть общим результатом других взаимодействий (как например температура), но они все равно есть в каком-то виде.
Это конечно не доказательство, но достаточная причина считать это вероятным.А вот другое дело, что комплексные числа связаны с вращениями, умножение на i это поворот на 90°, и поэтому ими можно описать процессы, связанные с вращениями и колебаниями. Это не значит, что мнимая часть обязательно должна быть связана с какими-то дополнительными измерениями пространства. Но это значит, что в реальности обе эти величины связаны некоторыми физическими законами и могут переходить одна в другую. Так же как точку на вещественной прямой умножением на i в некоторой степени можно повернуть относительно 0 в комплексную область.
Refridgerator
11.02.2022 05:59+1Мнимой единицы не существует и не может существовать в реальности, потому что это не более чем математическая абстракция, которую можно привязать к чему угодно. К тому же эта абстракция имеет свои ограничения и не покрывает как всех возможных вычислительных задач, так и всех наблюдаемых физических эффектов. Потому, помимо комплексных, уже давно придуманы двойные и дуальные числа (тоже двух-компонентные с мнимой единицей и с непротиворечивой алгеброй), а не только кватернионы с тензорами.
Дифференциальные уравнения описывают колебательные процессы в реальном мире намного более полно и точно и без каких-либо мистических проявлений. Вот только решать такие уравнения довольно сложновато, поэтому и используют часто упрощённую модель на линейных периодических колебаниях.michael_v89
11.02.2022 08:10Я и не говорил, что она существует сама по себе, и про мистические проявления тоже. Если 2 реальные величины связаны закономерностью, которая выражается через комплексные числа, значит существует реальный физический закон, который каким-то образом в реальном пространстве переводит одну величину в другую, при том таким образом, который аналогичен умножению абстрактного вещественного числа на i. Иначе у нас бы просто расчеты не сходились с наблюдаемым поведением этих величин. А у 2 других величин есть другой физический закон, который тоже переводит одну в другую. Это не одно и то же мистическое проявление i, это разные физические законы, просто оба они связаны с преобразованием и вращением.
Во Вселенной нет какого-то суперкомпьютера, который решает или строит дифференциальные уравнения. В ней есть реальные напряженности полей в реальном пространстве, которые накладываются друг на друга (интегрируются, интеграл это сумма элементарных частей). Никакой суммой вещественных чисел нельзя получить поведение, аналогичное поведению комплексных чисел. Значит, если зависимость между полями выражается комплексными числами, то и в реальности между ними есть взаимодействие, аналогичное поведению комплексных чисел. И так же можно сказать, что если поля связаны через тригонометрические функции, то и в реальности между ними есть взаимодействие, аналогичное поведению тригонометрических функций. Потому что поведение тригонометрических функций можно выразить через комплексные числа и наоборот.
Refridgerator
12.02.2022 09:37В распространении электромагнитной или акустической волны нет никаких вращений. Там есть колебательные процессы, которые физически описываются дифференциальным уравнением, связывающим положение точки пространства (или давлением в ней, или другой физической характеристикой) с её ускорением (в простейшем случае — просто сложением, y(x)+y''(x)=0). И если ограничить такое распространение вдоль одного измерения (скажем, электрический проводник минимальной толщины), то наблюдаемые величины во времени можно аппроксимировать синусоидой или их суммой. А синусоиду, в свою очередь, можно представить как только действительную (или только мнимую) часть комплекснозначной функции, что позволяет оперировать не мгновенным значением физической величины в момент времени, а амплитудой и фазой, то есть моделировать периодические процессы непериодическими функциями. А это, в свою очередь, позволяет предсказывать результат такого процесса в произвольный момент времени для различных входных параметров. В то время как дифференциальное уравнение само по себе предсказательным свойством не обладает — оно просто описывает, что происходит здесь и сейчас.
michael_v89
12.02.2022 11:12Колебания это частный случай вращения. Движение по эллипсу с одним радиусом 0. Или проекция движения по эллипсу с ненулевыми радиусами на одну ось.
Я говорю не о том, что мы можем аппроксимировать и предсказывать, а о том, как фактически в реальности изменяются конкретные поля, и почему они изменяются именно так.
Refridgerator
12.02.2022 11:29Ну вот например колебательный процесс можно задать рекуррентной функцией
f(x)=(f(x-1)+1)%10
И где здесь вращение?
Geratron
10.02.2022 22:30-1Напустили математики туману с "мнимыми" числами. Можно было просто обозвать числа n - размерными, где n - от 1 до бесконечности.
iggr63
11.02.2022 07:14В спектроскопии есть такое известное отношение Крамерса-Кронига которое связывает реальные и мнимые части магнитной восприимчивости например. И да если в формуле стоит
не надо еще и 
добавлять. Прям корежит от такой записи.
Tzimie
11.02.2022 09:53Спасибо. Я бы ещё упомянул wick rotation и магическую связь уравнений, та же квантовая физика
volchenkodmitriy
Спасибо за статью! Скажу по тому разделу физики, который мне наиболее понятен. Закон Ома в общем его виде для цепей переменного тока это просто векторный закон. И что-то мне подсказывает что комплексное представление числа и вектор это близнецы-братья. А вектор это самое наибазовейшее понятие уже в физике.
starfair
Разве что двухмерные вектора, да и то с некоторой натяжкой. Всё таки, комплексная переменная при кажущейся схожести с двухмерными векторами, имеет свои особености (векторная алгебра в своих операциях над векторами, даст несколько иные значения нежели операции над комплексными числами)
volchenkodmitriy
Согласен - двухмерный вектор это частный случай комплексного представления. Но зато он интуитивно понятнее простому человеку)