07.03.2023 10:56
alexlyk314 15 4900 Источник

Факториал натурального числа n определяется так: n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n. Например, 2!=2,\ 5!=120,\ 10!=3628800, 100! - число со 157 цифрами. n! равно числу способов переставить n элементов между собой. Для оценки n!используют формулу Стирлинга:

n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}e\right)^n.

Обратим внимание, что эта формула содержит числа \pi и e и возникла из очень простой модели с перестановками.

Посмотрим, как она работает, на примерах


Возьмём среднее арифметическое A_n первых n натуральных чисел. Легко видеть (геометрически и алгебраически), что A_n \sim n/2, середина отрезка натурального ряда 1,2,\ldots,n. Как ведёт себя среднее геометрическое G_n первых n натуральных чисел? С помощью формулы Стирлинга легко установить:

G_n \sim \frac{n}{e}.

Что довольно намного меньше A_n. Попробуйте понять как ведёт себя среднее гармоническое первых n натуральных чисел. Кстати, среднее геометрическое произведения случайных чисел, выбранных независимо и равномерно на отрезке [0,1],также стремится к числу 1/e с ростом числа множителей.

Рассмотрим следующую вероятностную задачу. Пусть у нас есть 2n симметричных монет. Подкинем их все. С какой вероятностью p_n орлов выпадет столько же, сколько и решек?
Эта вероятность равна \displaystyle \frac{(2n)!}{n!\cdot n!\cdot 2^{2n}}. При больших n можно применить формулу Стирлинга и получить

p_n\sim \frac1{\sqrt{\pi n}}.

Это значит, что такая вероятность при броске 40 монет будет примерно вдвое меньше, чем при броске 10 монет.

Также это даёт нам способ вычислить число \pi в домашних условиях (если у вас есть достаточно большое количество монет): возьмём 100 монет и повторим наш эксперимент 10000 раз. Посчитаем, в скольких экспериментах орлов выпало столько же, сколько и решек.
Пусть это число равно A.
Тогда из сказанного выше вытекает:

\frac{1000}{A}\approx \sqrt{\pi}.

Остаётся вопрос о точности такого приближения. Но это совсем другая история, связанная с центральной предельной теоремой.

Пишите в комментариях какие вы знаете применения формулы Стирлинга.

Авторы:

  • Лыков Александр, научный сотрудник мехмата МГУ, академический руководитель ШАД Хелпера

  • Михаил Михеенко, студент пятого курса мехмата МГУ, куратор ШАД Хелпера.

Комментарии (15)


  1. OBIEESupport
    00.00.0000 00:00
    #25300742
    +2

    Уважаемый автор! С одной стороны - все предельно просто, с другой - из этого построен весь материал ШАД. Может быть, глянете мои вариации на эту же тему?


  1. Fodin
    00.00.0000 00:00
    #25300964
    +21

    Эта, вроде, тоже неплохо соединяет.
    Эта, вроде, тоже неплохо соединяет.


    1. alexlyk314 Автор
      00.00.0000 00:00
      #25303982
      +1

      Прекрасная формула Эйлера заслуживает отдельной статьи


      1. runaway
        00.00.0000 00:00
        #25304316
        +1

        Формула Эйлера соединяет в себе:

        • арифметику (1);

        • алгебру (e);

        • геометрию (pi);

        • матан (i).

        Это самая красивая формула математики.


        1. ftpgg
          00.00.0000 00:00
          #25319362
          +1

          Не, всё-таки очень странно вы их обозвали

          Этот частный случай формулы Эйлера exp(iφ) = cosφ + isin(φ), объединяющий 5 фундаментальных математических констант. Разделение на алгебру, геометрию, арифметику и откуда-то взявшийся математический анализ не особо уместно, как минимум из-за вездесущности их друг у друга)


        1. Refridgerator
          00.00.0000 00:00
          #25322618

          * Это самая красивая формула для тех, кто не понимает её смысла. Потому что (сюрприз) при её вычислении ни е, ни пи не используются. е здесь — это показательная функция, а не константа, и если сменить её основание на менее пафосное и более пригодное для практических вычислений, например -1, то тождество примет вид , ну то есть 1-1=0, тоже мне магия. Заодно понятно надеюсь, как в одной формуле объединить произвольное количество констант и придать им немного магии, например:


          \frac{\cos \left(4 \arccos(2)\right)-1}{\cos \left(2 \arccos(4)\right)+1}=3
          пояснение

          Шутка о том, что в военное время значение синуса может достигать четырех никакая не шутка.


  1. belch84
    00.00.0000 00:00
    #25301090
    +7

    Есть еще такая формула, связывающая e и pi:

    image
    , открытая Рамануджаном (здесь сумма ряда и цепной дроби)


    1. codecity
      00.00.0000 00:00
      #25301256
      +5

      Не открытая а данная ему в дар богиней Намагири Тхайяр. Если человек так говорил - почему мы должны ему не верить?


      1. belch84
        00.00.0000 00:00
        #25301352
        -2

        Какая разница, как он получил формулу? Да, богиня во сне подсказала, но доказательство же он сам выполнил


        1. codecity
          00.00.0000 00:00
          #25301468
          +1

          Вроде никаких доказательств он не выполнял, по крайней мере для большинства выводимых им замечательных формул.


          1. belch84
            00.00.0000 00:00
            #25301536
            +2

            Мне трудно спорить, но, вроде бы, в этом случае доказательство было, для выяснения нужно заглянуть в Journal of the Indian Mathematical Society, vol.VIII, January, 1916, стр.17-20, такой возможности у меня нет.

            Информация взята из http://www.ega-math.narod.ru/Rama/Rama1.htm


        1. Refridgerator
          00.00.0000 00:00
          #25322642

          Такие тождества не получаются через божественное явления, а мышление в фоновом режиме во время сна вполне нормальное явление. Такие тождества делаются по одному и тому же методу:


          1) сначала берётся функция, которая с определённым аргументом даёт нужное значение;
          2) затем эта функция раскладывается в ряды, дроби, другие функции т.д.;
          3) затем меняем аргумент на конкретное число, меняем местами причину и следствие и вуаля — магия готова.


    1. belch84
      00.00.0000 00:00
      #25333548

      Не смог удержаться и построил график, на котором сравниваются частичные суммы ряда, сложенные с соответствующими приближенными значениями цепной дроби, и константа из формулы


      Иллюстрация к формуле Рамануджана

      Зеленый график-частичные суммы ряда, голубой-последовательные приближения для цепной дроби, красный-их сумма, желтый — константа из формулы


      image


      Здесь взято 15 членов ряда, видно, что сходимость довольно быстрая


      1. Refridgerator
        00.00.0000 00:00
        #25335404

        Ряд слева кстати не просто ряд, а разложение Энгеля.


  1. yurixi
    00.00.0000 00:00
    #25304902
    +4

    Статья на два абзаца. В первом рассказывают что такое факториал и говорят о том что Стирлинг — клёвый мужик, умеет подсказывать значения факториала, пускай и не точно. Тут же идёт удивление, что среди его подсказок неизвестно почему встречается число пи и е. Ну прикольно же? Стоит сменить название на «как я однажды удивился формуле стрилинга». И содержание надо было оставить три слова «сразу как увидел».

    А, там же ещё второй абзац. С помощью монеток обнаруживается, что в четыре раза больше бросков в два раза меньше вероятность серединного результата и что число пи ну точно есть в этой формуле. Заканчивается упоминанием теоремы о которой рассказывать никто не собирался и туповатой фразой «ну а это другая история», как будто рассказана история и много таких историй ожидается и потом. А можно не надо? Рассказано ничего не было, просто пара рассуждений из ниоткуда в никуда. Впечатление — что вы сами не знаете о чём говорите. Ещё тупее — это просьба в комментариях на хабре писать применение формулы Стирлинга.

    Зачем вы это опубликовали, признайтесь честно, вам угрожали? Мне за вас стыдно. У вас ещё и авторов два. Это что — с каждого по абзацу что ли? Или один другого заставил? Или это стенограмма скайп-конференции? А кто эти люди, которые это плюсуют? Школьники?

    Вот я пишу статью по схожей теме, оттачиваю порядок рассуждений, беспокоюсь, чтобы всё что нужно знать в статье и упоминалось, и переживаю, что получилось слишком много текста. А тут, оказывается, напиши два абзаца комментариев в сторону и готова статья. Кроме того что это само по себе ни о чём, это сбивает уровень. Это вот такое дно теперь будет считаться новой нормой?

    Я может, предвзятый, вплоть до того что каждого кто любуется формулой эйлера записываю в гуманитарии, тех кто вычисляет число пи с помощью монеток и иголок — сразу в идиоты, но… то как надо писать статьи — вот где для вас «а это совсем другая история, которую я не читал».