Приветствую Вас! Сегодня хочу рассказать о геометрическом объекте, который похож на бумажный фонарик, но на самом деле является очень интересным контрпримером в области нахождения площади многогранников. Итак, поехали!

Парадокс лестницы

Архимед приближенно определял длину окружности с помощью длин сторон вписанных и описанных правильных многоугольников. В общем смысле, длину любой кривой можно выразить как наибольшее значение длин вписанных ломаных. Однако для корректной работы этого метода вершины ломаных должны находиться на самой кривой, а не просто рядом с ней.

В противоположном случае, как показано в так называемом "парадоксе лестницы", ломаные состоящие из вертикальных и горизонтальных отрезков общей длиной 2, могут быть расположены настолько близко к диагональному отрезку длиной √2, что они будут "визуально" сходиться к диагонали, но будут иметь разную длину.

Сапог Шварца приводит аналогичный контрпример для площади поверхности, демонстрируя, что для точного приближения площади требуется еще больше, чем просто условие, что вершины лежат на искомой поверхности.

В конце XIX века немецкий математик Герман Шварц (1843-1921) разработал свою собственную конструкцию, которая послужила контрпримером к ошибочному определению, представленному в книге 1868 года Ж. А. Серре "Курс дифференциального исчисления и интеграла". В этой книге утверждалось, что:

Пусть часть криволинейной поверхности ограничена контуром C; мы определим площадь этой поверхности как предел, к которому S стремится площадь вписанной многогранной поверхности, образованной из треугольных граней и ограниченной многоугольным контуром Γ пределом которого является контур C. Необходимо показать, что предел S существует и что он не зависит от закона, согласно которому грани вписанной многогранной поверхности сжимаются.

Конструкция сапога Шварца

Шварц разработал метод приближения поверхностей с помощью антипризм. Первый параметр антипризмы, обозначим его как "m", представляет собой количество кругов, второй параметр, обозначим его как "n", представляет половину числа треугольников в каждом кольце этой структуры. Для случая с одним кольцом (m=1) результирующая поверхность формируется из треугольных граней, составляющих антипризму порядка n.

При более высоких значениях m, сапог Шварца формируется путем компоновки m таких антипризм.

Для построения сапога Шварца, который приближает заданный правильный круговой цилиндр, цилиндр разрезается на m блинов. Эти блины имеют m+1 круглых границ - две на концах цилиндра и еще одну на месте разреза. В каждом блине распределены n вершин, образуя правильный n-угольник (понятно, что количество этих углов можно увеличивать, стремясь ко сходству с окружностью).

Эти многоугольники повернуты на угол π/n от одной окружности к следующей, так что ребра правильных многоугольников и ближайшие вершины на следующем блине образуют основание и вершину равнобедренного треугольника. Эти треугольники пересекаются от края до края, образуя многогранную поверхность сапога Шварца, которая топологически эквивалентна цилиндру.

Сапог Шварца можно склеить из плоского листа бумаги с нанесенными на него гранями треугольников. Такой рисунок складок называется рисунком Йошимуры:

Если вывести формулу площади поверхности сапога Шварца, то получится следующее выражение:

Парадокс

Если вычислить последовательно пределы, очевидно получится отличное приближение к площади поверхности цилиндра:

В этом случае внутренний предел уже сходится к нужному значению, а внешний предел является избыточным (иначе говоря, не важно, на сколько блинов будет разрезан цилиндр, вся апроксимация произойдет за счет большого числа треугольников).

В данном случае, при заданном значении n, с увеличением m и уменьшением длины каждой цилиндрической полосы l/m, каждая из соответствующих полос из равнобедренных треугольников становится практически плоской. Площадь поверхности каждого блина стремится к конечному числу, а так как во втором пределе мы неограниченно увеличиваем количество блинов, то общая площадь поверхности стремится к бесконечности.

Также можно установить функциональную связь между параметрами "m" и "n" и исследовать предел при одновременном увеличении обоих параметров с сохранением этой связи.

Различные варианты такой связи могут привести к двум возможным сценариям: сходимости в определенной области или расходимости до бесконечности. Например, если выбрать m = cn (где c - произвольная константа) и рассматривать предел для больших значений n, то произойдет сходимость в определенной области. В то время как установка m = cn³ приведет к расходимости. Третий тип ограниченного поведения достигается при m = cn². Для данного выбора параметров, получим формулу:

Играя значением c, можно получить любое значение площади поверхности. Показанное выше также подчеркивает важность тщательного выбора способа разбиения на треугольники для использования в компьютерной графике и методе конечных элементов, применяемом в научном и инженерном моделировании. В области компьютерной графики сцены часто представляются в виде треугольных поверхностей, и правильное отображение освещения зависит от ориентации нормалей к поверхности.

Все объемные выкладки - в одной статье.

Неправильный выбор способа разбиения на треугольники, подобно тому, как это происходит в случае с сапогом Шварца, может привести к образованию поверхности, наподобие складной гармошки, с нормалями, которые далеки от нормалей исходной поверхности. Близко расположенные резкие изгибы на этой поверхности также могут вызвать проблемы при сглаживании.

Проблемы возникают, когда в разбиение включены треугольники с углами, близкими к 180 градусам. В некоторых классах сапогов Шварца, которые используют углы ограниченные 180 градусами, площадь сходится к той же площади, что и у цилиндра, по мере увеличения числа треугольников до бесконечности.

Метод конечных элементов, в своей базовой форме, приближает гладкую функцию (часто представляющую решение задачи физического моделирования в науке или инженерии) путем замены её кусочно-линейной функцией на триангуляции. Пример с сапогом Шварца демонстрирует, что даже для простых функций, таких как высота цилиндра над плоскостью, проходящей через его ось, и даже если значения функции точно известны в вершинах триангуляции, использование триангуляции с углами, близкими к 180 градусам, может привести к значительно неточным результатам моделирования.

• Больше математики в Telegram - "Математика не для всех".