Все знают, что арифметика верна: 2 + 2 = 4.
Но, как ни странно, мы не знаем, почему это так.
Выйдя за рамки привычных представлений о числах, мы с коллегами недавно показали, что арифметика имеет биологические корни и является естественным следствием того, как организовано восприятие окружающего мира.
Наши результаты объясняют, почему арифметика истинна, и позволяют предположить, что математика — это реализация в символах фундаментальной природы и творческого потенциала разума.
Таким образом, чудесное соответствие между математикой и физической реальностью, вызывающее удивление со времён древних греков и до наших дней, — как это показано в книге астрофизика Марио Ливио «Математик ли бог?» — позволяет предположить, что разум и мир являются частью единого целого.
Почему арифметика универсальна?
Человек создаёт символы для чисел уже более 5500 лет. Известно более 100 различных систем обозначений, которые использовались разными цивилизациями, включая вавилонскую, египетскую, этрусскую, майя и кхмерскую.
В разных культурах сложились свои символы для обозначения чисел, но все они используют сложение и умножение.
Примечательно, что, несмотря на огромное разнообразие символов и культур, все они основаны на сложении и умножении. Например, в привычных нам индусско-арабских цифрах: 1 434 = (1 х 1000) + (4 х 100) + (3 х 10) + (4 х 1).
Почему люди изобретают одну и ту же арифметику снова и снова? Может быть, арифметика — это универсальная истина, которая ждёт своего открытия?
Чтобы разгадать эту тайну, нужно спросить, почему сложение и умножение — это её фундаментальные операции. Недавно мы задали себе этот вопрос и обнаружили, что ни в философии, ни в математике, ни в когнитивных науках нет удовлетворительного ответа, такого, который отвечал бы строгим научным стандартам.
Тот факт, что мы не знаем, почему арифметика истинна, представляет собой критический пробел в наших знаниях. Арифметика является основой высшей математики, которая необходима для науки.
Рассмотрим мысленный эксперимент. Физики будущего достигли цели: создали «Теорию всего» или вывели «уравнение Бога». Даже если бы такая теория смогла правильно предсказать все физические явления во Вселенной, она не смогла бы объяснить, откуда взялась сама арифметика и почему она универсально верна.
Ответы на эти вопросы необходимы для полного понимания роли математики в науке.
Пчёлы дают подсказку
Мы предложили новый подход, основанный на предположении, что арифметика имеет биологическое происхождение.
Многие нечеловеческие виды, включая насекомых, демонстрируют способность к пространственной навигации, которая, по-видимому, требует эквивалента алгебраических вычислений. Например, пчёлы могут отправиться в путь в поисках нектара, но затем вернуться по наиболее прямому маршруту, как будто они могут рассчитать направление и расстояние до дома.
Пчёлы могут интегрировать зигзагообразную траекторию полёта, чтобы вычислить наиболее прямой маршрут возвращения в улей.
Каким образом их миниатюрный мозг (около 960 тыс. нейронов) справляется с этой задачей, неизвестно. Возможно, эти вычисления являются несимволическими предшественниками сложения и умножения, отточенными естественным отбором как оптимальное решение для навигации.
Возможно, арифметика основана на биологии и имеет какие-то особенности, обусловленные тонкой настройкой эволюции.
Выход за рамки
Для более глубокого изучения арифметики нам необходимо выйти за рамки привычного, конкретного понимания и мыслить более общими и абстрактными категориями. Арифметика состоит из набора элементов и операций, которые объединяют два элемента для получения другого элемента.
Почему во вселенной возможностей элементы представлены в виде чисел, а операции — в виде сложения и умножения? Это метаматематический вопрос о самой математике, который может быть решён с помощью математических методов.
В нашем исследовании мы доказали, что четырёх предположений — монотонности, выпуклости, непрерывности и изоморфизма — достаточно, чтобы однозначно выделить арифметику (сложение и умножение над вещественными числами) из вселенной возможностей.
Монотонность — это интуиция «сохранения порядка», которая помогает нам следить за своим местом в мире: когда мы приближаемся к объекту, он становится больше, а когда удаляемся — меньше.
Выпуклость основана на интуиции «промежуточности». Например, четыре угла футбольного поля определяют игровую площадку даже без соединяющих их межевых линий.
Непрерывность описывает плавность перемещения объектов в пространстве и времени.
Изоморфизм — это идея подобия или аналогии. Именно это позволяет нам понять, что кошка больше похожа на собаку, чем на камень.
Таким образом, особенность арифметики состоит в том, что она следствие этих чисто качественных условий. Мы утверждаем, что эти условия суть принципы организации восприятия, которые определяют то, как мы и другие животные воспринимаем мир, своего рода «глубинная структура» восприятия, уходящая корнями в эволюционную историю.
В нашем доказательстве они действуют как ограничения, исключающие все возможности, кроме арифметической, примерно так же, как работа скульптора выявляет статую, «спрятанную» в каменном блоке.
Что такое математика?
Взятые вместе, эти четыре принципа структурируют наше восприятие мира таким образом, чтобы наш опыт был упорядочен и когнитивно управляем. Они подобны цветным очкам, которые формируют и ограничивают наш опыт определённым образом.
Когда мы смотрим через эти очки на абстрактную вселенную возможностей, мы «видим» числа и арифметику.
Эти четыре принципа структурируют наше восприятие мира и в совокупности указывают на арифметику как на абстрактную систему символов, отражающую эту структуру.
Таким образом, полученные нами результаты показывают, что арифметика имеет биологическую основу и является естественным следствием того, как структурировано наше восприятие.
Хотя эта структура является общей для других животных, математику придумали только люди. Это самое сокровенное творение человечества, воплощение в символах фундаментальной природы и творческого потенциала разума.
В этом смысле математика одновременно и изобретена (уникально человеческая), и открыта (биологически обусловлена). Кажущийся чудесным успех математики в физических науках намекает на то, что наш разум и мир не разделены, а являются частью единого целого.
Арка математики и науки указывает на недуализм — философскую концепцию, описывающую связь разума и Вселенной в целом, а также иллюзию разделения. Это соответствует многим духовным традициям (даосизм, буддизм) и системам знаний коренных народов, таким как матауранга маори.
Комментарии (9)
Spaceoddity
30.08.2023 13:35Но, как ни странно, мы не знаем, почему это так.
Знаем - по определению.
Куда интереснее было бы поглубже копнуть в связи музыки и математики. Потому что получается мы слышим (и даже можем оценить "красоту") арифметику.
smart_alex
30.08.2023 13:35Куда интереснее было бы поглубже копнуть в связи музыки и математики.
Все «кому надо» (начиная с Пифагора) уже давно копнули и сделали соответствующие выводы.
Spaceoddity
30.08.2023 13:35"Выводы сделали" в виде гармонических рядов. А если чуть посложнее? Скажем, диофантов анализ подключить к написанию музыки?
wormball
30.08.2023 13:35В разных культурах сложились свои символы для обозначения чисел, но все они используют сложение и умножение.
О, теперь я знаю, какой символ должен быть на банкноте в 0 рублей.
phenik
30.08.2023 13:35Чтобы разгадать эту тайну, нужно спросить, почему сложение и умножение — это её фундаментальные операции. Недавно мы задали себе этот вопрос и обнаружили, что ни в философии, ни в математике, ни в когнитивных науках нет удовлетворительного ответа, такого, который отвечал бы строгим научным стандартам.
Отличная статья, имеется в виду оригинал, в духе кантианского подход к происхождению арифметики и геометрии, как априорных форм познания. Что касается строгого обоснования, то возможно полная и непротиворечивая формализация этого вопроса не достижима, т.к. возможно возникновение порочного круга в доказательствах. На это указывал еще сам Кант, и по этой причине не проводит источника происхождения этих априорных форм познания. Да и не было в его время такой информации, не было еще даже теории Дарвина. Сейчас появляется в связи с широкими эволюционными и когнитивными исследованиями. По их результатам ситуации представляется еще более драматичной нежели авторы описывают в своей статье — небольшой обзор на эту тему. Вероятным конечным итогом таких исследований станет эволюционно-когнитивный подход к основаниям и обоснованию математического познания, в частности числового, включая его интуитивного уровня.
MasterMentor
30.08.2023 13:35Самое интересное в статье - факт про пчёл. Но описанную операцию называют не "интегрирование", а "векторное сложение", не говоря уже о других достаточно "вольных" пользованиях математическими терминами авторами статьи.
Что до доказательства самого тезиса - то он не выдерживает критики.
Алгебрами (либо изморфными им конструкциями) "пользуются" и клетки при транскрипции ДНК, и даже более простейшие микроорганизмы вроде бактерий.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Микроорганизмы
https://ru.wikipedia.org/wiki/Бактерии#Происхождение_и_ранняя_эволюцияТак же почитал немного об организации, на страницах чьей прессы опубликована статья.
Американская психологическая ассоциация
В ней состоят порядка 150 тыс. членов. На протяжении XX века в АПА происходили постоянные столкновения между противоборствующими группами её членов. Одно из самых масштабных противостояний наблюдалось между теоретиками и экспериментаторами, с одной стороны, и прикладными психологами, с другой стороны. Опрос, проведённый в 1957 году в отделении экспериментальной психологии, показал, что только 55% членов одобрили АПА, 30% высказались против этой организации, и было выявлено растущее желание экспериментаторов покинуть её. Сохранявшаяся на протяжении десятилетий напряжённость между сообществами практиков и «академиков» резко обострилась в 1980-х годах, когда практики оказались в большинстве. Если в 1940 году академической психологией занимались около 70% членов АПА, то в 1985 году — лишь 33%. «Академики» часто заявляли, что АПА стремится удовлетворить интересы гильдии практиков, в том числе получение страховочных выплат, возможность выписывания рецептов на психоактивные препараты, обеспечение для клинических психологов таких же госпитальных привилегий, что и для психиатров. В течение второй половины XX века было предпринято несколько попыток разрешить эти противоречия путём реорганизации АПА. Однако с течением времени «академикам» становилось всё сложнее добиваться нужных им решений, поэтому многие из них уходили из АПА. Последняя попытка реорганизации была предпринята в феврале 1987 года. Обсуждение плана реорганизации было эмоциональным и происходило в обстановке конфликтов, интриг и взаимных обвинений в недоверии. Частнопрактикующий психолог Стэнли Грэм, ставший президентом АПА в 1990 году, сначала подписал документ о реорганизации, но вскоре изменил свою позицию и начал выступать против его ратификации. В итоге многие академики, по словам бывшего президента АПА Логана Райта, сделали вывод, что «АРА стала гильдией, контролируемой представителями мелкого бизнеса».
(с) https://ru.wikipedia.org/wiki/Американская_психологическая_ассоциацияphenik
30.08.2023 13:35Самое интересное в статье — факт про пчёл. Но описанную операцию называют не "интегрирование", а "векторное сложение", не говоря уже о других достаточно "вольных" пользованиях математическими терминами авторами статьи.
Картинка условная, пчелы так не летают, они летают по криволинейным траекториям. Можно считать эти вектора малыми приращениями. В мозге пчелы происходит не численное интегрирование, как компе, а скорее аналоговое сложение направлений и пути. Вся математика в живом организована на аналоговых принципах, числа оцениваются приблизительно, особенно больше 3-4, и весьма широко используется животными, и даже растениями (публикации на Хабре 1, 2, 3, 4). Именно из этих биологических способностей — чувства численности исторически произошли абстрактные числа и операции над ними. Собственно об этом и говорится в статье, и приводятся дополнительные доводы о механизме происхождения.
Что до доказательства самого тезиса — то он не выдерживает критики.
Алгебрами (либо изморфными им конструкциями) "пользуются" и клетки при транскрипции ДНК, и даже более простейшие микроорганизмы вроде бактерий.Вы отождествляете описание с самим процессами. В клетках все работает на биохимическом, аналоговом уровне, так оно и возникло, см. комент выше со ссылкой на эволюционные исследования.
Так же почитал немного об организации, на страницах чьей прессы опубликована статья.
Какое отношение это имеет к исследованиям? В цитате речь о практическом применении их результатов на практике, зарабатывании денег и дележке. Стандарты исследований у этой организации одни из самых высоких в мире.
YNK
30.08.2023 13:35Восприятие структурирует физика, главным образом оптика. Человечество создает глифы/знаки ориентируясь не на вкус или там запах, а на видимый образ. Различия в обрисе глифов у разных культур не имеют значения, ведь главное выявляется в действии над глифами. Следовательно есть некий оптический процесс, которому просто следует наше зрение.
Wizard_of_light
Автор похоже не читал притчу о камнях и овцах. В этом мире просто много очень похожих друг на друга мало меняющихся со временем предметов, кучки которых приходится как-то мерить, вот и вся арифметика.