Давайте ненадолго перенесёмся в школьные годы и вспомним уроки математики и физики. Помните, чему равно число π? Естественно, помните, мы же на Хабре! А чему равно π в квадрате? Это тоже странный вопрос. Конечно, 9,87. А чему равно ускорение свободного падения g помните? Ещё бы, это число так тщательно вдолбили в нашу память, что захочешь — не забудешь: 9,81 м/c². Конечно, оно может варьироваться, но для решения базовых школьных задачек мы обычно использовали именно это значение.
Таинственное равенство
А теперь, внимание, следующий вопрос: а с какого это перепугу вдруг π² примерно равно g? Ну, скажете вы, в приличном обществе такие вопросы не задают. Во-первых, не очень-то и равно. Разница есть уже во втором разряде после запятой. Во-вторых, π — это безразмерное число, а g — физическая величина со своей размерностью.
И всё-таки, как ни крути, не может это быть простым совпадением. Как писали братья Стругацкие: «я уважаю числа, и совпадение номеров — в особенности шестизначных — для меня автоматически ассоциируется с совпадением пронумерованных предметов». Тут, конечно, не шестизначные номера, но всё же...
Это «ж-ж-ж» неспроста
Для начала внимательно посмотрим на правую часть. Значение 9,81 — это м/c². Но ведь это далеко не единственные единицы измерения. Если представить эту величину в любых других единицах, то магия сразу пропадает. Значит, это «ж-ж-ж» (в смысле, «g-g-g») неспроста — будем копать в направлении метров и секунд.
Что вообще такое «метр» и как он может быть связан с π? На первый взгляд, никак. В Википедии написано, что «Метр — это длина пути, проходимого светом в вакууме за интервал времени 1/299 792 458 секунды». Вот, секунды уже появились — хорошо! Но про π всё равно ничего нет.
Подождите, а почему именно 1/299 792 458? Почему, например, не 1/300? Откуда вообще взялось это число? Видимо, нужно как следует разобраться с историей самой единицы измерения длины.
Даёшь по эталону каждому честному торговцу
Раньше со всякими эталонами не заморачивались: думали только о том, как удобнее будет мерить. Например, почему бы не измерять длину в человеческих локтях? Хоть и примерно, но зато дёшево, надёжно и практично. А то, что у всех локти разной длины, так это иногда даже и полезно. Надо побольше полотна купить — кличем самого высокого жителя деревни: пусть отмеряет ткань своими локтями.
Потом, конечно, задумались о стандартизации. Стали создавать всякие эталоны. Но всё это выходило неудобно и хлопотно: к единому эталону обычно не побегаешь. Стали появляться копии эталонов. А потом копии копий эталонов...
Серьёзные люди решили, что такой бардак мешает солидному бизнесу и поставили ТЗ: придумать такое определение единицы измерения длины, которое не зависело бы от всяких дурацких эталонов. Пусть оно зависит только от природных величин, чтобы любой желающий при наличии несложных приспособлений мог его воспроизвести и измерить. Короче говоря, даёшь по эталону каждому честному торговцу!
Светлые мечты о стандартизации и коварная гравитация
Для метра такое «безэталонное» определение придумали ещё в XVII веке. Голландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель Христиан Гюйгенс предложил использовать для этой цели обычный маятник. Берём небольшое тело и подвешиваем его на нити. Длину нити выбираем так, чтобы маятник совершал полное колебание (возвращался в исходное положение) ровно за две секунды. Такую длину нити называли «универсальной мерой» или «католическим метром». От современного метра эта длина отличалась примерно на полсантиметра.
Предложение понравилось, и его взяли на вооружение. Однако скоро начались проблемы. Во-первых, Гюйгенс рассматривал систему, которая называлась «математический маятник». Это «материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити». Материальную точку и нерастяжимую нить вряд ли получится отнести к несложным приспособлениям, которые есть у каждого купца.
Во-вторых, довольно быстро обнаружилось, что длина нити предложенного маятника различается в разных местах Земли. Сила тяжести коварно уменьшалась при приближении к экватору и не желала содействовать человечеству в светлой мечте о стандартизации.
Удивительное равенство
Но вернёмся к нашему таинственному равенству. Для того, чтобы получить период малых колебаний математического маятника в зависимости от длины подвеса, используют такую формулу:
Вот же оно — наше π! Давайте подставим сюда параметры маятника Гюйгенса. Длина нити l в маятнике Гюйгенса равна 1. T — это период колебаний, он равен 2. Подставим эти значения в формулу, и получим π²=g.
Получается, что мы нашли ответ на наш вопрос? Хотя нет, погодите. Мы же видели, что равенство только примерное. Рука не поднимается поставить знак точного равенства между 9,87 и 9,81. Выходит, что метр с тех пор ещё раз поменялся?
С французским революционным приветом
Да, действительно, поменялся! Произошло это в ходе реформы единиц измерения, которую затеяла Французская академия наук в 1791 году. Умные люди предложили оставить в силе определение метра через маятник, только добавить уточнение, что это должен быть именно французский маятник — на широте 45° N (примерно между Бордо и Греноблем).
Однако это крайне не понравилось комиссии, которая занималась реформой. Дело в том, что руководитель комиссии Жан-Шарль де Борда был ярым приверженцем перехода на новую (революционную) систему измерения углов — в градах (град — это одна сотая часть прямого угла). Каждый град делился на 100 минут. Каждая минута — на 100 секунд. Метод секундного маятника совершенно не вписывался в эту стройную концепцию.
Метр подлинный и окончательный
В итоге от секунд благополучно избавились и определили метр как одну сорокамиллионную часть Парижского меридиана. Или иначе как одну десятимиллионную часть расстояния от северного полюса до экватора по поверхности земного эллипсоида на долготе Парижа. Эта величина слегка отличалась от «маятникового» метра. Комиссия без ложной скромности обозвала полученную величину как «метр подлинный и окончательный».
Идея универсального эталона, доступного каждому, помахала ручкой и ушла в закат. Нужен точный эталон метра — нет проблем! Нужно всего лишь измерить длину меридиана и поделить её на несколько миллионов. Кстати, французы так и поступили — реально измеряли кусочек Парижского меридиана — дугу от Дюнкерка до Барселоны. Прокладывали цепь из 115 треугольников через всю Францию и часть Испании. По результатам измерений они изготовили латунный эталон. Кстати, они тогда ошиблись — не учли полюсное сжатие Земли.
Хотели как лучше, а получилось как всегда
Давайте снова вернёмся к нашему равенству. Теперь мы знаем, откуда взялась неточность: π² и g различаются примерно на 0,06. Если бы не очередная попытка всё реформировать и улучшить, мы бы сейчас имели немного другое значение метра и красивое равенство π²=g. Впоследствии учёные вернулись к определению метра через неизменные и воспроизводимые природные величины, но эталон метра уже был совсем не тот. Вот такая замечательная иллюстрация принципа «Хотели как лучше, а получилось как всегда».
Ещё почитать:
Комментарии (196)
CBET_TbMbI
08.05.2024 14:17И всё-таки, как ни крути, не может это быть простым совпадением.
Да ладно? У человечества сотня разных констант и десяток математических действий. Это даёт тысячи возможных комбинаций. А если брать более 2 констант, то и миллионы. Так что таких примеров можно найти много. Хотите нормальную науку? Посчитайте вероятность таких совпадений, имеющих погрешность в 3%, например.
ALexhha
08.05.2024 14:17+2Так что таких примеров можно найти много.
а при очень большом желании можно найти смысл даже там, где его нет
edo1h
08.05.2024 14:17+3Ну я бы другое вспомнил
- Татьяна! - закричал Сракандаев, - я не могу! Татьяна!! Нет! Нет! Да! Да!! ДА!!! ТАТЬЯНА!!!!
Он замолотил рукой по полу, словно сдающийся борец.
И Степной Волк понял, что Осел низвергнут.
hurtavy
08.05.2024 14:17"Удивительное равенство" лучше выкинуть. Всё объясняет метр через окружность Земли
dzhiharev
08.05.2024 14:17+12не объясняет. Окружность Земли никак не связана с ускорением свободного падение на ее поверхности. А вот как раз то, что метр определяли через колебания маятника, которые зависят от ускорения свободного падения все объясняет.
VT100
08.05.2024 14:17Но почему!? Давайте устроим инфляцию массы Земли! И вот уже Же связано и с килограммамм (фунтами).
ssj100
08.05.2024 14:17+10и получим π²=g.
Видимо не только я заметил это совпадение в колледже и вы открыли мне на это глаза что и все таки оно связано
Akina
08.05.2024 14:17+8Для метра такое «безэталонное» определение придумали ещё в XVII веке. Голландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель Христиан Гюйгенс предложил использовать для этой цели обычный маятник. Берём небольшое тело и подвешиваем его на нити. Длину нити выбираем так, чтобы маятник совершал полное колебание (возвращался в исходное положение) ровно за две секунды.
Ага... только теперь безэталонный метр стал зависеть от эталонной секунды. Которая вообще-то тоже с потолка взята. Ну или другими словами - нихренашеньки-то не получилось.
Метод секундного маятника совершенно не вписывался в эту стройную концепцию.
Ну да... двухсекундный вписывался, а односекундный всё поломал. Смех, да и только. Прям РенТВ какое-то...
ABy
08.05.2024 14:17+7Ага... только теперь безэталонный метр стал зависеть от эталонной секунды. Которая вообще-то тоже с потолка взята.
Как это с потолка!
В 1644 году французский математик Марен Мерсенн рассчитал, что маятник с длиной 39,1 дюйма (0,994 м) будет иметь период колебаний при стандартной гравитации[англ.] точно 2 секунды — 1 секунду на движение вперёд и 1 секунду на движение обратно, — позволяя отсчитывать таким образом точные секунды.
Akina
08.05.2024 14:17+4А тут с потолка взят дюйм. А заодно и та точка на земном шаре, где надо замерять описываемое... Да, к слову, даже в одной и той же точке рассчитанная длина маятника непостоянна, или, при фиксированной длине, будет давать непостоянное значение секунды. Литосферные плиты, они ж ползают-стараются...
ABy
08.05.2024 14:17+20с потолка взят дюйм
Ну что вы такое говорите!
дюйм был определён как 1⁄36 часть ярда, который, в свою очередь, был установлен как расстояние между кончиком носа и большим пальцем вытянутой вперёд руки у короля Англии Генриха I
ssj100
08.05.2024 14:17+3какого возраста не сказано? с возрастом рост уменьшается... та же непостоянность
ABy
08.05.2024 14:17+8Глупости говорите! Рост короля неизменен, это пространственно-временной континуум сжимается.
А вообще из той же вики:
Как только сменился монарх, ярд стал иным — удлинился, так как новый король был более крупного телосложения, чем его предшественник. Затем, при следующей смене короля, ярд снова стал короче.
ssj100
08.05.2024 14:17+3а секунда разве не от длины суток отсчитано 1/(24*60*60)
что тоже плавающая величина
Proscrito
08.05.2024 14:17+5Нет. Сегодня секунда - это интервал времени, равный 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями энергии основного состояния атома цезия-133, находящегося в покое при 0 К.
Измерить сложновато, зато полная независимость от эталонов и других единиц измерения. Период полураспада цезия это очень стабильная величина в любой точке земного шара и за его пределами.
ssj100
08.05.2024 14:17+3так это сейчас, а в 1644 когда меряли колебания маятника ? или во времена Гюйгенса?
All999
08.05.2024 14:17+3Период полураспада цезия это очень стабильная величина в любой точке земного шара и за его пределами.
Как раз за пределами нашей планеты гарантированно начнутся погрешности имени старика Эйнштейна. Для спутников GPS неприемлемо большие.
Proscrito
08.05.2024 14:17+3Это у нас будут погрешности, потому что спутник за пределами планеты. И еще потому что движется достаточно быстро. Это никак не связано с выбором определения секунды. Приходится учитывать в наших земных расчетах эту погрешность.
All999
08.05.2024 14:17Ещё мысля посетила, можно ли использовать этот эффект для внеземной спектроскопии с целью измерения тамошней локальной массы? Если масса тяжёлая, то все эти тонкие переходы будут происходить с нашей точки зрения помедленней за счёт гравитационного замедления. Сверхновая, например, околоповерхностное и дальнее излучение даст одним и тем же веществом, но с уширением спектра, т.е можно прикинуть массу, а по дальнему веществу - красное смещение, т.е расстояние.
saboteur_kiev
08.05.2024 14:17+1зато полная независимость от эталонов и других единиц измерения
Только непонятно почему именно 9 192 631 770
Proscrito
08.05.2024 14:17+4Подсчитали наиболее подходящее количество под "старую" эталонную секунду.
saboteur_kiev
08.05.2024 14:17+1Не, ну это как раз понятно, я скорее намекал на натянутость "независимости"
Сейчас реально думаю, что можно было бы придумать метр, который ну хотя бы на поверхности земли везде был бы одинаковым.
avshkol
08.05.2024 14:17+5Секунда не совсем с потолка. Это время между 2 сокращениями сердца среднего человека в среднем состоянии )))
usrsse2
08.05.2024 14:17+16Равенство всё равно неточное, потому что это формула малых колебаний математического маятника. Она приближённо работает для малых углов, потому что при её выводе используется приближение
sin x ≈ x(по первому члену разложения синуса в ряд Тейлора).
panzerfaust
Вот полетит человек на Марс - а там g == 3.71. Придется вам доказательство перепридумывать.
YaMishar
А вы уверены, что там π не 1.94? :)
panzerfaust
Ну в военное время и синус до двух доходит. Я уже ни в чем не уверен.
NickDoom
Инфобеза это тоже касается. Даже в большей степени. Если где-то должен быть синус — он обязательно будет и 2, и 2²³³, и «кря», и NaN — надо быть готовым к любым входным данным :-D
AlexVWill
Значение "два" синуса - это для вероятного противника, для дружественных войск значение может быть равно четырем...
dragonnur
Надо читать комменты до конца :-)
Refridgerator
Синус от комплексного числа может принимать любое значение, в том числе и 2. Примерно 1.5708-1.31696i это число.
NickDoom
Ну если мы переведём g из метров/с² в шметры/с², которые определим так же (через колебание секундного маятника на Марсе), то…
А, кстати, можно использовать колебание не секундного, а шмекундного маятника :) Тогда будет g в шметрах на шмекунду² :-D
Ritan
А "шме" в числителе и знаменателе можно сократить
NickDoom
Тр на кунду² :-D Прекрасно, и ведь звучит предельно по-марсиански! :-D
Midiy
Так красиво, к сожалению, не получится - в знаменателе-то "шме" в квадрате!..
104u
Кто сказал, что "шме" в квадрате? В квадрате только "у", скобок ведь нет
mk2
И получим значение в трах на кунду^2.
NickDoom
А вот этим уже можно и на палубе выругаться…
venanen
Космические пираты справа по борту, свистать всех на верх, полный вперед, трах на кунду!
khajiit
Эй, углепластик… ))
Politura
Вы статью точно читали? :) Если на Марсе марсиане при выборе стандартной длины будут руководствоваться маятником, то ускорение свободного падения на Марсе посчитанное в марсианских метрах будет все также примерно равно пи в квадрате.
hurtavy
Да ладно вам. Всё же решается выбором системы единиц, про что тут и написано.
dzhiharev
я вас возможно разочарую, но g оно и на Марсе g (на то и константа), потому как g есть "ускорение свободного падения на поверхности Земли" :)
panzerfaust
Не все то константа, что буквой обозначается.
dzhiharev
Конечно в формулах никто не запрещает использовать любые буквы, в том числе и ПИ, но в формуле в статье имеется в виду именно "нормальное" ускорение свободного падения, которое в учебниках физики называется "физической постоянной, обозначаемой буквой g"
pfg21
вся статья аккурат про то и говорит, что эталоны брались непривязанные ни к одной личной и культурной единице.
потому за эталон одного метра взяли длину маятника совершающего 1 колебание за 2 секунды. нет привязке ни к одной культурной и личностной теме, ни одна верующая или националистическая хрень не взбрыкнет копытами...
если за эталон взяли длину маятника совершающего 1 колебание за 1 секунду, или 2 колебания за 1 секунду. то связь с pi была бы сложнее, но все равно осталась.
LaRN
И тут возник вопрос как отмерить секунду, чтобы маятник померять. Особенно в те времена когда атомных часов не было еще.
Nikita_64
Добавлю, что это было очень дальновидно (хотя и излишне оптимистично): при освоении других планет достаточно было найти длину местного метра при помощи маятника, и местное g вычислялось автоматически. Все "земные" формулы, связанные с g, продолжали бы работать, просто использовалось бы g инопланетное.
AlexPublic
Если уж говорить о g, как о константе, то надо апеллировать скорее к каким-то инженерным наукам, а не к физике. Вот в них частенько используют g как внесистемную единицу измерения ускорения. Скажем при расчёте допустимых перегрузок и т.п. А вот в физике это точно не является одной из фундаментальных констант. Хотя бы потому что для физиков это как минимум функция, а по хорошему вообще тензорное поле 2-го ранга. )))
Thero
она даже на земле не то чтоб константа..
ssj100
Если Маск будет Старшип слишком часто запускать то g может поменяться
dzhiharev
ускорение свободного падения на поверхности Земли поменяется, это да. Оно и так зависит от точки измерения на Земле. Но постоянная, обозначаемая буквой g, зафиксирована и уже не поменяется, ну разве что снова решат перемерять и уточнить :)
Tihron
g - ускорение свободного падения на поверхности любой планеты. Просто чаще всего имею ввиду Землю
dzhiharev
Википедия с вами не согласна
https://ru.wikipedia.org/wiki/Ускорение_свободного_падения
Но к слову сказать я тоже не совсем прав. На самом деле под буквой g скрывается физическая постоянная обозначающее "нормальное" ускорение свободного падения, примерно равное среднему значению ускорения на поверхности Земли (т.к. это значение для Земли варьируется от экватора к полюсам).
IvanPetrof
Получается, что на Марсе нет горизонта?
sdore
«земной», но не «Земной». Есть горизонт.
StjarnornasFred
Прилагательные пишутся со строчной (маленькой) буквы, даже если они образованы от имени собственного: земной, российский, роскомнадзоровский...
saboteur_kiev
просто надо посмотреть определение на других языках, чтобы исключить ошибки связанные с языковыми особенностями
venanen
На английском вообще нет двойного смысла (earth`s surface)
saboteur_kiev
Ну а вот кембриджский словарь с вами не согласен
Wesha
Ну здравствуй, брат граммар наци! Я тебе боеприпасов привёз!
Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся с прописной буквы, если они являются частью составных наименований – географических и административно-территориальных (см. § 169), индивидуальных имен людей (§ 157), названий исторических эпох и событий (§ 179), учреждений (§ 189), архитектурных и др. памятников (§ 186, 194), военных округов и фронтов. В остальных случаях они пишутся со строчной буквы. Ср., напр.: невские берега, невские набережные и Александр Невский, Невский проспект, Невская битва; донское казачество и Дмитрий Донской, Донской монастырь; московские улицы, кварталы, московский образ жизни и Московская область, Московский вокзал (в Петербурге), Московская государственная консерватория [ ПАС 2011: 153].
— Правила русской орфографии и пунктуации: Полный академический справочник / Под ред. В.В. Лопатина. – М., 2011, § 177 в разделе «Географические и административно-территориальные названия и производные от них слова» в разделе «Правила употребления прописных и строчных букв», с. 150–154.
(https://orfogrammka.ru/тотальный_диктант/правописание-прилагательных-образованных-от-географических-названий/
https://shorturl.at/gqDPT)
ABy
Получается что есть и его легко увидеть в телескоп, направленный на Землю.
dzhiharev
как уже писали, "земная поверхность" и "поверхность Земли" - разные понятия, поэтому горизонт есть, а вот "видимый горизонт" по ходу на Марсе не определен, т.е. по факту его нет :)
dzhiharev
Сорри, протупил (спасибо @ABy за подсказку). Видимый горизонт конечно же есть, просто Маск не смог его импортировать на Марс и он остался на Земле.
Получается стоя на Марсе "горизонт" можно увидеть невооруженным глазом, а "видимый горизонт" - нет :)
saboteur_kiev
The horizon is the apparent curve that separates the surface of a celestial body from its sky
DonStron
Вы ошибаетесь, g не является константой, ни математической константой, ни физической постоянной.
All999
Перемерять тамошний экватор, высчитать тамошний "метр" (диаметр 6792×3.14=21 326,88, чуть больше полметра будет), пересчитать тамошнее g в тамошних метрах. Секунды можно взять наши земные, они в первом приближении похожи. 3.7х2 будет примерно 7.2 м/с². Да, не сходится, однако.
500rur
у Марса плотность меньше - 3.93 против 5.51 грамм на куб см у Земли. Думаю, причина в этом.
AlexPublic
Потому что согласно истории считать надо не от меридиана, а от маятника. А меридиан потом подогнали просто.
Соответственно для Марса один местный метр будет где-то 0,4 нашего (с учётом разницы в секундах). Ну и можно потом подогнать, что он равен 1/53 000 000 их меридиана.
И тогда местное g будет как раз в районе 9,88 в местных единицах.
All999
Интересно, как выглядела бы метрология и система единиц, если бы её создавали бы на Марсе. В году было бы 686 дней, секунды незначительно длиннее, световой год вдвое длиннее сам по себе, а в цифрах, исходя из тамошнего метра, вчетверо, зато парсек немного поменьше, а на всяких константах, высчитанных у нас, мой мозг начал сбоить
edo1h
А почему секунда другая?
dzhiharev
потому что секунда определялась с помощью деления суток на части, а длительность суток зависит от скорости вращения планеты вокруг своей оси. Поэтому если бы секунду определяли на Марсе она была бы чуток подлиннее (на 2.7% кажется)
Rorg
Ну это при условии, что у них в сутках было бы 24 часа
dzhiharev
Так мы же и говорим про то, что было бы если бы такую же схему определения единиц разрабатывали находясь на Марсе. Т.е. поделили сутки на 24 часа, часы на 60 минут, минуты на 60 секунд.
edo1h
а кто мешает сделать секунду равной земной, а час некруглым?
dzhiharev
Во-первых, в этом и был весь смысл деления суток - чтобы части были удобные для использования. Обычно используют число 12, потому что оно делится нацело на все числа кроме 5. В случае суток видимо взяли два раза по 12 (день и ночь), а уже в часах и минутах добавили делитель 5 - получилось по 60 частей.
А во-вторых, напоминаю, в этой ветке мы обсуждаем теоретический вопрос, что было бы, если бы секунду определяли на Марсе (т.е. никакой земной и в помине не было бы).
PowerMetall
Зануда во мне говорит, что также не делится и на 7, 8, 9, 10, 11 )))
AlexPublic
Константы легко вычислить просто по размерности. Но смысл статьи как раз в том, что в случае g ничего вычислять не надо - оно будет таким же (в районе пи квадрат в местных единицах), если развитие науки (а точнее метрологии) у них двигалось бы так же как и у нас...
MoonArsenii
Так там и метр другим получится)
Radisto
Вот человек выше его и посчитал - 7,2 марсометра/марсосекунду^2. Не хватает. Может, потому что плотность Марса меньше плотности Земли, и Марс больше широкий чем тяжёлый. Вот шметры и вышли длиннее шмекунд
qertis
На марсе будет свое G и свой марсианский метр.
Rsa97
G будет абсолютно тем же, что и на Земле. Это фундаментальная постоянная, константа гравитационного взаимодействия.
И g тоже не изменится - это стандартное значение, принятое как среднее для Земли. Ускорение свободного падения на Марсе составляет 0.394g. Возможно, его обозначат своей буквой, но g уже занята.
samozvet
антропный пи, да