Неваляшка – это некая фиговина, имеющая два положения равновесия: одно устойчивого, второе неустойчивого. Ставишь его головой вверх – и как ни толкай, он возвращается в исходное положение. Ставишь на голову (ооочень-очень осторожно) – и он стоять-то стоит, но при малейшем движении готов упасть, а точнее – встать как положено, головой вверх.
Достигается этот эффект за счет шарообразных головы и, кхм, нижней части, и (главное) смещенного центра тяжести. В самом низу неваляшки находится свинцовый балласт, изо всех сил тянущий низ, что логично, вниз.
Я уверена, после прочтения этих строк у вас немедленно возник вопрос: можно ли избавиться от груза и сделать однородного неваляшку?
Первым делом интуиция подсказывает, что для уменьшения количества точек равновесия хорошо бы сделать его еще и выпуклым. И в этом случае мы получаем что-то, похожее на яйцо, у которого есть две точки неустойчивого (на остром и тупом концах) и бесконечное количество точек безразличного равновесия (при вращении вокруг продольной оси, когда оно лежит на любом боку). Это не то, что нам нужно.
Судьбоносное для мира однородных неваляшек событие случилось в 1995 году на Интернациональном конгрессе индустриальной и прикладной математики в Гамбурге, где встретились два математика - Владимир Арнольд из России и Габор Домокош из Венгрии.
Домокош и коллеги, Энди Руина и Джим Пападопулос, изучали положения равновесия плоских тел. Проведенные с моделями из проволоки и фанеры эксперименты и сопутствующие им расчеты показали, что, например, у квадрата как двухмерной фигуры есть 4 устойчивых положения равновесия (на каждой из сторон) и 4 неустойчивых. У эллипса – 2 устойчивых (когда длинная ось горизонтальна) и 2 неустойчивых (когда она вертикальна). А результатом исследований стала статья, доказывающая, что не существует двумерных объектов, имеющих только одно положение устойчивого и одно – неустойчивого равновесия. Как известно, 2+2=4, итого – у любого плоского тела есть хотя бы 4 положения равновесия.
Владимир Арнольд же на конференции рассказывал разных задачах по дифференциальной геометрии, оптике и механике, в решении которых используется теорема Якоби, связанная с понятием устойчивости системы.
Удивительным образом каждая из задач имела отношение к числу 4. Это навело Домокоша на мысль о том, что это стоит обсудить подробнее. Разговор с Арнольдом коснулся и трехмерной версии задачи определения количества положений равновесия тел, в частности – срезанного цилиндра, имеющего всего одно положение устойчивого равновесия, и при этом 3 – неустойчивого. Арнольд предположил, что, раз существуют трехмерные тела с количеством положений устойчивого равновесия меньше 2, то могут существовать и с аналогичным количеством положений неустойчивого. И предложил Домокошу найти такую форму. Поиск занял десять лет.
Началось всё с поиска нужной формы в природе. Проводя отпуск на Родосе, Домокош с женой исследовали форму камней на пляже. В течение недели они собрали и изучили более двух тысяч камней, для каждого записывая в таблицу число положений устойчивого и неустойчивого равновесия. (Вот это прямо эталон безудержного математического веселья в отпуске, дайте два!). Подходящая форма не была обнаружена.
Тем не менее, определенный результат был. Выяснилось, что естественная абразия уменьшает количество положений равновесия у камня. Но, достигнув двух положений устойчивого, и двух неустойчивого при форме близкой к эллипсоиду, этот процесс прекращается.
Дальнейшие эксперименты Домокоша и его коллеги Петера Варконьи с формой исходили из интуитивного предположения: необходимо взять шар и изменять его форму наподобие яйца, при этом отслеживая выпуклость и положение центра масс.
Важность выпуклости тела иллюстрируется легендой о Колумбовом яйце: на званом ужине Колумбу сказали, что открыть Америку мог любой. В ответ он предложил поставить яйцо вертикально на стол. После многих безуспешных попыток гостей сделать это, Колумб примял яйцо с одной стороны и без труда поставил его на переставший быть выпуклым конец.Какой вывод из этой истории сделает математик? Отклонения формы объекта от выпуклой могут привести к возникновению новых положений равновесия. А этого нужно было избегать.Положение центра масс – это основа состояния равновесия. Тут очевидны примеры неваляшки (центр масс искусственно сдвинут вниз за счет использования груза) и яйца (положение центра масс обеспечивает бесконечное количество точек безразличного равновесия, когда яйцо лежит на боку).
Итогом исследований стало доказательство Домокошем и Варконьи в 2006 году существования моно-моностатических тел (однородных неваляшек) и само такое тело, названное в честь круглого мясного пирожка – гёмбёц (в венгерском языке ударение падает на первый слог).
Гёмбёц настолько чувствителен к малейшим искажениям и изменениям формы, что даже первый его прототип вышел комом. Представитель компании, у которой был заказан первый экземпляр, на вопрос Домокоша, получилось ли сделать нужное тело, с гордостью заявил: «Мы сделали даже лучше — наша форма имеет 16 положений устойчивого равновесия!».
Более того, даже при сверхточном изготовлении незначительные повреждения и неровности самого гёмбёца и поверхности, на которой он расположен, могут приводить к нарушению равновесия. Высочайшие требования к точности делают гёмбёц исключительно искусственным телом, не встречающимся в природе. Однако там есть и кое-что похожее.
Посмотрите на черепах и на то, что происходит, если перевернуть их на спину. Панцирь некоторых видов удивительно похож формой на гёмбёц, что помогает черепахам легче переворачиваться в нормальное положение.
Автор: Карина Соловьева
Комментарии (22)
Wesha
20.12.2024 14:26гёмбёц
«Если в слове есть буква „ё“, то ударение всегда падает на неё», — говорили они...
flass
20.12.2024 14:26Забавно что правильно произнести в этом случае такое правило не мешает
Pyhesty
20.12.2024 14:26мешает, с ребенком первый класс, там один из способов определить ударение -"позвать слово"))) в данном случае получается второй слово) ps: понятно, что никогда не слыша слово, можно ударить любой слог)
вот странно, не уже ли нужно было перебрать 2000 камней, а не вывести формулу поверхности... у этого тела формула есть?)))
RigelGL
20.12.2024 14:26Таков путь. В начале чувственно изучаешь мир, потом агрегируешь до эмпирических правил, потом принимаешь как теорию.
В данном случае чувственные измерения не дали ответа, и поиск продолжился в области математики.
Daddy_Cool
20.12.2024 14:26Без видео и фото с разных ракурсов статья выглядит неполной.
Вот видео.
https://www.youtube.com/watch?v=lrYhw90-EDI
Много фоточек.
https://pikabu.ru/tag/Гембец
------------
"Арнольд предположил, что, раз существуют трехмерные тела с количеством положений устойчивого равновесия меньше 2, то могут существовать и с аналогичным количеством положений неустойчивого".
Непонятно. Меньше двух - это с одним! Вот этот гёмбец и есть тело с одной точкой устойчивого равновесия. Зачем нам вообще точки неустйчивого равновесия?
Ощущение, что фраза Арнольда приведена с ошибкой, но может я и не понимаю просто.
------------
Более того, даже при сверхточном изготовлении незначительные повреждения и неровности самого гёмбёца и поверхности, на которой он расположен, могут приводить к нарушению равновесия.
Какое нарушение равновесия? Гёмбец попадет в другую устойчивую точку, которой быть не должно!
Кто в теме - поясните пожалуйста.
mk2
20.12.2024 14:26> Без видео и фото с разных ракурсов статья выглядит неполной.
Обе фотки на самом деле из Википедии, https://ru.wikipedia.org/wiki/Гёмбёц
---
> "Арнольд предположил, что, раз существуют трехмерные тела с количеством положений устойчивого равновесия меньше 2, то могут существовать и с аналогичным количеством положений неустойчивого".
> Непонятно. Меньше двух - это с одним! Вот этот гёмбец и есть тело с одной точкой устойчивого равновесия. Зачем нам вообще точки неустйчивого равновесия? Ощущение, что фраза Арнольда приведена с ошибкой, но может я и не понимаю просто.Тут понятнее, если открыть старую статью-источник той же Вики: https://web.archive.org/web/20150201215641/http://trv-science.ru/2015/01/27/arnold-goemboec-i-cherepakha/
> На что Арнольд заметил: «Вы, конечно, понимаете, что это не контрпример! Главный результат вашей работы состоит не в том, что тело имеет два и больше устойчивых положений равновесия, а в том, что оно имеет четыре положения равновесия. И ваш цилиндр имеет четыре положения равновесия — одно устойчивое и три неустойчивых. В то же время тело с меньшим числом положений равновесия может существовать. Напишите мне письмо, когда найдете его».
То есть имелась в виду возможность существования тел с меньшим количеством общих положений равновесия.
---
> Какое нарушение равновесия? Гёмбец попадет в другую устойчивую точку, которой быть не должно!
Видимо, имеется в виду, что при неточном изготовлении или на недостаточно ровной поверхности по факту появляются другие устойчивые точки. Всё же реальный обьект, а не математическая модель :-)
Из той же статьи:
> Наконец после долгого рассказа Габор Домокош демонстрирует аудитории гёмбёц. Но перед этим он достает из кармана брюк платок, вытирает стол. Видя недоумение аудитории, объясняет:
> – Вы не поверите, но даже пыль на столе может изменить поведение гёмбёца. Точность его формы очень важна. Если ошибиться на долю миллиметра, количество положений равновесия изменится. Если хотя бы немного изменить параметры фигуры, количество положений равновесия увеличится.
bak
20.12.2024 14:26Почему срезанный цилиндр имеет три точки неустойчивого равновесия а гёмбёц одну?
Правильно ли я понимаю что из точки нейстойчивого равновесия одинаковые шансы что объект начнет падать в любую сорону когда его отпустят, а из остальных точек он всегда в определенном направлении начнет падать?
geher
20.12.2024 14:26И корректно ли говорить о точке равновесия, если предмет стоит на поверхности некоторой плоской фигурой или отрезком прямой?
Правильно ли я понимаю что из точки нейстойчивого равновесия одинаковые шансы что объект начнет падать в любую сорону когда его отпустят, а из остальных точек он всегда в определенном направлении начнет падать?
Неважно, куда он начнет падать, важно, что его таки можно поставить на этой точке в равновесии (по крайней мере теоретически). С других точек оно просто начнет сразу падать при любом раскладе.
bak
20.12.2024 14:26важно, что его таки можно поставить на этой точке в равновесии (по крайней мере теоретически)
А как понять можно ли теоретически поставить или нет? Например куб можно ли теоретически поставить на ребро? Ведь если точно поставить под углом 45 градусов - гравитация будет скомпенсированна и падать не будет. Разве не на любую точку можно теоретически поставить?
geher
20.12.2024 14:26Не на любую. Точка должна быть такой, чтобы центр тяжести мог быть точно над ней. Для всяких углов и ребер выпуклого тела, естественно, всегда (или почти всегда? лень думать над этим аспектом) существует возможное равновесное положение, но если поверхность тела гладкая, то тело может находиться на плоскости, касаясь ее некоторой точкой своей поверхности, только если плоскость является касательной к телу в этой точке, что, мягко говоря, несколько ограничивает набор возможных наклонов тела относительно плоскости (а именно ограничивает единственным вариантом), что делает невозможным шевелить центр тяжести над точкой с целью уравновешивания.
lgorSL
20.12.2024 14:26В неустойчивом положении может падать не обязательно в совсем любую сторону. Это может быть движение вдоль одного направления в противоположные стороны - например, есть поставить кубик на ребро, он упадёт либо в одну, либо в впротивоположную сторону, а больше вариантов нет
QualityLab
У меня возник вопрос другой: почему у вас неваляшка мужского рода?
newintellimouse
потому, что первым его названием у многих людей было «Ванька-встанька», закрепившее мужской род за этой игрушкой
Tim635
Потому что это ни мужской и не женский, а общий род.
kspshnik
В русском языке? А где Вы его нашли? :)
P.S. Он средний.
P.P.S. И нет, слово "неваляшка" не среднего рода, а женского, см. Даля или Ожегова.
geher
И, как ни странно, при всем этом неваляшка может быть он, если этим словом таки описывают персону мужского пола.