20.10.2025 01:17
master_program 54 8400 Источник

Здесь вы можете узнать о том, как все 4 уравнения Максвелла, выражаемые через сложные дифференциальные операторы, можно выразить одним единственным уравнением первого порядка очень простой формы.

Видели когда-нибудь все 4 уравнения Максвелла в такой форме?

\left(\left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\right) I_2+\partial_k \sigma_k\right)\left(\left(E_m+i c B_m\right) \sigma_m\right)=\frac{1}{\epsilon_0 c}\left((c \rho) I_2+J_n \sigma_n\right)

А в такой?

\nabla_{s t} F=\frac{1}{\epsilon_0 c} J

Если нет, то статья вам поможет узнать много нового.

В основе современной физики лежат дифференциальные уравнения, традиционно записываемые на языке векторного анализа. Такие операторы, как скалярное (·) и векторное (×) произведения, градиент (∇), дивергенция (∇·) и ротор (∇×), являются рабочими инструментами для описания всего, от течения жидкости до распространения света. Однако этот инструментарий, при всей его полезности, имеет фундаментальные ограничения: он искусственно разделяет операции, скрывает глубокие геометрические связи и зачастую работает только в трехмерном пространстве.

Геометрическая алгебра предлагает иной подход, возвращаясь к первоначальной идее Уильяма Клиффорда: создать единую алгебру, в которой сами геометрические объекты — точки, линии, плоскости, объемы — являются элементами вычислений. Это позволяет переписать сложнейшие физические законы в невероятно компактной и интуитивно понятной форме. Давайте разберем, как ГА переосмысливает самые базовые понятия.

0. Предварительные пояснения (написано позже)

При чтении этой статьи у ряда читателей возникли проблемы с пониманием, хотя все необходимые определения тут уже даны. Оказалось, что серьезной проблемой является уже имеющееся представление об операциях сложения и умножения как о функциях, которые отображают два аргумента в какой-то третий. Например, сумма двух чисел дает третье число, скалярное произведение двух векторов дает число, произведение вектора на скаляр дает вектор и так далее. Но это не определение операций, а их интерпретация. Помимо текста ниже я также написал про это статью на Хабре.

В математике операции сложения и умножения задаются просто аксиомами. Здесь используется один вид сложения (обычное) и три вида умножения векторов - скалярное (коммутативное, два вектора дают число), векторное (антикоммутативное, два вектора дают вектор) и геометрическое (просто некоммутативное). В самой геометрической алгебре используются тоже три вида умножения, но вместо скалярного и векторного - внутреннее и внешнее. Скалярное произведение обозначаем точкой, векторное - крестиком, внутреннее как скалярное точкой, потому что для векторов оно совпадает со скалярным, а внешнее символом объединения множеств. Геометрическое произведение обозначаем никак, просто два объекта рядом, например AB.

Любой объект в геометрической алгебре (мультивектор) - это просто формальная сумма объектов разного вида (скаляров, направленных отрезков, площадей, объемов ...). Поскольку мы работаем тут только в 3D, напишу общий вид мультивектора в 3D:

M=\underbrace{\alpha}_{\text {скаляр }}+\underbrace{\left(v_1 e_1+v_2 e_2+v_3 e_3\right)}_{\text {вектор }}+\underbrace{\left(b_1 e_2 e_3+b_2 e_3 e_1+b_3 e_1 e_2\right)}_{\text {бивектор }}+\underbrace{\beta\left(e_1 e_2 e_3\right)}_{\text {тривектор }}

Здесь скаляры - это просто числа, e1, e2, e3 - соответствуют единичным векторам вдоль координатных осей в обычном пространстве. Скаляры называются объектами нулевого ранга, векторы - первого ранга, бивекторы - второго ранга и так далее.

В самом низу статьи есть матричная интерпретация геометрической алгебры. В ней геометрическое произведение интерпретируется как умножение матриц, а операция сложения - как умножение матриц. Вне матричных интерпретаций сложение и умножение следует понимать просто формально (то есть через аксиомы, а не как функции). Проще говоря, сумма вектора и скаляра есть просто сумма вектора и скаляра (и ничего больше за этим не стоит), произведение двух базисных векторов есть базисный бивектор и так далее.

Отдельно следует отметить, что внутреннее произведение для более сложных объектов, чем векторы, работает гораздо сложнее и даже в матричной интерпретации ему никакая простая операция не соответствует. Здесь в тексте встречается внутреннее произведение вектора на бивектор. Это операция, которая проецирует вектор на плоскость бивектора, а потом поворачивает его на 90 градусов. В общем же случае она определяется так.

Пусть r - максимальный ранг объекта в сумме, которая задает мультивектор А. Пусть s - максимальный ранг объекта в сумме, которая задает мультивектор В. Тогда, чтобы получить их внутреннее произведение, нужно геометрически перемножить А и B, упростить, получить третий мультивектор С, и внутреннее произведение равно слагаемому в нем ранга |r-s|.

1. Векторы и новое фундаментальное правило

В ГА вектор — это не просто столбец чисел, а фундаментальный объект, представляющий направленный отрезок. Самое главное и первое правило, которое все меняет, касается произведения вектора на самого себя:

квадрат любого вектора равен квадрату его длины.

\mathbf{v}^2 = \mathbf{v}\mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2

Это простое правило немедленно делает алгебру гораздо богаче, чем обычная векторная алгебра, где произведение vv не определено.

2. Единое геометрическое произведение

Второе ключевое нововведение — это отказ от отдельных скалярного и векторного произведений в пользу одного, более мощного геометрического произведения двух векторов ab. Оно естественным образом содержит в себе обе эти операции:

\mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}

  • Симметричная часть: скалярное (внутреннее) произведение

    \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{b}\mathbf{a})

    Это в точности то же самое, что и привычное нам скалярное произведение. Результатом является скаляр, описывающий проекцию одного вектора на другой.

  • Антисимметричная часть: внешнее произведение

    \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} - \mathbf{b}\mathbf{a})

    Это новый, гораздо более фундаментальный объект, заменяющий векторное произведение. Результатом является не вектор, а бивектор — ориентированный участок плоскости, заданный векторами a и b, с величиной, равной площади образуемого ими параллелограмма. Бивектор — это математическое воплощение самой идеи "плоскости вращения" или "элементарной площадки".

3. Возвращение к векторному произведению

Привычное нам векторное произведение a × b не исчезает, но оказывается лишь "тенью" более общего внешнего произведения, существующей только в 3D. Оно связано с внешним произведением через псевдоскаляр I = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 (единичный ориентированный объем):

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -I(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})

Это уравнение показывает, что векторное произведение — это операция, которая берет плоскость (a ∧ b) и возвращает перпендикулярный ей вектор (ее дуал). ГА предпочитает работать напрямую с более фундаментальным объектом — плоскостью.

4. Дифференциальные операторы в новом свете

Оператор набла ∇ в ГА трактуется как полноценный векторный оператор. Когда он действует на векторное поле v, его геометрическое произведение ∇v так же распадается на две части:

\nabla\mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} + \nabla \wedge \mathbf{v}

  • Дивергенция ∇·v: Это скалярная часть геометрической производной. Она по-прежнему описывает "расширение" или "сжатие" потока в точке.

  • Ротор ∇∧v: Это бивекторная часть геометрической производной. Она описывает "вращение" потока. Результатом является бивектор завихренности Ω, который представляет собой плоскость и интенсивность вращения в точке — гораздо более естественное представление, чем искусственный "вектор оси вращения" ∇×v.

5. Лапласиан в геометрической алгебре

Сначала вспомним, что такое Лапласиан. В классическом векторном анализе оператор Лапласа, действующий на векторное поле \mathbf{v}, определяется тождеством:

\nabla^2\mathbf{v} \equiv \nabla(\nabla \cdot \mathbf{v}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{v})

Это определение верно всегда и для любого векторного поля.

В Геометрической Алгебре оператор Лапласа естественно возникает как квадрат векторного оператора градиента:

\nabla^2 = \nabla \nabla

Когда этот оператор действует на векторное поле \mathbf{v}, мы получаем:

\nabla^2\mathbf{v} = \nabla(\nabla\mathbf{v})

Используя фундаментальное разложение геометрического произведения \nabla\mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} + \nabla \wedge \mathbf{v}, мы получаем:

\nabla^2\mathbf{v} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{v} + \nabla \wedge \mathbf{v}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{v}) + \nabla(\nabla \wedge \mathbf{v})

Здесь:

  • ∇(∇·v) — это градиент от скалярной дивергенции.

  • ∇(∇∧v) — это градиент от бивектора завихренности.

Это выражение совпадает с лапласианом, так как

\nabla \cdot(\nabla \wedge \mathbf{v})=-(\nabla \times(\nabla \times \mathbf{v}))

Напишем таблицу соответствия операций векторной алгебры и геометрической

6. Уравнения Максвелла

Обычно электромагнетизм описывается четырьмя уравнениями, связывающими электрическое поле \mathbf{E}, магнитное поле \mathbf{B}, плотность заряда \rho и плотность тока \mathbf{J}.

Эта система выглядит громоздкой и не до конца симметричной. Она разделяет пространство и время, а также электрические и магнитные поля, которые, как мы знаем из теории относительности, являются проявлениями единой сущности.

7. Переход к геометрической алгебре.

Геометрическая алгебра позволяет объединить эти разрозненные объекты в единые.

А) Единое электромагнитное поле F (Бивектор Фарадея)

Мы объединяем вектор электрического поля \mathbf{E} и (псевдо)вектор магнитного поля \mathbf{B} в один-единственный объект — бивектор в пространстве-времени. В контексте 3D ГА + время его часто записывают как мультивектор, где \mathbf{E} — векторная часть, а \mathbf{B} — бивекторная:

F = \mathbf{E} + i c \mathbf{B}

Здесь:

\mathbf{E} — это векторная часть (степень 1).

i = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 — это псевдоскаляр, который превращает вектор \mathbf{B} в дуальный ему бивектор i\mathbf{B} (плоскость вращения).

c — скорость света.

F — это единый, абсолютный геометрический объект, а \mathbf{E} и \mathbf{B} — лишь его компоненты, которые разные наблюдатели видят по-разному.

Б) Единый источник J (4-ток)

Мы объединяем два источника — скалярную плотность заряда \rho и векторную плотность тока \mathbf{J} — в один мультивектор:

J = c\rho + \mathbf{J}

Здесь:

c\rho — это скалярная часть (степень 0).

\mathbf{J} — это векторная часть (степень 1).

В) Единый оператор производной \nabla_{st} (Градиент пространства-времени)

Мы объединяем производную по времени и производную по пространству в один векторный оператор в пространстве-времени:

\nabla_{st} = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla

8. Переход к геометрической алгебре.

Теперь все четыре уравнения Максвелла превращаются в одно:

\nabla_{st} F = \frac{1}{\epsilon_0 c} J

Докажем, что это одно уравнение эквивалентно четырем классическим, разложив его по степеням (скаляры, векторы, бивекторы...).

Распишем левую часть:

\nabla_{st} F = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla \right) (\mathbf{E} + ic\mathbf{B})= \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + i\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \nabla \mathbf{E} + ic (\nabla \mathbf{B})

Теперь используем ключевое свойство ГА: геометрическое произведение \nabla\mathbf{v} раскладывается на скалярную часть (дивергенцию ∇·v) и бивекторную часть (ротор ∇∧v).

= \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + i\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf{E} + \nabla \wedge \mathbf{E}) + ic (\nabla \cdot \mathbf{B} + \nabla \wedge \mathbf{B})

Теперь приравняем это к правой части \frac{1}{\epsilon_0 c} (c\rho + \mathbf{J}) = \frac{\rho}{\epsilon_0} + \frac{1}{\epsilon_0 c} \mathbf{J} и сгруппируем члены по их геометрической природе (степени):

Скалярная часть (степень 0):

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}

    Это в точности Закон Гаусса.

Векторная часть (степень 1):

\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + ic(\nabla \wedge \mathbf{B}) = \frac{1}{\epsilon_0 c}\mathbf{J}

 Умножим на c, преобразуем ∇∧B в i(∇×B) и c²=1/(ε₀μ₀):

\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} - \nabla \times \mathbf{B} = -\frac{1}{\epsilon_0 c^2}\mathbf{J} \implies \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

    Это в точности Закон Ампера.

Бивекторная часть (степень 2):

i\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \nabla \wedge \mathbf{E} = 0

Преобразуем ∇∧E в i(∇×E):

i\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + i(\nabla \times \mathbf{E}) = 0 \implies \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

 Это в точности Закон Фарадея.

Тривекторная (псевдоскалярная) часть (степень 3):

ic(\nabla \cdot \mathbf{B}) = 0 \implies \nabla \cdot \mathbf{B} = 0

Это в точности Закон Гаусса для магнетизма.

9. Почему это лучше?

Система уравнений Максвелла, выраженная в геометрической алгебре, не просто короче. Она раскрывает глубинную структуру электромагнетизма, показывая, что четыре знаменитых закона — это лишь "проекции" одного фундаментального геометрического принципа на разные "измерения" (скаляры, векторы, бивекторы).

10. Переход к матрицам.

Сначала мы должны установить однозначное соответствие между объектами нашей теории и матрицами. Вся алгебра 3D пространства-времени, необходимая для этого, изоморфна алгебре комплексных матриц 2x2. Используем базис матриц Паули.

Скаляры в геометрической алгебре представляем так

s \cdot I_2=\left(\begin{array}{cc}s & 0 \\0 & s\end{array}\right)

Векторы представляются вот так

\begin{aligned}& V=v_k \sigma_k =\left(\begin{array}{cc}v_3 & v_1-i v_2 \\v_1+i v_2 & -v_3\end{array}\right)\end{aligned}

Бивекторы представляются вот так

i B=i\left(B_k \sigma_k\right)

Тривектор (псевдоскаляр):

i \cdot I_2=\left(\begin{array}{ll}i & 0 \\0 & i\end{array}\right)

Электромагнитное поле F = \mathbf{E} + ic\mathbf{B}: это мультивектор, состоящий из векторной части (\mathbf{E}) и бивекторной части (ic\mathbf{B}). Его матричное представление — это одна комплексная матрица, построенная из матриц Паули:

    F_{mat} = E_k\sigma_k + i c (B_k\sigma_k) = (E_k + icB_k)\sigma_k

    Это бесследовая матрица 2x2.

Источник J = c\rho + \mathbf{J}:

это мультивектор, состоящий из скалярной части (c\rho) и векторной части (\mathbf{J}).

J_{source} = (c\rho)I_2 + J_k\sigma_k = \begin{pmatrix} c\rho+J_3 & J_1-iJ_2 \\ J_1+iJ_2 & c\rho-J_3 \end{pmatrix}

Это общая (имеющая след) комплексная матрица 2x2.

Оператор производной \nabla_{st} = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla:

Это оператор, который также является мультивектором (скалярная + векторная часть).

    Nabla_{st} = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\right)I_2 + \partial_k\sigma_k

Итак, мы получили систему уравнений Максвелла в матричной форме.

\left( \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\right)I_2 + \partial_k\sigma_k \right) \left( (E_m + icB_m)\sigma_m \right) = \frac{1}{\epsilon_0 c} \left( (c\rho)I_2 + J_n\sigma_n \right)

Можно обратить внимание, что левая часть имеет следующую структуру:

LHS = \frac{1}{c}\frac{\partial F_{mat}}{\partial t} + \underbrace{(\partial_k(E_k + icB_k))I_2}_{\text{Скалярная часть}} + \underbrace{i\epsilon_{kmn}\partial_k(E_m + icB_m)\sigma_n}_{\text{Векторная часть}}

В форме матриц:

\left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \cdot I_2+N a b l a\right) F_{m a t}=\frac{1}{\epsilon_0 c} J_{s o u r c e}

11. Добавление.

В отклике на статью попросили обосновать соответствие, используемое тут

\nabla \cdot(\nabla \wedge \mathbf{v})=-\nabla \times(\nabla \times \mathbf{v})

Давайте обозначим ротор вектора маленькой буквой омега, а его аналог в ГА - большой. Тогда нужно будет доказать соотношение:

\mathbf{v} \cdot \Omega=-(\mathbf{v} \times \omega)

Дело в том, что оно работает для любой пары вектора и бивектора. Докажем это.

Метод 1: Алгебраическое доказательство (через дуальность)

Этот метод использует концепцию дуальности, связывающую векторы и бивекторы через псевдоскаляр i = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3.

1. Определения:

  • Бивектор завихренности: \Omega = \nabla \wedge \mathbf{v}

  • Вектор ротора: \mathbf{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}

  • Связь через дуальность: Как мы строго установили ранее (используя матрицы Паули), бивектор Ω в ГА является дуалом вектора ω, и их связь выражается как:

    (Здесь i — псевдоскаляр, а не \sqrt{-1}, хотя в матричном представлении они совпадают).

2. Ключевое тождество:
В 3D геометрической алгебре существует тождество, связывающее внутреннее произведение, внешнее произведение и псевдоскаляр:

\mathbf{a} \cdot (i\mathbf{b}) = i(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})

Геометрический смысл: Внутреннее произведение вектора a с плоскостью ib дает новый вектор, который является дуалом (перпендикуляром) к плоскости a∧b.

3. Вывод:
Начнем с левой части нашего выражения v · Ω и подставим в него Ω = iω:

\mathbf{v} \cdot \Omega = \mathbf{v} \cdot (i\mathbf{\omega})

Теперь прямо применяем наше ключевое тождество, где a = v и b = ω:

\mathbf{v} \cdot (i\mathbf{\omega}) = i(\mathbf{v} \wedge \mathbf{\omega})

Теперь нам нужно вспомнить, как в ГА выражается векторное произведение. Его определение через внешнее произведение и псевдоскаляр:

\mathbf{v} \times \mathbf{\omega} \equiv -i(\mathbf{v} \wedge \mathbf{\omega})

Сравнивая два последних выражения, мы видим, что:

i(\mathbf{v} \wedge \mathbf{\omega}) = -(\mathbf{v} \times \mathbf{\omega})

Таким образом, мы доказали:

\mathbf{v} \cdot \Omega = -(\mathbf{v} \times \mathbf{\omega})

Метод 2: Доказательство в координатах (через матрицы Паули)

Этот метод является самым строгим, так как он не полагается на запоминание тождеств, а выводит результат из фундаментальных правил алгебры.

1. Определения в матричном представлении:

  • Вектор \mathbf{v} \leftrightarrow V = v_k\sigma_k

  • Вектор \mathbf{\omega} \leftrightarrow W = \omega_k\sigma_k

  • Бивектор \Omega \leftrightarrow \Omega_{mat} = iW = i(\omega_k\sigma_k)

2. Определение внутреннего произведения в ГА:
Внутреннее произведение (левая контракция) вектора a и бивектора B определяется через антисимметричную часть их геометрического произведения:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{B} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{B} - \mathbf{B}\mathbf{a})

В матричном представлении это соответствует коммутатору, умноженному на i/2:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{B} \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{2}(AB - BA) \quad \text{если B - бивектор}

В матричном представлении:

\mathbf{v} \cdot \Omega \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{2}(V\Omega_{mat} - \Omega_{mat}V)

3. Вычисление:
Подставляем \Omega_{mat} = iW:

\mathbf{v} \cdot \Omega \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{2}(V(iW) - (iW)V) = \frac{i}{2}(VW - WV) = \frac{i}{2}[V, W]

Коммутатор матриц Паули равен:

[V, W] = 2i(\mathbf{v} \times \mathbf{\omega})

(Это соответствует матрице 2i * Matrix(v×ω)).

Подставляем этот результат обратно:

Таким образом, соответствие доказано.

12. Отдельный вопрос про волновое уравнение.

Уравнение с градиентом пространства-времени не похоже на обычное волновое уравнение. Но это именно оно. Чтобы понять это, нужно попробовать возвести уравнение в квадрат

\left(\frac{1}{c} \partial_t+\nabla\right)\left(\frac{1}{c} \partial_t+\nabla\right)=\frac{1}{c^2} \partial_t^2+\underbrace{2 \frac{1}{c} \partial_t \nabla}_{\text {лишний член }}+\nabla^2

Здесь \frac{1}{c} \partial_t - это скалярный оператор, а \nabla - это векторный 3D-оператор

( \nabla=e_1 \partial_x+e_2 \partial_y+e_3 \partial_z ).

Перекрестный член не сокращается. Тогда домножим на сопряженное.

\left(\frac{1}{c^2} \partial_t^2-\Delta\right) F=\bar{D} J

Вот и получили волновое уравнение.

Впрочем, для понимания происходящего можно выписать полностью этот дифференциальный оператор, записанный в левой части

N a b l a_{s t}=\left(\begin{array}{ll}\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y} \\\frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial}{\partial y} & \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial z}\end{array}\right)

А при домножении на сопряженную матрицу слева получается

Первая матрица в физике называется оператором Дирака, а вторая - оператором Клейна-Гордона-Фока. Интересно то, что то, что выведено - алгебра, которая изоморфна геометрии 4D-пространства-времени. При этом использовалось только 3D, это всё само возникло.

Комментарии (54)


  1. GospodinKolhoznik
    20.10.2025 04:12
    #28984020

    бивектор — ориентированный участок плоскости, заданный векторами a и b, с величиной, равной площади образуемого ими параллелограмма.

    Очень понятно написано. Бивектор складывается с числом. Значит это тоже число. Ну там говорится ещё про ориентацию плоскости. А ориентация плоскости в трехмерном пространстве определяется направлением нормали к плоскости. Значит это не число, а пара чисел, определяющих направление и ещё одно число, задающее размер площади. Но как тройку чисел сложить со скаляром? Т.е. это и не сложение вовсе, а какая то неведомая операция. Или все же одно число, а ориентация плоскости задаётся знаком - положительная или отрицательная, может имеется ввиду ориентация вдоль какой то оси? Но какой? Очень хорошее объяснение.

    Возможно все было бы понятнее, если бы у каждой операции была написана её сигнатура. Особенно здесь на Хабре это было бы актуально.


    1. flx0
      20.10.2025 04:12
      #28984134

      Элементы алгебры - это мультивекторы: формальные суммы k-векторов для различных k. Сложение тривектора с числом - это обычное сложение в смысле сложения в линейном векторном пространстве мультивекторов.


      1. GospodinKolhoznik
        20.10.2025 04:12
        #28984298

        Это прекрасно. Если я правильно понял, статья написана для тех, кто уже и так знает всё, что написано в статье.


        1. flx0
          20.10.2025 04:12
          #28984864

          Ну, автор уже писал про алгебры Клиффорда раньше. И я тоже писал. И другие писали. На хабре даже тег есть. Было бы странно каждую статью про них начинать со введения.


          1. CaptainFlint
            20.10.2025 04:12
            #28987248

            А почему нет? Вполне уместно было бы предупредить читателя, что для понимания материала необходимо ознакомиться с такими-то статьями. Теги — это, конечно, хорошо, но, во-первых, они в самом конце; во-вторых, они предполагаются для обозначения тематики, а не для указания областей знаний, которыми должен владеть читатель.

            Формат Хабра не предполагает неявных взаимосвязей между постами, и если такая связь имеется, то считается хорошим тоном об этом явно сообщать. Глупо предполагать, что читатель предварительно полезет в профиль автора и начнёт перечитывать все публикации от начала времён. А если это был не один автор, а коллектив?


            1. master_program Автор
              20.10.2025 04:12
              #28988928

              Ну тут дело в том, что весь необходимый материал для понимания формул в этой статье есть. Геометрическое произведение определено данными формулами полностью. Другое дело, что для полного понимания нужно конечно дать полноценное введение в геометрическую алгебру, но это нужно отдельную статью писать.

              Сам комментарий был связан с непониманием как они складываются, но никакого ответа за этим нет - это формальная сумма. То есть они никак не складываются в том смысле, в котором спрашивается.

              В данном конкретном случае, видимо, стоило написать о том, что суммы бывают формальные. В ближайшее время я отредактирую статью.


              1. CaptainFlint
                20.10.2025 04:12
                #28989278

                Главное непонимание (по крайней мере, у меня) было связано с тем, что нет почти ни одного явного определения. Даже банального: с какими пространствами мы вообще работаем и как устроены всякие операции. Сначала говорится про обычные векторы. Тут же вопрос: сколько измерений, над каким полем? Не сказано. ОК, видимо, произвольные абстрактные. Потом речь идёт про скалярные и векторные произведения, что тут же сужает область определения до трёх или семи измерений; видимо, всё-таки три, ибо 7 — экзотика. Дальше вводится геометрическое произведение, которое, цитирую, "естественным образом содержит в себе обе эти операции", и приводится формула ab = a•b + a∧b, где операция ∧ никак не определяется (вернее, определяется, но рекурсивно, через само же геометрическое произведение). Вынужденно делаю предположение, что раз сказали "содержит обе операции", а первая часть суммы — скалярное произведение, то вторая — это векторное произведение. Странно, что не стандартным крестиком умножения, но предположим. И тут же вопрос: каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором? Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из R×R^3 в какое-то другое пространство. Но в какое? Как устроена эта операция, какие у неё свойства? Непонятно. Предположил для себя, что скаляр и вектор тензорно домножаются на единичный вектор соответствующего партнёра и уже в результирующем 4-мерном пространстве оба суммируются. Но верна ли эта картинка — без понятия. Читаем дальше, и выясняется, что ∧ — это всё-таки не векторное произведение, а какая-то хтонь неведомая, возвращающая бивектор. Здравствуй ещё один неизвестный термин, а главное, это по-прежнему не объясняет, каким образом этот бивектор складывается со скаляром. Ну, наверное, так же, как я выше предположил, разве что вместо R^3 получается, скорее всего, R^6 (опять сомнения). Далее вводится "псевдоскаляр"I = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3. Что это вообще такое? Почему "скаляр" и почему "псевдо"? Что за \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3? Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. Дальше этот псевдоскаляр I, кем бы он ни был, то ли умножается на a∧b, то ли работает как функция с аргументом. Опять никаких определений, гадайте сами…

                И так далее, и тому подобное. Буквально на каждом шагу такие вот спотыкалки. Какие-то вещи более-менее угадываются или предполагаются, какие-то проясняются задним числом после прочтения большей части статьи, а какие-то так и остаются вечной загадкой. В итоге получается не чтение, а сплошное гадание.

                Я понимаю, что одна статья не может покрыть всё. Потому и говорю: если все эти определения есть где-то в другом месте, то надо дать в начале текста ссылку, по которой можно ознакомиться с базовыми терминами, необходимыми для понимания текста.


                1. master_program Автор
                  20.10.2025 04:12
                  #28990212

                  Мы имеем дело с трехмерным пространством. Там же написано - скаляры, векторы, бивекторы и псевдоскаляры, больше ничего.

                  "И тут же вопрос: каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором? Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из R×R^3 в какое-то другое пространство. Но в какое? Как устроена эта операция, какие у неё свойства? "


                  Можно. Это формальная сумма, она никуда не действует.

                  Видите, в чем проблема. Даже после того, как я написал вам, что это формальная сумма и ответа, который вы ищете, просто нет, вы по-прежнему отказываетесь его принимать. А никакого другого ответа на ваш вопрос просто и нет. Эта операция никуда не действует, а свойства у нее точно такие же, как у обычного сложения.

                  Возможно, было бы понятнее, если бы я в статье сразу написал, что операция сложения эта никуда не действует (то есть сумма вектора и бивектора, это просто вектор плюс бивектор, и никакого другого смысла за этим нет), а ее свойства полностью совпадают со свойствами обычного сложения.


                1. master_program Автор
                  20.10.2025 04:12
                  #28990226

                  " Далее вводится "псевдоскаляр"I = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3. Что это вообще такое? Почему "скаляр" и почему "псевдо"?  "

                  Скаляр - потому что он не связан ни с какими направлениями в пространстве. А псевдо - потому что его квадрат равен минус единице.

                  Но вообще это несущественный вопрос, в данном случае псевдоскаляр - это просто общепринятое название мультивектора максимального ранга.

                  Это просто вопрос о названии, а не об определении.


                1. master_program Автор
                  20.10.2025 04:12
                  #28990234

                  " Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. "

                  Предусмотрено. Там даже всё написано

                  e1*e2 = e12 - это бивектор

                  e1*e2*e3 = e123 - это псевдоскаляр (тривектор).

                  Никаких других определений вообще-то и нет.


                1. master_program Автор
                  20.10.2025 04:12
                  #28990240

                  "Здравствуй ещё один неизвестный термин, а главное, это по-прежнему не объясняет, каким образом этот бивектор складывается со скаляром.  "

                  Бивектор со скаляром складывается формально. В тексте написано, что такое бивектор - это просто упорядоченная пара векторов (там даже точнее сформулировано - площадка, мерой которой является площадь и ориентация, потому что две разные площадки с одинаковой площадью и ориентацией в пространстве будут равны между собой).


                1. master_program Автор
                  20.10.2025 04:12
                  #28990246

                  ". Предположил для себя, что скаляр и вектор тензорно домножаются на единичный вектор соответствующего партнёра и уже в результирующем 4-мерном пространстве оба суммируются. Но верна ли эта картинка — без понятия.  "

                  Эта картинка абсолютно неверна.


                1. master_program Автор
                  20.10.2025 04:12
                  #28990292

                  "Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. "

                  Это не так, в тексте это уже предусмотрено. Сумма скаляра с бивектором при умножении на вектор дает сумму вектора с тривектором, потому что вектор умножить на скаляр дает вектор, вектор умножить на бивектор дает тривектор. Если интересно, как выразить это через обычные векторные операции, то будет вот так.

                  a b c=\underbrace{(a \cdot b) c-a(b \cdot c)+b(a \cdot c)}_{\text {Векторная часть }}+\underbrace{(a \cdot(b \times c)) e_1 e_2 e_3}_{\text {Тривекторная часть }}

                  Можете через определения, данные в статье, сами это вывести.


                1. master_program Автор
                  20.10.2025 04:12
                  #28990354

                  " Дальше этот псевдоскаляр I, кем бы он ни был, то ли умножается на a∧b, то ли работает как функция с аргументом. "

                  Он просто умножается. Не надо ничего лишнего додумывать.


                1. master_program Автор
                  20.10.2025 04:12
                  #28990364

                  "Тут же вопрос: сколько измерений, над каким полем? Не сказано.  "

                  То, что написано в первых двух пунктах, работает для пространства с любым количеством измерений. А в третьем пункте уже написано, что дальше мы работаем с 3D.


                1. master_program Автор
                  20.10.2025 04:12
                  #28990398

                  Я так понимаю, ваша главная проблема с пониманием в том, что вы считаете, что сложение и умножение - это некоторые функции от двух аргументов, которые отображают их в какое-то другое третье пространство.

                  Но в математике то это не так. Сложение и умножение - это просто операции, заданные аксиомами сложения и умножения.

                  Ну я могу написать это в начало статьи, чтобы было понятнее.


                  1. Pshir
                    20.10.2025 04:12
                    #28992668

                    Сложение и умножение - это просто операции, заданные аксиомами сложения и умножения.

                    Так вам и пишут, что хорошим тоном считается оставить ссылку на текст, где эти аксиомы приведены, раз вы их уже где-то написали раньше, и повторяться не хотите.


                    1. master_program Автор
                      20.10.2025 04:12
                      #28993010

                      Так это общеизвестные аксиомы: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность. А именно:

                      X + Y = Y + X
                      (X + Y) + Z = X + (Y + Z)
                      X*(Y*Z) = (X*Y)*Z
                      (X+Y)*Z = X*Z + Y*Z

                      Только коммутативности умножения тут нет из обычных аксиом. Но это в тексте написано.

                      Видимо да, стоило написать, что это имеется в виду.


    1. master_program Автор
      20.10.2025 04:12
      #28985608

      Бивектор - это упорядоченная пара векторов, а не число. В геометрической алгебре скаляры складываются с векторами и упорядоченными множествами векторов.

      Здесь же начало статьи как раз и вводит все базовые операции с нуля. Там все правила, по которым действуют в геометрической алгебре, как раз написаны, как и то, что бивектор не является ни числом, ни вектором, а ориентированной площадкой.


    1. master_program Автор
      20.10.2025 04:12
      #28985622

      Я дал к тому же матричную расшифровку через матрицы Паули в этой статье.

      Если чистая алгебра из начала статьи кажется непонятной (хотя тех определений достаточно), можно просто попробовать на матрицах это увидеть всё.


    1. master_program Автор
      20.10.2025 04:12
      #28990554

      На основе Ваших комментариев вписал в статью вот это введение, которое должно покрыть все вопросы, которые Вы задали.


    1. master_program Автор
      20.10.2025 04:12
      #28991484

      Написал еще отдельную статью https://habr.com/ru/articles/958666/ , чтобы ответить на вопросы в комментариях здесь.


  1. VAF34
    20.10.2025 04:12
    #28985434

    Производит впечатление некой формы записи известного явления, для осуществления которой пришлось вводить не совсем очевидные определения. А есть ли примеры задачи, которая была решена, благодаря использованию новой формы уравнений?


    1. master_program Автор
      20.10.2025 04:12
      #28985716

      Во-первых, приблизительно таким образом были созданы сами уравнения Максвелла. Правда, Максвелл записал их в виде "комплексных кватернионов", но такая запись более-менее эквивалентна тому, что написана здесь. Кватернионы - тоже элементы алгебры Клиффорда (они соответствуют сумме скаляра и бивектора), и его запись получается из этой умножением на тривектор или мнимую единицу (у Максвелла электрическое поле вещественная часть кватерниона, магнитное - мнимая, а это собственно означает, что он электрическое поле определил как бивектор, а магнитное как вектор, а здесь всё сделано ровно наоборот - и способ, сделанный здесь, более правильный).

      Почитать об этом можно в работе самого Максвелла J.C. Maxwell. A treatise on electrisity and magnetism. v.2 p. 257(618) "Quaternion expressions for electromagnetic equations", а также тут On the Notation of Maxwell's Field Equations .

      Во-вторых, можно применять в численных методах. Очень популярным является алгоритм FDTD Метод конечных разностей во временной области — Википедия .

      Этот алгоритм придуман без геометрической алгебры, но является частным случаем ее реализации. Геометрическая алгебра позволяет писать координатно-независимые вычислительные схемы на произвольных сетках, в которой скаляры соответствуют вершинам, векторы ребрам, а бивекторы - граням. FDTD можно вывести как частный случай реализации такого подхода ГА к моделированию, примененного к обычной декартовой сетке в 3D (в схеме Йи как раз векторы напряженности поля соответствуют ребрам кубиков, а векторы магнитного поля - их граням).

      В-третьих, есть вопрос педагогический. То, что здесь в статье описано, гораздо понятнее, чем то изложение уравнений Максвелла, которое обычно используется в учебниках.


      1. Pshir
        20.10.2025 04:12
        #28989258

        у Максвелла электрическое поле вещественная часть кватерниона, магнитное - мнимая

        Это как так? У Максвелла вещественная часть кватерниона - скаляр. А электрическое поле у Максвелла явно не является скаляром.

        а это собственно означает, что он электрическое поле определил как бивектор

        А можно пояснить?

        В-третьих, есть вопрос педагогический. То, что здесь в статье описано, гораздо понятнее, чем то изложение уравнений Максвелла, которое обычно используется в учебниках.

        Вы это сейчас серьёзно? Этот способ математически более изящный, но полностью отбрасывает физический смысл происходящего.


        1. master_program Автор
          20.10.2025 04:12
          #28990078

          У Максвелла электромагнитное поле - это комплексный векторный кватернион. Имеется в виду, что его вещественная часть - это векторный кватернион (бивектор) и мнимая тоже векторный кватернион (бивектор). Никакого скаляра там нет.

          Кватернион - это сумма скаляр + бивектор.

          Векторный кватернион - это без скаляра, просто бивектор.


          1. Pshir
            20.10.2025 04:12
            #28992694

            Имеется в виду, что его вещественная часть - это векторный кватернион (бивектор) и мнимая тоже векторный кватернион (бивектор).

            В приведённых вами же ссылках написано не это. Точнее, написано не так, как вы это описываете.


        1. master_program Автор
          20.10.2025 04:12
          #28990154

          Напишу развернутый ответ на основе relworld_08.pdf .

          В кватернионной форме вся система уравнений Максвелла выглядит вот так

          \overline{\mathbb{D}} \mathbb{F}=4 \pi \overline{\mathbb{J}} .

          Компоненты кватерниона тока \mathbb{J} являются плотностями заряда \rho и тока \mathbf{j} :

          \mathbb{J}=\rho+\mathbf{j} \boldsymbol{\sigma}, \quad \overline{\mathbb{J}}=\rho-\mathbf{j} \boldsymbol{\sigma},

          где черта над кватернионом - это его сопряжение (смена знака в векторной части). Аналогично определяется кватернион производной:

          \mathbb{D}=\partial_0-\boldsymbol{\sigma} \nabla, \quad \overline{\mathbb{D}}=\partial_0+\boldsymbol{\sigma} \nabla .

          4 -вектор производной с верхним индексом имеет компоненты \partial^\nu=\partial / \partial x_\nu=\left\{\partial_0,-\nabla\right\}.

          Так как с любым 4-вектором A^\nu=\left\{A^0, \mathbf{A}\right\} мы связываем кватернион \mathbb{A}=A^0+\mathbf{A} \boldsymbol{\sigma}, а пространственные компоненты 4 -вектора \partial^\nu содержат знак минус, он появляется и в векторной части кватерниона производной. Норма кватерниона производной равна оператору Д'Аламбера:

          \mathbb{D} \overline{\mathbb{D}}=\mathbb{I} \partial^2=\mathbb{I}\left(\partial_0^2-\Delta\right) .

          Наконец, третья величина является кватернионом напряженности электромагнитного поля:

          \mathbb{F}=\mathrm{f} \sigma .

          Он не имеет скалярной части, а его векторная часть комплексна:

          \mathbf{f}=\mathbf{E}+\imath \mathbf{B},


        1. master_program Автор
          20.10.2025 04:12
          #28990174

          Физический смысл в том, что электромагнитное поле представляет из себя мультивектор, а уравнения Максвелла - это обычное волновое уравнение для мультивектора.

          Все известные со школьного курса законы электромагнетизма - это уравнения на разные отдельные части мультивектора.


          1. Pshir
            20.10.2025 04:12
            #28992714

            Физический смысл в том, что электромагнитное поле представляет из себя мультивектор

            Привязка к конкретной математической структуре - это не физический смысл. Физический смысл - это связи между измеримыми величинами. И он никак не зависит от конкретного вида математического описания.


  1. dyanishev
    20.10.2025 04:12
    #28986340

    А что-то такое же красивое для Навье-Стокса можно соорудить?


    1. master_program Автор
      20.10.2025 04:12
      #28986510

      Я уже соорудил как раз вчера, и именно из-за этого тут решил написать аналогично тему гораздо попроще. Но там не настолько красивое вышло, и очень странное (очень сильно напоминает квантовую механику).

      Надо там повозиться ещё. Я думаю в ноябре дать это повозиться студентам в ВШЭ на мероприятии под названием "математический воркшоп". Оно будет ориентировочно 15 ноября, участвовать могут не только студенты ВШЭ.

      Здесь размещу в ноябре объявление, в хаб "я парюсь", наверное. С рассказом о прошлом воркшопе.


      1. Jeshua
        20.10.2025 04:12
        #28994938

        И для Шрёдингера тоже сделайте, пожалуйста. Вот красивое про Навье-Стокса и Шрёдингера: https://habr.com/ru/articles/949498/

        А может получится все три в одном совместить)


        1. master_program Автор
          20.10.2025 04:12
          #28996278

          Хорошо, попробую. Спасибо за статью!


  1. grozin
    20.10.2025 04:12
    #28987050

    Ну не знаю. Мне больше нравится запись уравнений Максвелла, когда их Лоренц-инварианьность очевидна: \partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu, \partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0. Время и пространственные координаты должны быть на равных основаниях, мы живём в 4-мерном пространстве-времени. Электрическое и магнитное поле, конечно, должны быть компонентами единого объекта - тензора поля F^{\mu\nu}, тогда их свойства при преобразованиях Лоренца очевидны. А если когда-нибудь откроют магнитные монополи, добавим 4-вектор магнитного тока в правую часть второго уравнения. А Ваша форма записи какая-то кривая с точки зрения пространства Минковского.


    1. master_program Автор
      20.10.2025 04:12
      #28987120

      В мою форму записи сразу встроена метрика Минковского. Преимущество над тензорной в том, что тензорная на координаты завязана, а моя форма является независимой от выбранной системы координат (то есть геометрические величины я сразу могу при необходимости определять в любой версии координат, форма уравнений от этого не меняется).

      Кватернионная форма Максвелла, хотя эквивалентна моей, ближе к современным формам записи, чем моя, потому что кватернион и 4-вектор тут - это одно и то же.

      Чтобы в моей записи получить Лоренц-инвариантность, нужно расписать применение ротора

      F^{\prime}=R(\mathbf{E}+i \mathbf{B}) R^{-1}

      Но похоже да, вариант, который Максвелл нашел изначально, всё же лучше с точки зрения того, чтобы описывать это все сразу в пространстве Минковского.

      У него же там

      (оператор-вектор)(поле-бивектор) = (источник-вектор)

      У бивектора квадрат, собственно, такой же как в пространстве Минковского.

      Надо написать отдельную статью про это.


      1. Pshir
        20.10.2025 04:12
        #28989304

        В мою форму записи сразу встроена метрика Минковского.

        Метрика Минковского встроена в уравнения Максвелла, а не в вашу форму записи. А вот что действительно встроено в вашу форму записи - это чисто эмпирический факт отсутствия магнитных монополей. И это, мягко говоря, странно. Потому что, либо магнитные монополи действительно физически невозможны, и ваша форма записи имеет место быть. Либо они таки существовать могут, и ваша форма записи превращается в тыкву. То есть, на самом деле, вы делаете очень сильное необоснованное заявление о невозможности магнитных монополей.


        1. master_program Автор
          20.10.2025 04:12
          #28990188

          В мою форму записи не встроено отсутствие монополей.

          В правой части уравнения есть скаляр заряда и вектор тока.

          Монополи сюда можно ввести как тривектор в правой части.

          Кроме того, там еще может быть бивектор - видимо, это монопольный ток (аналогичный току движения зарядов).

          Так что никакого запрета на монополи самого по себе тут нет.


    1. master_program Автор
      20.10.2025 04:12
      #28987202

      Тут ведь вся суть во введенном градиенте пространства-времени, смысл его в том, что мультивектор электромагнитного поля подчиняется волновому уравнению, а скорость света - предельная скорость распространения волны.

      Но тогда в такой интерпретации нет фундаментально никакого пространства Минковского. Я всё строил в евклидовом 3-мерном пространстве, никакого 4-мерного пространства-времени не вводил, а Лоренц-инвариантность тут возникает из-за волнового уравнения.


      1. Pshir
        20.10.2025 04:12
        #28989288

        а Лоренц-инвариантность тут возникает из-за волнового уравнения

        Во-первых, вы его даже не написали. Во-вторых, даже если бы написали, то из релятивистской инвариантности волнового уравнения не следует релятивистская инвариантность уравнений Максвелла. В третьих, неужели релятивистская инвариантность волнового уравнения становится более очевидной в предложенной вами форме записи, с учётом того, что уже в традиционной форме записи там всё максимально прозрачно?


        1. master_program Автор
          20.10.2025 04:12
          #28990092

          Вот это и есть волновое уравнение

          \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \cdot I_2+N a b l a\right) F_{m a t}=\frac{1}{\epsilon_0 c} J_{s o u r c e}

          Градиент пространства-времени, написанный слева, как раз и описывает лоренц-инвариантность. Ну в уравнениях Максвелла самих он не столь очевиден, это надо еще его выводить, ротор от ротора вычислять, одни уравнения в другие подставлять.

          Да, в этой записи лоренц-инвариантность намного очевиднее.

          Вы пишите


          "из релятивистской инвариантности волнового уравнения не следует релятивистская инвариантность уравнений Максвелла"

          Так в том то и дело, что в этой форме записи через геометрическую алгебру все 4 уравнения Максвелла превращаются в одно волновое уравнение на мультивектор.

          А в записи, принятой в современных учебниках, связь между волновым уравнением и уравнениями Максвелла совершенно не очевидна.


  1. Pshir
    20.10.2025 04:12
    #28989248

    Можно, пожалуйста, прояснить, каким образом в данной форме записи становится очевидна релятивистская инвариантность?


  1. Crd1
    20.10.2025 04:12
    #28990034

    Спасибо автору. теперь я не хочу в физмат


  1. khdavid
    20.10.2025 04:12
    #28991566

    Спасибо за статью. Бивектор Фарадея очень напоминает Тензор электромагнитного поля:

    Для которого уравнения Максвелла тоже очень просто записываются:

    Первая пара уравнений
    Первая пара уравнений
    Вторая пара уравнений
    Вторая пара уравнений

    Мой вопрос к автору: можно ли провести четкую связь между бивектором фарадея, описанным в статье, и с тензором электромагнитного поля? На глубинном уровне, это, грубо говоря, не одно и то же?


    1. master_program Автор
      20.10.2025 04:12
      #28991664

      В этой моей статье описан оригинальный способ построения уравнений Максвелла через геометрическую алгебру. По крайней мере, я своего способа нигде не видел раньше и найти не удается, придумал сам. У самого Максвелла строилось через кватернионы.
      Кватернионный способ построения ГА соответствует тому, как мы бы строили электродинамику через пространство Минковского. Мой способ - строим просто мультивектор в 3D, никакого времени как дополнительного измерения, а затем пишем на него волновое уравнение. Вся лоренц-инвариантность и тому подобное - это просто свойства волнового уравнения.

      Теперь в контексте этого ответ на ваш вопрос. Тензор энергии-импульса строится уже сразу в 4-мерном пространстве-времени Минковского. Эти 4-векторы в нем являются кватернионами в алгебре Клиффорда в 4-мерном пространстве времени. А у меня тут 3D пространство и время как отдельный параметр, который появляется только в момент написания волнового уравнения (градиента пространства-времени).

      Можно провести глубинную связь с кватернионной записью ГА. А еще можно мою запись превратить в кватернионную, показать изоморфизм между ними. Это тема отдельной статьи.


    1. master_program Автор
      20.10.2025 04:12
      #28992436

      На фэйсбуке знакомый нам обоим физик-теоретик из США написал интересную вещь.

      "Кватернионная форма уравнений Максвелла заточена под 3 пространственных измерения. В этом случае электрическое и магнитное поля имеют одинаковое количество компонент. В других измерениях это не так: число компонент магнитного поля определяется числом пространственных плоскостей.  "

      Так тензор электромагнитного поля тоже имеют эту проблему.

      А моя форма записи этих проблем не имеет. Моя мультивекторная запись электромагнитного поля позволяет единым образом описать электродинамику в любом количестве измерений, там одно и то же волновое уравнение на мультивектор.


      1. khdavid
        20.10.2025 04:12
        #28992686

        Интересно, спасибо. А во многих измерениях, разве есть понимание, как уравнения Максвелла будут выглядеть? Другими словами, есть ли какая-нибудь разумная процедура, по-типу минимизации действия? Или, по-другому выражаясь, есть ли разумный лангранжиан для многих измерений?


        1. master_program Автор
          20.10.2025 04:12
          #28993086

          Насколько я понимаю, этот вопрос решен у теоретиков через многомерную дифференциальную геометрию. Тут я строю альтернативный подход - и, судя по комментариям на фэйсбуке от физиков-теоретиков, которые этим профессионально занимаются, он дает те же самые теории, но иным способом и в иной формулировке.


          1. khdavid
            20.10.2025 04:12
            #28993672

            Спасибо! А для трехмерного случая, изложенного вами, получится написать что-то наподобие лагранжиана? Ведь физики очень любят принцип минимального действия, и все фундаментальные законы получают из него.


      1. Pshir
        20.10.2025 04:12
        #28992926

        Моя мультивекторная запись электромагнитного поля позволяет единым образом описать электродинамику в любом количестве измерений, там одно и то же волновое уравнение на мультивектор.

        Правильно ли я понимаю, что для обобщения на любое количество измерений в вашем представлении, электромагнитное поле должно быть не суммой вектора (E) и бивектора (B), а уже суммой вектора (E), бивектора (B), тривектора (который теперь уже не является псевдоскаляром), квадривектора, ну и так далее, в зависимости от количества пространственных измерений? Тогда было бы полезно описать, что является результатом действия оператора набла на бивектор, тривектор и так далее в пространстве более высокой размерности.


        1. master_program Автор
          20.10.2025 04:12
          #28993080

          Да, правильно понимаете. Действие оператора набла полностью аналогично расписывается в символьной записи. Просто у вас базисные вектора теперь не e1, e2, e3, а e1, e2, .... , en. А вот матричные представления алгебры Клиффорда будут куда сложнее обычных матриц Паули.

          Да, я в этой статье не расписал подробно про оператор набла в алгебре Клиффорда. И почему матричное представление именно такое, как написано. Надо отдельную статью про это написать и тогда сюда в эту статью вставлю ссылку.


        1. master_program Автор
          20.10.2025 04:12
          #28993412

          Ну формулы то в общем такие же

          \nabla=\sum_{i=1}^n e_i \frac{\partial}{\partial x_i}=\sum_{i=1}^n e_i \partial_i


          \nabla M=\nabla \cdot M+\nabla \wedge M\nabla \cdot M=\langle\nabla M\rangle_{k-1}=\sum_{i=1}^n e_i \cdot\left(\partial_i M\right)

          Дальше можно расписать, как действует на поля разного ранга

          Но самое красивое то, что уравнения Максвелла являются в итоге волновым уравнением на мультивектор, которое выглядит абсолютно одинаково в любой размерности пространства и в любой системе отсчета.


          1. Pshir
            20.10.2025 04:12
            #28993636

            Дальше можно расписать, как действует на поля разного ранга

            Да, вот это интересно было бы увидеть. Даже не столько формулу, сколько геометрический смысл.


            1. master_program Автор
              20.10.2025 04:12
              #28994386

              На фэйсбуке один знакомый физик-теоретик из США, который как раз занимается теорией поля и магнетизмом, написал, что скептически относится к этой затее с мультивекторами, потому что то же самое делают дифференциальные формы.

              Ну то же самое может быть, однако формализм другой. Он прислал https://gemini.google.com/share/943fc676cffd

              Написал он мне.

              "Ваше скалярное уравнение (закон Гаусса) получается если взять 1-форму электрического поля, получить дуальную ей 2-форму с помощью оператора Ходжа, чья внешняя производная равна 3-форме плотности заряда. Применяем ещё раз оператор Ходжа и получаем 0-форму (то есть скаляр).

              Те же действия производим с векторным уравнением (закон Ампера). Магнитное поле переделываем оператором Ходжа из 2-формы в 1-форму, чья внешняя производная есть 2-форма. Аналогично преобразуем эл. поле из 1-формы в 2-форму; её производная по времени есть 2-форма. Плотность тока с точки зрения 3-мерного пространства тоже есть 2-форма. Таким образом, закон Ампера есть уравнение для 2-форм. Применив к нему оператор Ходжа, получаем уравнение для 1-форм (то есть векторов)."

              Еще он посоветовал книгу изучить, в которой через дифференциальные формы физика переписана

              https://ia601409.us.archive.org/11/items/in.ernet.dli.2015.134154/2015.134154.Applied-Differential-Geometry.pdf