Что скрывается за «плюс» и «умножить»? От школьной арифметики до геометрической алгебры / forpes.ru

Главная
Что скрывается за «плюс» и «умножить»? От школьной арифметики до геометрической алгебры

Что скрывается за «плюс» и «умножить»? От школьной арифметики до геометрической алгебры +14

21.10.2025 10:34

master_program 66 1800 Источник

Недавно один из читателей оставил развернутый комментарий к моей статье, в котором очень точно описал чувство растерянности при первом знакомстве с геометрической алгеброй. Он пишет:

«Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из $R \times R^3$ в какое-то другое пространство. Но в какое?»

Этот вопрос абсолютно закономерен и бьет в самую суть. Путаница возникает из-за того, что новые идеи часто подаются без явного описания той математической структуры, на которой они живут. Давайте построим ее с нуля.

Часть 1. Что такое операция? Замкнутость — это ключ

Начнем с самого простого. Что такое сложение чисел? Это не какая-то произвольная функция. Это бинарная операция, определенная на множестве, например, действительных чисел $\mathbb{R}$ . Формально, это функция вида:

$+ : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Она берет два элемента из множества $\mathbb{R}$ и возвращает третий элемент, который гарантированно принадлежит тому же самому множеству $\mathbb{R}$ .

Это свойство называется замкнутостью.

Мы настолько к этому привыкли, что не замечаем его важности. Сумма двух чисел — снова число. Произведение двух чисел — снова число. Мы никогда не выходим за пределы нашего «мира чисел». Часто при объяснении умножения вещественных чисел его интерпретируют как площадь. Но умножение — это не площадь. Это число.

Читатель интуитивно чувствует подвох, когда операция начинает порождать объекты другой природы (например, умножение длин дает площадь). Это фундаментальное заблуждение, которое мешает двигаться дальше.

Давайте представим числа не абстрактно, а как длины отрезков.

Сложение отрезков: взять два отрезка и , приложить их друг к другу. Получится новый отрезок . Операция замкнута: отрезок + отрезок = отрезок.
Умножение отрезков: как перемножить два отрезка и и получить третий отрезок? Очень просто, с помощью подобных треугольников.

Нужно взять единичный отрезок 1. Тогда из подобия треугольников следует, что , откуда . Мы взяли два отрезка (длины) и получили третий отрезок (длину). Операция умножения на множестве длин — замкнута.

Когда мы говорим, что 3 м 5 м = 15 м², мы совершаем подмену понятий. Математическая операция: $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ всегда возвращает число. А вот уже физическая интерпретация этого числа может быть разной: площадь, работа, энергия. Но сама операция живет внутри одного поля чисел.

Вывод №1:

Любая алгебраическая операция (сложение, умножение) определяется на некотором множестве и должна быть замкнута. Она не выводит нас в «другие пространства».

Часть 2. Строим новое пространство: геометрическую алгебру

Теперь ключевой момент. Как же тогда мы можем складывать скаляр и вектор? Ответ: мы не можем. По крайней мере, не в привычных нам пространствах $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^n$ .

Геометрическая алгебра — это не набор операций над старыми пространствами. Это построение нового, единого и более богатого пространства, внутри которого эти операции становятся естественными и, что самое главное, замкнутыми.

Давайте его построим.

У нас есть обычное векторное пространство $\mathbb{R}^n$ над полем скаляров $\mathbb{R}$ . В нем живут векторы. Это наши исходные материалы. На них мы будем строить.

Мы хотим ввести новую операцию — геометрическое произведение, обозначаемое просто написанием рядом (например, ). Мы не знаем, что это такое, но мы хотим, чтобы оно подчинялось нескольким простым и разумным аксиомам:
- Ассоциативность:
- Дистрибутивность:
- Связь с метрикой (самая важная аксиома!): для любого вектора его квадрат должен быть равен скаляру — квадрату его длины: $v^2 = v \cdot v = |v|^2$ .
Наше новое пространство, которое мы назовем Геометрической Алгеброй $\mathcal{G}_n$ , — это множество всех возможных объектов, которые можно построить из наших векторов с помощью сложения и нового геометрического произведения, не нарушая аксиом.

Что же это за объекты?

Скаляры (числа) уже там, так как — это скаляр.
Векторы там по определению.
Произведения двух векторов, например . Это новый объект!
Произведения трех векторов, например . И это новый!
И, что самое главное, их суммы.

Элемент нашего нового пространства $\mathcal{G}_n$ — это мультивектор. В общем виде в 3D он выглядит так:

$M = \underbrace{\alpha}_{\text{скаляр}} + \underbrace{(v_1 e_1 + v_2 e_2 + v_3 e_3)}_{\text{вектор}} + \underbrace{(b_1 e_2 e_3 + b_2 e_3 e_1 + b_3 e_1 e_2)}_{\text{бивектор}} + \underbrace{\beta (e_1 e_2 e_3)}_{\text{тривектор}}$

Это один-единственный элемент нашего нового пространства $\mathcal{G}_3$ .

Теперь можно ответить на главный вопрос читателя.

«Каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором?»

Ответ:

Оператор «плюс» в выражении $a \cdot b + a \wedge b$ — это операция сложения в пространстве $\mathcal{G}_n$ . Она берет два мультивектора и возвращает третий. Скаляр $s = a \cdot b$ — это просто частный случай мультивектора, у которого все компоненты, кроме скалярной, равны нулю. Бивектор $B = a \wedge b$ — это другой частный случай мультивектора. Их сумма — это новый мультивектор, у которого не равны нулю и скалярная, и бивекторная компоненты.

Это абсолютно аналогично тому, как мы складываем действительное и мнимое число. Мы не можем сложить 3 и 4i и получить действительное число. Но мы можем рассмотреть их как элементы нового, более богатого пространства комплексных чисел $\mathbb{C}$ , и их сумма будет полноценным элементом этого пространства.

Вывод №2:

Геометрическая алгебра — это не набор операций, которые выводят нас из $\mathbb{R}^n$ в «другие пространства». Это новое, единое пространство $\mathcal{G}_n$ , построенное из векторов, в котором все операции (сложение и геометрическое произведение) замкнуты.

Часть 3. Ответы на оставшиеся вопросы

Теперь, когда у нас есть прочный фундамент, остальные вопросы проясняются сами собой.

Что такое $a \wedge b$ ?
Это не какая-то «хтонь неведомая». Это просто антисимметричная часть геометрического произведения, определяемая через него:

$a \wedge b = \frac{1}{2}(ab - ba)$

А скалярное произведение — это симметричная часть: $a \cdot b = \frac{1}{2}(ab + ba)$ .

Отсюда и рождается знаменитая формула $ab = a \cdot b + a \wedge b$ .

Объект $a \wedge b$ называется бивектором.

Геометрически он представляет ориентированную плоскость.

Что такое псевдоскаляр ?

Это просто результат последовательного геометрического умножения трех ортогональных базисных векторов. Благодаря аксиоме ассоциативности, это вполне корректная операция:

— это бивектор (плоскость XY).
Умножая его на (вектор, перпендикулярный этой плоскости), мы получаем новый объект высшего ранга в 3D — тривектор.

Почему «псевдоскаляр»?

Потому что в 3D пространстве есть только один базисный тривектор (), и любой другой тривектор ему пропорционален (например, $\beta (e_1 e_2 e_3)$ ). То есть он ведет себя почти как скаляр (описывается одним числом $\beta$ ), но с одним отличием: он меняет знак при смене ориентации пространства (например, при переходе от правой тройки векторов к левой). Отсюда приставка «псевдо». Кроме того, квадрат единичного тривектора равен минус единице, что также отличает его от скаляра.

Комментарии (66)

avshkol
21.10.2025 11:29
#28991748
Нужно взять единичный отрезок 1. Тогда из подобия треугольников следует, что , откуда . Мы взяли два отрезка (длины) и получили третий отрезок (длину). Операция умножения на множестве длин — замкнута.

Я не математик, поэтому вот тут затупил сразу... Откуда тут взялись подобные треугольники? Можно как-то их нарисовать?
1. master_program Автор
  21.10.2025 11:29
  #28991848
  Да, я могу нарисовать. Немного позже притащу рисунок и вставлю в статью. Завтра, думаю.
  
  Подобные треугольники при построении умножения над отрезками строятся из общего угла (отрезки отмеряются от вершины этого угла вдоль лучей угла). Они нужны, чтобы задать умножение отрезков и деление отрезков.
  1. Arastas
    21.10.2025 11:29
    #28992438
    Я, наверное, что-то не понял, но любые две стороны треугольника строятся из общего угла?
1. artptr86
  21.10.2025 11:29
  #28992540
  1. master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #28992898
    Да, я это хотел нарисовать и прислать. В статью добавлю завтра.
  1. avshkol
    21.10.2025 11:29
    #28992944
    Здесь мне видится контринтуитивное:
    
    а и b равнозначны
    
    но ab параллельно a и перпендикулярно b - тут равнозначность теряется.
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #28993112
    А тут направление не имеет значения, только длина.
    
    Но я вообще планировал всё-таки чуть-чуть другой рисунок - все величины на сторонах угла, а не на третьих сторонах треугольников.
    
    avshkol
    21.10.2025 11:29
    #28993444
    Физическое чутье показывает, что направление (параллельность и перпендикулярность) имеет значение... Перпендикулярность - уход в другое измерение, другую ось, и это существенно...
    
    Покажите альтернативный треугольник...

avshkol
21.10.2025 11:29
#28991770
Когда мы говорим, что 3 м 5 м = 15 м², мы совершаем подмену понятий. Математическая операция: $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ всегда возвращает число. А вот уже физическая интерпретация этого числа может быть разной: площадь, работа, энергия. Но сама операция живет внутри одного поля чисел.

Меня всегда удивляло это: почему в математике есть куча всего (от множеств но каких-то невообразимых понятий), но нет понятия размерности, интуитивно понятного физикам?..
1. master_program Автор
  21.10.2025 11:29
  #28991880
  Да, это в самом деле удивительный вопрос. Он распадается на два
  
  1. Арифметические операции у физиков и у математиков понимаются по-разному. Как выяснилось в комментариях к прошлой статье - у программистов вообще третий способ восприятия и понимания их (через сигнатуры).
  
  2. Математики почему-то не построили математику с размерностями.
  
  Впрочем, насчет второго, это вроде несложная вещь. Просто нужно ввести базовые размерности, а потом с ними работать. Но получается - числа отдельно, размерность отдельно. Соответственно, при умножении двух физических величин - умножение чисел и умножение размерностей друг на друга независимо друг от друга происходят.
  1. Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #28991914
    при умножении двух физических величин - умножение чисел и умножение размерностей друг на друга независимо друг от друга происходят.
    
    Они происходят так же, как при символьном умножении одночленов. Никакой мистики. Я крайне удивлён, что для Вас это не очевидно. Мы, например, в школе на физике всё расчёты так делали: вычислить нужно и значение, и её размерность.
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #28992066
    Казалось бы да, можно просто как формальные многочлены определить эти размерности. Но тут есть одна проблема.
    
    Безразмерная физическая величина - например, постоянная тонкой структуры, это тоже физическая величина и она на самом деле имеет размерность, 1.
    
    Эта единица при таком подходе математические совпадает с 1, которая просто число. Но по смыслу это разные единицы.
    
    Одна единица - это просто такая нулевая размерность, другая - числовая единица.
    
    А вот если сделать числа и размерности параллельными структурами, то такой проблемы не возникнет, эти две единицы будут в разных пространствах.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #28992088
    Безразмерная физическая величина - например, постоянная тонкой структуры, это тоже физическая величина и она на самом деле имеет размерность, 1.
    
    Это лирика. А физика в том, что при вычислениях это просто число.
    
    Но по смыслу это разные единицы.
    
    Вы вводите лишнюю сущность, чтобы создать проблемы, а потом мужественно их решать. По смыслу - это просто единица.
    
    А вот если сделать числа и размерности параллельными структурами, то такой проблемы не возникнет, эти две единицы будут в разных пространствах.
    
    Только такой подход создаёт столько дополнительных проблем, что лучше так не делать.
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #28992150
    При умножении да, при сложении нет. Вот, например, не имеет смысла складывать постоянную тонкой структуры с числом Пи, точно также как не имеет смысла метры с килограммами складывать. При этом вполне имеет смысл любую степень безразмерной константы складывать с самой с собой (многие физические выражения это используют), а квадратный метр с метром - не имеет смысла.
    
    Так что тут для формализации нужно определить особую, нулевую размерность. А насчет умножения, так обычные размерные величины умножать друг на друга можно тоже.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #28993654
    Вот, например, не имеет смысла складывать постоянную тонкой структуры с числом Пи
    
    Почему?
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #28992158
    Если пытаться полностью формализовать теорию размерностей, боюсь, огромного числа дополнительных проблем не избежать.
    
    avshkol
    21.10.2025 11:29
    #28993474
    В физике же обходятся размерностью, без дополнительных проблем...
    
    Кстати, у пи размерность не единица, а метр/метр по определению ) Поэтому обычно пи ни с каким числом не складывается... а если складывается, то с радианом, который отношение дуги к радиусу, т.е. тоже метр/метр...
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #28994160
    Число Пи появляется из разных задач, в том не требующих длин.
    
    Радиан - да, хороший пример размерности нулевой степени. То есть с одной стороны это нулевая размерность, с другой - углы с числами бессмысленно складывать.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #28997192
    углы с числами бессмысленно складывать.
    
    Отнюдь. Мне случалось складывать углы с обезразмеренным временем.
    
    Углы - это по сути обезразмеренные длины дуг. При обезразмеривании формул порой очень неожиданные сложения возникают. Физический смысл которых становится понятен, только если развернуть метод обезразмеривания каждой величины.
    
    Короче, практика физических вычислений показывает, что числа - это просто числа.
  1. avshkol
    21.10.2025 11:29
    #28993494
    Математики почему-то не построили математику с размерностями.
    
    Хм, чем не исследовательская задачка для GPT-5? Только корректно сформулировать задачу... и n раз давать очередное решение ей же (и другим LLM) на критику...
    
    artptr86
    21.10.2025 11:29
    #28994152
    Алгебра размерностей давным давно известна
1. Zenitchik
  21.10.2025 11:29
  #28991896
  Я понял. Я внезапно понял. Дело в том, что физические вычисления делаются не в поле R, а в поле, расширенном
  $R\cup\left\{n\in Z|м^n \right\}\cup\left\{n\in Z|кг^n \right\}\cup\left\{n\in Z|с^n \right\}\cup\left\{n\in Z|А^n \right\}$
  В этом поле умножение физических величин замкнуто. Правда, сложение не всегда имеет смысл.
  1. master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #28992084
    Осталось только определить правильно операции над этой структурой.
  1. artptr86
    21.10.2025 11:29
    #28992992
    Дело в том, что размерность не определяет физический смысл величины. Она не представляет сам тип физической величины, а только инвариант этого типа. То есть, это необходимое, но не достаточное условие осмысленности операций, а потому определение физической величины как пары (числовая величина; размерность), строго говоря, не имеет смысла. Это только удобный инструмент для первичной валидации формул.
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #28993182
    Если так подходить, то можно формализовать просто как многочлен.
    
    artptr86
    21.10.2025 11:29
    #28993200
    Строго говоря, ввести абелеву группу размерностей. Да, это легко и для целей первичной валидации подходит, чем все и пользуются.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #28993666
    Так я именно об этом с самого начала и говорил. И этот формализм - продуктивный. Я им успешно пользуюсь, сколько вообще физику изучаю (в каком там она классе изучается).
1. Seraphimt
  21.10.2025 11:29
  #28994100
  Как это нет ? Размерность, например, пространства - число элементов в базисе этого пространства

Zenitchik
21.10.2025 11:29
#28991868
мы совершаем подмену понятий.

Неправда ваша.
$2a\cdot5a=10a^2$
Ничего удивительного, правда? Так почему при замене буквы "a" на букву "м" Вы начинаете говорить о подмене понятий?

Просто представьте себе, что физическая величина - это константа, не выразимая числом, а потому с ней при вычислениях приходится работать символьно. И всё встанет на свои места.
1. master_program Автор
  21.10.2025 11:29
  #28991916
  Так дело в том, что размерность - это не константа. И число на размерность не умножается.
  
  Мы говорим 5 метров, а не число 5 умножить на метр.
  
  Но как-то так, как вы пишите, можно формально ввести теорию размерностей аксиомами.
  
  Проблема в том, что часто встречается объяснение умножения как площади. И это объяснение игнорирует замкнутость операции умножения.
  1. Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #28991936
    И число на размерность не умножается.
    
    Формулы говорят обратное. Если мы проследим, как ведут себя размерности при физических вычислениях, мы обнаружим, что они ведут себя как константы в одночленах.
    
    Этого достаточно, чтобы именно так к ним и относиться.
    
    А вот если упираться рогом и отказываться от этого простого соображения - тогда да, возникают проблемы.
    
    5 метров
    
    Пять чашек, пять рублей, пять карандашей. Что это, если не умножение?
  1. GrinFil
    21.10.2025 11:29
    #28992178
    Насколько я могу судить, размерность это буквально константа в мнемоническом виде.
    
    5 метров = 5 * 100см и т.д. То-есть метр здесь - некое фиксированное пространство взаимозаменяемых значений.
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #28992234
    Тут становится всё не так просто, как только мы начинаем разные размерности друг на друга делить и умножать.
    
    Во-первых, в разных системах размерности не совпадают, и одни и те же величины могут в одной системе иметь разные размерности, в другой - одинаковые.
    
    Во-вторых, даже если размерность величин со сложной размерностью одинаковая, то вообще-то это не значит, что их можно складывать. Например, момент силы складывать с энергией не получится, хотя у них одинаковые размерности в СИ.
    
    В-третьих, можно сказать, что систему размерностей мы не можем вводить произвольным образом, и при этом если величины можно складывать между собой - то в любой корректно введенной системе размерностей они имеют одинаковую размерность, а если не можем - в некоторых она одинаковая, в других нет.
    
    В-четвертых, есть еще безразмерные величины, они безразмерные в любой корректно введенной системе, но при этом складывать их не всегда можно.
    
    В-пятых, надо подумать, существуют ли размерные величины, которые нельзя складывать, но при этом у них одинаковая размерность в любой системе. Момент силы с работой или энергией к таковым не относятся, потому что в некоторых системах величин они имеют разную размерность.
    
    В-шестых, нужно как-то строго определить, а что такое корректно введенная система величин и их размерностей. Физически это понятно интуитивно, а как всё-таки формализовать?
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #28993682
    Тут становится всё не так просто, как только мы начинаем разные размерности друг на друга делить и умножать.
    
    Как раз наоборот, пока мы ТОЛЬКО делим и умножаем (и возводим в рациональные степени) - всё легко и просто. Трудности возникают при сложении.
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #28993712
    Точнее говоря, проблемы возникают, когда мы складываем размерные величины, которые были получены перед этим делениями и умножениями.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #28993718
    Не обязательно. Проблемы могут возникать (а могут не возникать) независимо от того, как были получены размерные величины.
    
    И, что характерно, если они возникают - значит где-то ошибка.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #28997970
    одни и те же величины могут в одной системе иметь разные размерности, в другой - одинаковые.
    
    Приведите пример.
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #28998544
    Емкость конденсатора. В СГС его размерность - сантиметр. А в СИ будет
    $\frac{\mathrm{c}^4 \cdot \mathrm{~A}^2}{\mathrm{~к} г \cdot \mathrm{м}^2}$
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #28998648
    В СГС его размерность - сантиметр.
    
    Это артефакт некорректной записи. На самом деле не сантиметр, а сантиметр, умноженный на ёмкость шара радиусом 1 см.
    
    Кстати, ещё один хороший пример. Почему ВАр (вольт-ампер реактивный) нельзя складывать с Джоулем? Потому что ВАр = Дж*i (мнимую единицу).
    
    alcotel
    21.10.2025 11:29
    #29004170
    Не артефакт. Физический смысл в том, что ёмкость в вакууме определяется только геометрией. Ёмкость ведра вычисляется как [см х см х см]. Ёмкость конденсатора - это [см х см / см]. Также, как удельное сопротивление кратко записывается как [Ом х см], но на самом деле это [Ом x см х см / см]. В СГС просто электрическая постоянная безразмерна.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #29004444
    В СГС просто электрическая постоянная безразмерна.
    
    Ну я и говорю: в СГС авторским произволом назначили электрическую постоянную безразмерной, что физически некорректно.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #29004524
    ВАр = Дж*i (мнимую единицу)
    
    Посыпаю голову пеплом.
    
    ВАр = Вт*i, конечно же!
    
    alcotel
    21.10.2025 11:29
    #29004114
    Удельный импульс, например. В СГС это секунда, но физического смысла, как единица времени, он не имеет.
    
    Количество с одной стороны безразмерно, и при расчёте числа, например, багажных мест можно сложить количество крокодилов и ящиков бананов. Но складывать число крокодилов, например, с количеством оборотов - не представляю задачу, где это понадобится.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #29004520
    В СГС это секунда
    
    Не в СГС, а в МКГСС.
    
    И УИ в секундах можно интерпретировать как время, за которое расходуется 1 кг топлива при тяге в 1 кгс.
    
    Но складывать число крокодилов, например, с количеством оборотов - не представляю задачу, где это понадобится.
    
    Я тоже. Но после моего опыта приведения формул к безразмерному виду, не удивлюсь, если бывает и такое.
    
    alcotel
    21.10.2025 11:29
    #29004590
    Да, там эта хитрая секунда выходит, когда кг делят на кгс. То есть, у них ускорение свободного падения на Земле - безразмерная константа 1, что-ли?
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #29004902
    когда кг делят на кгс.
    
    В МКГСС нет кг. Там есть только кгс. И УИ отнесён к стандартному весу, а не к массе.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #29000316
    Например, момент силы складывать с энергией не получится, хотя у них одинаковые размерности в СИ.
    
    Я понял в чём прикол. Момент силы - это векторная величина. Причём модуль момента силы равен работе, совершаемой оным моментом за единичный угол. Всё сходится.
    
    Я, кажется, сформулировал свою позицию: если декларировать, что однородные величины должны иметь одинаковую размерность, а разнородные разную, то найдётся способ разрешить кажущиеся коллизии единиц измерения.
    
    Если две величины имеют одинаковую размерность, но их сумма не имеет физического смысла, значит на самом деле размерность не одинаковая, просто физики решили не записывать какую-то часть размерности (например, мнимую единицу, или константу, оговорённую в определении единицы измерения).
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #29005230
    Да, это хороший тезис, под полной формализацией теорией размерностей неплохо было бы иметь в виду именно это. Но как этого достичь?
    
    Если вы определяете момент силы через работы, то так хорошо, радианы есть.
    
    А если определять момент силы на плоскости просто как cross-product? Тогда это число, а не вектор, выходит. И с работой всё равно нельзя складывать
    
    Впрочем, тут, возможно. и может помочь геометрическая алгебра, потому что момент силы является бивектором в любой размерности пространства.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #29005334
    Но как этого достичь?
    
    На практике - уже достигнуто. Вернее: проблемы решаются по мере поступления. Если не закрывать глаза дополнительные множители (мнимую единицу, единичный вектор или константу), отличающие величины друг от друга, то всё в порядке. Я никогда не пытался найти и решить все коллизии, но все, с которыми сталкивался в своих задачах - разрешил.
    
    А если определять момент силы на плоскости просто как cross-product?
    
    А не надо так делать.
    
    момент силы является бивектором в любой размерности пространства.
    
    Это интересно. А угол поворота - тоже?
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #29005472
    Генератор поворота - бивектор, он включает в себя и угол (скаляр), и плоскость поворота. В геометрической алгебре момент силы и сила - это лишь компоненты одного мультивектора - динамы.
    
    Кроме того, есть моторы - единые величины, состоящие из поворота и перемещения.
    
    Произведение динамы на мотор описывает 4 вида физических эффектов сразу, в каждом из которых по 2 закона в обычном теормехе.
    
    1. Скалярная часть включает в себя 2 закона - работа силы и работа момента силы
    $\langle W M\rangle_0=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}+\langle\boldsymbol{\tau} \boldsymbol{\Theta}\rangle_0$
    2. Векторная часть описывает гироскопические силы (трансляционная и прецессионная)
    $\langle W M\rangle_1=\mathbf{F} \cdot \boldsymbol{\Theta}+\boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{d}$
    3. Бивекторная часть - изменение момента импульса за счет прямого действия момента силы + гироскопического эффекта (прецессия гироскопа)
    $\langle W M\rangle_2=\mathbf{F} \wedge \mathbf{d}+\langle\boldsymbol{\tau} \boldsymbol{\Theta}\rangle_2$
    4. Тривекторная часть - работа, совершаемая против сил реакции в связях. Называется также мерой некоаксиальности динамы и мотора
    $\langle W M\rangle_3=\mathbf{F} \wedge \boldsymbol{\Theta}+\boldsymbol{\tau} \wedge \mathbf{d}$
    Рассмотрение этого требует отдельной статьи.
    
    Но похоже да, с размерностями там всё прекрасно.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #29005482
    ~~ниасилил, потом осилю~~
    
    Чтобы понять на вскидку, мне не хватает подготовки. Порекомендуйте литературу.
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #29005632
    Там на английском всё. Но гораздо больше помогает просто самостоятельно повыводить, так как в литературе по геометрической алгебре часто встречаются какие-то неточности.
    
    В первую очередь есть основополагающий труд Хестенеса https://www.academia.edu/26337319/New_Foundations_for_Classical_Mechanics_livro - тут можно скачать.
    
    Еще можно у LLM спрашивать, но с ними надо осторожно, все выкладки вручную перепроверять - они иногда глючат.
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #29005534
    Единый закон движения твердого тела, объединяющий и $\tau=d L / d t$ , выглядит так:
    $W=\dot{P}$
    Здесь P - это обобщенный импульс (импульс + бивектор момента импульса).
    
    Если его домножить на импульс, потом взять первообразную, то получим как раз сразу кучу законов сохранения, соответствующих тому, что в предыдущем сообщении я написал.
    
    В книгах по теормеху на вывод и описания этих законов тратят много страниц. Отдельно расписывают подробно такие частичные компоненты, например, как сила Кориолиса. Некоторые из них опускаются и не приводятся из-за сложности изложения в обычных курсах теормеха, но присутствуют лишь в некоторых специализированных (например, по динамике машин, там тривекторные куски отсюда используются и имеют свои названия, или по теории гироскопов отдельно изучают эти эффекты).
    
    А тут можно как бы сразу всё это получить, а потом остается всего лишь проинтерпретировать, картинку нарисовать. И вместо материала, который нигде не приведен весь в одном учебнике, а куски, которые приведены, занимают десятки и сотни страниц - дать в одном параграфе, в котором совсем немного формул и много иллюстраций с объяснением физического смысла происходящего.
    
    Просто дело в том, что обычные векторы дают слишком сложный и неочевидный, порой избыточно длинный вывод вот этого всего, что тут легко получается.
    
    Zenitchik
    21.10.2025 11:29
    #29005548
    Кстати, нашёл ещё один похожий пример: идеальная скорость ракеты. Это скалярная величина, измеряющаяся в единицах скорости, и характеризующая энергию, доступную ракете для совершения манёвров (приращений скорости).
    
    Точно так же, нет смысла складывать её со скоростью, да и невозможно, потому что скорость - векторная величина. Однако скорость, модуль которой равен идеальной скорости ракеты - имеет физический смысл, как наибольшая скорость, которую ракета может отработать.
    
    Туда же - характеристическая скорость манёвра. Т.е. расход идеальной скорости на манёвр. Если бы ХС манёвров нельзя было складывать между собой - то и вводить такую величину не было бы смысла.

wataru
21.10.2025 11:29
#28998478
Надо было сразу же начать с комплексных чисел. Это очень хороший пример, его стоит поставить повыше.

CaptainFlint
21.10.2025 11:29
#28999890
Наконец-то я смог добраться до этой статьи. Спасибо за разъяснения; в принципе, примерно такая картина у меня самого и сложилась, и тоже по аналогии с комплексными числами.

Собственно, я именно это и имел в виду, когда упоминал тензорное домножение на парный элемент. То есть сложение скаляра с вектором выводит нас из двух отдельных пространств и в новое пространство . Скаляр конвертируется в элемент этого нового пространства с нулевой векторной компонентой: было число 5, стал элемент [5, (0,0,0)]; а вектор, соответственно, в элемент с нулевой скалярной компонентой: (1,2,3) -> [0, (1,2,3)]. И дальше эти элементы нового пространства складываются по стандартным привычным правилам, покомпонентно. Ну и бивекторы-тривекторы аналогично.

Я бы в статье ещё предложил расписать явным образом, как так получается, что сначала мы через "стыковку" обозначаем геометрическое произведение, а потом через ту же "стыковку" для уже получаются бивекторы, которые до этого обозначались через $\wedge$ . Да, можно додуматься самостоятельно, что скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, и поэтому $e_1e_2 = e_1 \wedge e_2$ . Но всё же когда речь идёт о введении базовой терминологии, имеет смысл такие отклонения в обозначениях подчёркивать явным образом.
1. wataru
  21.10.2025 11:29
  #28999980
  Только там не $R \times R^3$ , там $R \times R^3 \times R^3 \times R$ . Потому что скаляры, ветора, бивекторы, псевдоскаляры и умножение умеет любые комбинации этих объектов переваривать.
  1. CaptainFlint
    21.10.2025 11:29
    #28999994
    Да, я просто описывал базовую схему и уточнил, что аналогично должны будут добавиться и остальные компоненты.
1. master_program Автор
  21.10.2025 11:29
  #29000212
  Насчет стыковки ответ простой. Внутреннее произведение e1 на e2 равно нулю, поэтому внешнее произведение и геометрическое базисных векторов - одно и то же.
  
  Так что догадались вы правильно.
1. master_program Автор
  21.10.2025 11:29
  #29000216
  На самом деле я благодарен за все эти вопросы, потому что сейчас пишу книгу по вычислительной математике и алгоритмам, там первые 3 главы про прикладную геометрическую алгебру, нужно написать максимально простым языком с минимумом формул, больше примеров и кода на Питоне. Поэтому нужно понять, как лучше изложить. Здесь же на Хабре принцип минимума формул не нужен, но хотя бы можно понять, какие проблемы могут быть у тех, кто будет читать текст.
  
  Рукопись книги сдам к 1 февраля, выйдет в печать где-то весной.
  1. CaptainFlint
    21.10.2025 11:29
    #29000402
    Тогда хочу отметить ещё одну особенность текста, которая ощутимо мешает разбираться в новой теме. Прошу прощения за многословность, просто это всё скорее на уровне ощущений, и очень трудно сформулировать конкретные замечания. Я бы сказал, что тексту не хватает какой-то целостности, связности, последовательности изложения. Обычно учебники построены так, чтобы каждый факт, каждый термин по ходу изложения полностью опирался на уже изученный материал и только на него. Здесь же (как в предыдущей статье, так и в этой) встречаются формулировки, которые изначально остаются непонятными, а проясняются только потом, после прочтения дополнительных абзацев.
    
    Постараюсь пояснить на конкретных примерах.
    
    1.
    
    Произведения двух векторов, например . Это новый объект!
    
    Вы пишете "например", но в качестве примера даётся очень специфический объект. Не какие-то произвольные два вектора, а именно базисные. И становится непонятно, это всё-таки пример и можно взять любую другую пару векторов (но тогда слова "новый объект" уже будут неверными, ибо пара коллинеарных векторов даст скаляр), или же тут обязательно должны быть базисные векторы. Требуется дочитать всю главу про произведение и его свойства, чтобы понять, как бивекторы связаны с геом.произведением и в каких случаях какие дают результаты. Но если мы сами разобрались, то сам этот пример выше оказывается ненужным, он нам никак не помог.
    
    2.
    
    Вы определяете геометрическое произведение как сумму скаляра и бивектора. А бивектор — как разницу геометрических произведений. Получается рекурсивное определение, где два термина просто ссылаются друг на друга, но ни тот, ни другой не объяснён. Опять же, только после полного прочтения почти всей статьи можно сделать осторожные выводы, что бивекторы можно формально определить просто как ориентированные пары, ввести попарные бивекторные произведения базисных векторов в качестве базиса для бивекторов и исходя из этого сообразить, как оно работает уже для произвольной пары векторов. И попутно догадаться, почему же в формуле применяется геометрическое произведение для базисных векторов, а не бивекторное.
    
    3.
    
    Что такое псевдоскаляр ?
    
    Это просто результат последовательного геометрического умножения трех ортогональных базисных векторов.
    
    <…>
    
    Умножая его на (вектор, перпендикулярный этой плоскости), мы получаем новый объект высшего ранга в 3D — тривектор.
    
    Весь абзац здесь сформулирован так, словно мы уже полностью разобрались, что такое геометрическое произведение и знаем все его свойства, а тут просто повторяются уже известные истины на конкретном иллюстрирующем примере. Последнее из процитированных предложений, насколько я понимаю, должно было служить определением тривектора. Вместо этого оно выглядит так, будто мы уже прекрасно знаем всё о би- и тривекторах, и просто рассматриваем этот пример как подтверждение и закрепление пройденного материала. "Вот взяли то, проделали это, и — видите? — получилось такое-то." Чисто формально вроде как подход имеет право на существование. Но слишком уж резко он контрастирует со всеми общепринятыми учебными практиками, и потому порождает сомнения и недоумения: а что, я действительно уже всё это должен был знать и понимать? Невольно лезешь обратно в начало документа в поисках пропущенного или недопонятого материала, но ничего не находишь… В общем, такой тонкий момент, что вроде в тексте всё правильно — но производит совсем не тот эффект, который нужно.
    
    ____________
    
    Мне кажется, подачу материала необходимо кардинально переработать. Подойти гораздо более формально, задать базовые определения — необязательно через адский матан, просто как факт того, что вот такая штука существует, называется так-то и обладает такими-то главными свойствами. И дальше уже опираться на этот фундамент.
    
    К примеру, для меня наиболее ключевыми объектами оказались би- и тривекторы. Поэтому я бы дал им определения в самом начале. Для начала хотя бы просто как условные ориентированные пары/тройки векторов. Показать, как с этими объектами работать, как произвольная пара векторов формирует бивектор, который можно представить как сумму трёх компонентов, каждый из которых строится из базисных векторов исходного трёхмерного пространства как попарные произведения $e_i \wedge e_j$ , именно так, через крышечку. Аналогично про тривекторы.
    
    Потом уже на основе этого вводится пространство , и в нём — геометрическое произведение как сумма уже известных нам объектов. Дальше становится видно, как произведение базисных векторов равно бивекторам и тривектору, пишем, что по этой причине, и ещё по той, что для нас геометрическое произведение важнее, проще писать всё через него.
    
    Ну и так далее. То есть главное — не заставлять продираться сквозь текст с оставшимися в тылу непонятными вещами.
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #29000466
    У меня там в книге всё намного медленнее объясняется, я несколько страниц описываю, что такое произведение двух векторов, с картинками.
    
    Я могу кусок первой главы, всё равно это войдет в ознакомительный фрагмент. Напишите почту в личное сообщение мне, куда прислать.
    
    Тут дело в том, что вываливать на человека сразу все определения и аксиомы, как принято в математической литературе - не очень хороший способ объяснять материал. А если пытаться постепенно объяснять - ну вот такие проблемы, как вы описали, могут появляться, если текст еще сыро написан.
    
    Кроме того, хотя с геометрической алгеброй сопряжено много абстракций, вообще-то в своей основе это очень простой инструмент, основанный на простых алгебраических операциях, его изучить не сложнее школьной алгебры многочленов. Там на самом деле не нужно рассуждать вот про эти пространства, множества и так далее. У меня есть операции сложить и умножить, их геометрический смысл, а дальше работаем с этим и смотрим, что получается. То что вы пишете про сигнатуру операции, многомерные пространства - это всё слишком сложно, можно проще, для понимания происходящего можно ничего не знать из перечисленного.
    
    master_program Автор
    21.10.2025 11:29
    #29000480
    Проще говоря, ну вот я даю объяснение, что значит два вектора геометрически умножить. Потом показываю, что такое бивектор, сначала на плоскости. Потом в 3D демонстрирую. Затем говорю, что это всё еще можно формально складывать. И далее можно показать, как можно этот аппарат работает. Получается алгебраическая игра с символами по простым правилам, причем каждому правилу соответствует легко иллюстрируемая операция. Вводить всякие абстрактные пространства, рассуждать о сигнатурах - это выглядит как-то слишком избыточно.
    
    CaptainFlint
    21.10.2025 11:29
    #29000504
    Ну, я поэтому и сказал, что необязательно делать это через дикий матан с зубодробительными абстракциями. В целом-то у вас объяснения получились неплохо, баланс между строгостью и наглядностью выдержан удачно. Главное теперь — реструктурировать это немножко и вынести скрытые элементы сакрального знания наружу, чтобы текст мог воспринимать ученик, впервые в жизни видящий все эти термины и закорючки. Думаю, это вполне достижимо без переусложнения.

Zenitchik
21.10.2025 11:29
#29005520
О! Декарт определял умножение как нахождение площади. А чтобы оставаться в поле отрезков, считал равными равновеликие прямоугольники, и интерпретировал прямоугольники единичной ширины как отрезки.

За уши, конечно, но забавно.
1. master_program Автор
  21.10.2025 11:29
  #29005618
  Ну почему за уши? Это очень интересный подход, в контексте разбора смысла математических операций - интересный исторический пример.

Что скрывается за «плюс» и «умножить»? От школьной арифметики до геометрической алгебры +14

Часть 1. Что такое операция? Замкнутость — это ключ

Часть 2. Строим новое пространство: геометрическую алгебру

Часть 3. Ответы на оставшиеся вопросы

Комментарии (66)

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор