Привет, Хабр!

В предыдущей статье я рассказывал про метод характеристик, предназначенный для расчёта волновых процессов в гидравлических линиях. На самом деле, конечно же, волновые процессы можно рассчитывать и в уме, нужно только знать подход.

Под катом я покажу “на пальцах” и при помощи гифок основные волновые эффекты. В качестве примера я буду использовать опять гидравлическую линию, но на самом деле в основе лежат практически те же самые уравнения, что и для акустики и электрических линий. Так что, даже если вы не гидравлик, может быть простые аналогии помогут вам разобраться в волновых процессах в целом.

Осторожно! Под катом 15 Мб анимированных гифок!

Итак, здесь мы будем рассматривать распространение одномерных плоских волн в гидравлической линии. Это допущение вполне справедливо для длинных трубопроводов, чья длина во много раз превосходит внутренний диаметр. Трением для простоты пока тоже пренебрежём. В этом случае протекающие физические процессы будут описываться парой дифференциальных уравнений в частных производных:

$$

$$

где $$ — плотность, $$ — скорость, $$ — давление, $$ — скорость звука.

С непривычки вид этих уравнений может испугать, но на самом деле здесь всё просто. Первое уравнение говорит нам, что давление будет расти со временем, если в сегмент трубы будет втекать больше жидкости, чем вытекать (при том, тем быстрее, чем более плотная и упругая жидкость находится в трубе); второе уравнение показывает, что для того, чтобы ускорить сегмент жидкости, нужно приложить к нему разницу давлений (причём, чем больше будет плотность, тем больше нужно приложить разницу давлений, чтобы разогнать сегмент). Т.е. описываются вполне банальные вещи: жидкость сжимаема, жидкость имеет массу.
Оставим аналитическое решение этих уравнений для будущих статей, перейдём сразу к примеру “на пальцах”.
Возьмём трубу, заполненную водой, в которой поддерживается давление 100 бар (10 МПа) и протекает расход 30 л/мин. Если на левый конец подать ступеньку давления, она предсказуемо начнёт перемещаться по потоку со скоростью, равной скорости звука в среде.

Разумеется, вместе с давлением будет меняться и значение расхода. Если давление растёт, оно будет “подгонять” жидкость по потоку и увеличивать расход тоже на какую-то “ступеньку”. Насколько именно, определяется значением волнового сопротивления. Для трубы площадью поперечного сечения $$, заполненной жидкостью с плотностью $$ и местной скоростью звука $$, волновое сопротивление можно посчитать следующим образом:

$$

По размерности это то же самое, что и обычное гидравлическое сопротивление, только используется для расчёта соотношений волн давления ($$) и расхода ($$), а не их абсолютных величин:

$$

Чем больше плотность и скорость звука, тем выше будет волновое сопротивление, т.е. тем труднее будет определённому перепаду давления разгонять жидкость (увеличивать расход)

Посмотрим теперь как будут вести себя две волны, двигающиеся навстречу друг другу:

Если давление на правом конце повышается, жидкость неизбежно будет затормаживаться отрицательным перепадом. Значит волна повышения давления, идущая против потока, будет приводить к уменьшению расхода на величину, определяемую опять же волновым сопротивлением. То есть справа будет двигаться волна роста давления и падения расхода.
При столкновении может показаться, что волны расхода отражаются друг от друга и идут обратно. На самом деле они просто накладываются друг на друга. Этот эффект ещё называется интерференцией:

Теперь мы знаем, что у каждой трубы с жидкостью есть такое свойство как волновое сопротивление. Интересно посмотреть что будет с волной, если у трубы на определённом участке резко изменится диаметр:

До того как волна дойдёт до места с уменьшением диаметра трубы, разумеется, ничего интересного не происходит. Но далее она достигает участка с бо?льшим волновым сопротивлением, а это значит, что отношение волны давления к волне расхода должно быть больше, чем в левом участке трубы. Это значит, что волна давления должна вырасти, а расхода — уменьшиться. При этом, волне ничего не остаётся, кроме как ещё и отразиться влево, сохраняя равные значения на стыке двух труб.

Для расчётов удобно использовать коэффициент отражения $$, который считается из волновых сопротивлений отдельных участков:

$$

Тогда отражённые волны давления и расхода можно посчитать так:

$$

$$

а сами эти волны наложатся по закону интерференции с исходной.
А так будет выглядеть картина отражения волны от участка с меньшим волновым сопротивлением:

Видно, что на этот раз коэффициент отражения отрицательный, а значит волна давления после отражения будет меньше, а расхода, наоборот — больше.

Нужно помнить, что волновое сопротивление зависит не только от размера трубы, но также и от местной скорости звука. Т.е. если у нас есть участок трубы с резиновым рукавом, в котором скорость звука существенно ниже, то волна тоже будет отражаться:

Во-первых, здесь сразу бросается в глаза, что волна в участке с резиновой стенкой трубы движется медленнее. А раз волновое сопротивление у неё ниже, значит результат отражения будет напоминать случай с расширением трубы:

Теперь неплохо бы рассмотреть крайние случаи с нулевым и бесконечно большим значением волнового сопротивления. Это будет выход трубопровода в бак с постоянным давлением и закрытый конец соответственно. Оставлю эти анимации без комментариев:


Ну а если мы объединим два этих случая, то получим классический гидроудар:

Здесь в начальный момент времени имеется какое-то значение расхода, которое моментально приравнивается нулю на правом конце трубы (закрывается задвижка). Влево начинает двигаться волна падения расхода и роста давления. Эти волны отражаются от правого конца трубопровода с нулевым волновым сопротивлением. При отсутствии трения, процесс этот будет бесконечным.
Что интересно, используя рассмотренные выше формулы, можно вывести уравнение Жуковского для гидроудара:

$$

Выражаем расход через скорость, принимая, что она падает от заданного значения до нуля, и расписываем волновое сопротивление:

$$

Получаем значение возникающего при моментальном закрытии задвижки скачка давления.

Примечания

1. Написать статью меня вдохновила глава учебника по основам гидравлики кафедры гидравлической техники Рейнско-Вестфальского технического университета Ахена, где, на мой взгляд, понятнее всего описаны процессы в гидравлических линиях (Grundlagen der Fluidtechnik Teil 1: Hydraulik, Hubertus Murrenhoff ISBN: 978-3-8440-1223-1).
2. Анимации сделаны в программе SimulationX, расчёт проводился методом характеристик