Привет, Хабр!

В предыдущей статье я рассказывал про метод характеристик, предназначенный для расчёта волновых процессов в гидравлических линиях. На самом деле, конечно же, волновые процессы можно рассчитывать и в уме, нужно только знать подход.

Под катом я покажу “на пальцах” и при помощи гифок основные волновые эффекты. В качестве примера я буду использовать опять гидравлическую линию, но на самом деле в основе лежат практически те же самые уравнения, что и для акустики и электрических линий. Так что, даже если вы не гидравлик, может быть простые аналогии помогут вам разобраться в волновых процессах в целом.
Осторожно! Под катом 15 Мб анимированных гифок!
Итак, здесь мы будем рассматривать распространение одномерных плоских волн в гидравлической линии. Это допущение вполне справедливо для длинных трубопроводов, чья длина во много раз превосходит внутренний диаметр. Трением для простоты пока тоже пренебрежём. В этом случае протекающие физические процессы будут описываться парой дифференциальных уравнений в частных производных:

$\frac{\partial p}{\partial t}+\rho\;c^2\frac{\partial v}{\partial x}=0$


$\frac{\partial v}{\partial t}+\frac1\rho\frac{\displaystyle\partial p}{\displaystyle\partial x}=0$


где $\rho$ — плотность, $v$ — скорость, $p$ — давление, $c$ — скорость звука.

С непривычки вид этих уравнений может испугать, но на самом деле здесь всё просто. Первое уравнение говорит нам, что давление будет расти со временем, если в сегмент трубы будет втекать больше жидкости, чем вытекать (при том, тем быстрее, чем более плотная и упругая жидкость находится в трубе); второе уравнение показывает, что для того, чтобы ускорить сегмент жидкости, нужно приложить к нему разницу давлений (причём, чем больше будет плотность, тем больше нужно приложить разницу давлений, чтобы разогнать сегмент). Т.е. описываются вполне банальные вещи: жидкость сжимаема, жидкость имеет массу.
Оставим аналитическое решение этих уравнений для будущих статей, перейдём сразу к примеру “на пальцах”.
Возьмём трубу, заполненную водой, в которой поддерживается давление 100 бар (10 МПа) и протекает расход 30 л/мин. Если на левый конец подать ступеньку давления, она предсказуемо начнёт перемещаться по потоку со скоростью, равной скорости звука в среде.

Разумеется, вместе с давлением будет меняться и значение расхода. Если давление растёт, оно будет “подгонять” жидкость по потоку и увеличивать расход тоже на какую-то “ступеньку”. Насколько именно, определяется значением волнового сопротивления. Для трубы площадью поперечного сечения $A$, заполненной жидкостью с плотностью $\rho$ и местной скоростью звука $c$, волновое сопротивление можно посчитать следующим образом:

$Z_L=\frac{\rho\;c}A$


По размерности это то же самое, что и обычное гидравлическое сопротивление, только используется для расчёта соотношений волн давления ($\widehat p$) и расхода ($\widehat Q$), а не их абсолютных величин:

$Z_L=\frac{\widehat p}{\widehat Q}$


Чем больше плотность и скорость звука, тем выше будет волновое сопротивление, т.е. тем труднее будет определённому перепаду давления разгонять жидкость (увеличивать расход)

Посмотрим теперь как будут вести себя две волны, двигающиеся навстречу друг другу:

Если давление на правом конце повышается, жидкость неизбежно будет затормаживаться отрицательным перепадом. Значит волна повышения давления, идущая против потока, будет приводить к уменьшению расхода на величину, определяемую опять же волновым сопротивлением. То есть справа будет двигаться волна роста давления и падения расхода.
При столкновении может показаться, что волны расхода отражаются друг от друга и идут обратно. На самом деле они просто накладываются друг на друга. Этот эффект ещё называется интерференцией:

Теперь мы знаем, что у каждой трубы с жидкостью есть такое свойство как волновое сопротивление. Интересно посмотреть что будет с волной, если у трубы на определённом участке резко изменится диаметр:

До того как волна дойдёт до места с уменьшением диаметра трубы, разумеется, ничего интересного не происходит. Но далее она достигает участка с бо?льшим волновым сопротивлением, а это значит, что отношение волны давления к волне расхода должно быть больше, чем в левом участке трубы. Это значит, что волна давления должна вырасти, а расхода — уменьшиться. При этом, волне ничего не остаётся, кроме как ещё и отразиться влево, сохраняя равные значения на стыке двух труб.

Для расчётов удобно использовать коэффициент отражения $r$, который считается из волновых сопротивлений отдельных участков:

$r=\frac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}$


Тогда отражённые волны давления и расхода можно посчитать так:

${\widehat p}_r=r\;\widehat p$


${\widehat Q}_r=-\frac{\displaystyle\;{\widehat p}_r}{Z_1}=-r\;\widehat Q$


а сами эти волны наложатся по закону интерференции с исходной.
А так будет выглядеть картина отражения волны от участка с меньшим волновым сопротивлением:

Видно, что на этот раз коэффициент отражения отрицательный, а значит волна давления после отражения будет меньше, а расхода, наоборот — больше.

Нужно помнить, что волновое сопротивление зависит не только от размера трубы, но также и от местной скорости звука. Т.е. если у нас есть участок трубы с резиновым рукавом, в котором скорость звука существенно ниже, то волна тоже будет отражаться:

Во-первых, здесь сразу бросается в глаза, что волна в участке с резиновой стенкой трубы движется медленнее. А раз волновое сопротивление у неё ниже, значит результат отражения будет напоминать случай с расширением трубы:

Теперь неплохо бы рассмотреть крайние случаи с нулевым и бесконечно большим значением волнового сопротивления. Это будет выход трубопровода в бак с постоянным давлением и закрытый конец соответственно. Оставлю эти анимации без комментариев:


Ну а если мы объединим два этих случая, то получим классический гидроудар:

Здесь в начальный момент времени имеется какое-то значение расхода, которое моментально приравнивается нулю на правом конце трубы (закрывается задвижка). Влево начинает двигаться волна падения расхода и роста давления. Эти волны отражаются от правого конца трубопровода с нулевым волновым сопротивлением. При отсутствии трения, процесс этот будет бесконечным.
Что интересно, используя рассмотренные выше формулы, можно вывести уравнение Жуковского для гидроудара:

$\widehat p=Z_L\widehat Q\;$


Выражаем расход через скорость, принимая, что она падает от заданного значения до нуля, и расписываем волновое сопротивление:

$\widehat p=A\;v_0\;\frac{\rho\;c}{\ A}=\rho\;c\;v_0$


Получаем значение возникающего при моментальном закрытии задвижки скачка давления.

Примечания


  1. Написать статью меня вдохновила глава учебника по основам гидравлики кафедры гидравлической техники Рейнско-Вестфальского технического университета Ахена, где, на мой взгляд, понятнее всего описаны процессы в гидравлических линиях (Grundlagen der Fluidtechnik Teil 1: Hydraulik, Hubertus Murrenhoff ISBN: 978-3-8440-1223-1).
  2. Анимации сделаны в программе SimulationX, расчёт проводился методом характеристик

Комментарии (10)


  1. MaxxONE
    16.11.2018 11:27
    +1

    Ох ты ж! Неужели я наконец пойму смысл отражения волн в электрических линиях?
    Спасибо за статью!


  1. ExtenZ
    16.11.2018 12:53

    Шикарный пост, вспомнил универ 1999-2001 года


  1. Mishiko
    16.11.2018 17:05

    Тоже вспомнилась студенческая лабораторка по ударной адиабате (она же адиабата Гюгонио), правда это про газ, к гидравлике отношения не имеет, но жахнуло эффектно


  1. themen2
    16.11.2018 21:35

    Добрый вечер. Немного оффтопик, но может подскажете куда копать)
    Живу в новостройке на 1-ом этаже (17 этажей). Залив воды в стояк отопления сверху.
    Каждый год с началом сезона отопления в квартире невозможно спать — шумит стояк отопления. Шум такой по типу гул, с периодическими трясками труб. Опытным путем я установил следующее: надо мной, на 2-ом этаже и выше шума нет, сбоку у соседей вроде бы тоже значительно тише. Я сам заходил и проверял.

    Подо мной находится подвальное помещение где прям под потолком идет труба, в которую входит мой стояк отопления. Также к этой трубе премыкают другие трубы. Я заходил вечером в подвал — там отчетливо слышен сильный шум + вибрация труб.
    Я думаю, что весь этот гул поднимается ко мне.

    Просто не знаю что делать). Не разбираюсь в сантехническом оборудовании — всяких элеваторах, задвижках, обратных клапанах. Может подскажите в какую сторону копать или какого профиля специалиста я могу нанять, чтобы он провел экспертизу всего этого хозяйства — сходить проверить все задвижки там, параметры давления итд. Я уже готов сам оплатить все это.

    Шум идет точно от системы отопления, так как на днях насосы (по словам управляющей компании) работали не на всю мощность — и шум почти пропал. При этом температура почти не упала.

    И смешно и грустно, узнай, что называется страну по посту )


    1. Maxim_Andreev Автор
      16.11.2018 21:48

      Источником шумов обычно являются не сами трубы, а агрегаты. Трубы только усиливают определённые гармоники.
      Наиболее вероятный источник вибраций — насос. У него могут быть проблемы с кавитацией или подшипниками (это объяснило бы гул).
      Кроме того, шумы могут распространяться от задвижек или какой-то другой арматуры. Если она забилась/приржавела/разболталась, внутри могут образовываться постоянно отрывающиеся с определённой частотой вихри, и частота может совпадать с одной из собственных частот трубопровода.


      1. themen2
        16.11.2018 21:57

        Спасибо. Видимо надо обойти все агрегаты — насос, ключевые узлы, где задвижки и послушать там.

        Как Вы думаете можно ли теоретически уменьшить шум, если сделать звукоизоляцию труб. Закрепить их чем-нибудь сильно к стене, чтобы не тряслись(там ощушается высокочастотная вибрация, когда трубу обхватываешь ладонью) и сделать звукоизоляцию, например, обтянуть их резиной или еще чем-то?

        Я понимаю, что это полумеры и надо искать источник, но как вариант.


        1. vassabi
          16.11.2018 23:09

          а попробуйте прикрепить вашу трубу в подвале к стене — кроме всего прочего заодно и резонанс колебаний сместится.


          1. Maxim_Andreev Автор
            16.11.2018 23:27

            Если дом панельный, это едва ли поможет… Гул пойдёт по всем стенам, как бы хуже не стало)


        1. Maxim_Andreev Автор
          16.11.2018 23:25

          Можно много вариантов натеоретизировать, но здесь важнее практический опыт в конкретной ситуации, которого у меня нет… Если труба бьётся обо что-то, то, конечно, можно попробовать сунуть туда резину. Но если шум от вибрации трубы в целом, едва ли что-то действительно поможет.
          Дом, скорее всего, панельный, а это значит, что все попытки закрепить вибрирующую трубу приведут к тому, что вибрация пойдёт по стенам и разве что поможет донести шум до соседей.
          Я думаю, грамотная жалоба в вышестоящие организации куда быстрее решит проблему, чем любой технический выкрутас)


          1. themen2
            17.11.2018 10:57

            Да, дом панельный. В Роспотребнадзор обращался уже, следующий этап в прокуратуру. Тут в целом комплексе домов застройщика такая проблема. Нашел ещё людей с такой же проблемой. Будем думать как сделать коллективную жалобу