Ашвин Сах возрастом в 21 год выдал несколько научных работ, которые опытные математики посчитали беспрецедентными для студента колледжа

19 мая Ашвин Сах опубликовал лучший на сегодня результат в одной из самых важных областей комбинаторики. В такой момент иной человек поднял бы бокал в честь данного события, однако Сах тогда был ещё недостаточно взрослым для того, чтобы пить алкоголь [по законам США / прим. пер.].

Это доказательство стало очередной работой из целого списка математических достижений, которые Сах, отпраздновавший свой 21-й день рождения в ноябре, опубликовал во время своей учёбы в Массачусетском технологическом институте. Данная работа была опубликована сразу после того, как он получил учёную степень. Это редкий случай такого раннего развития даже для области знаний, в которой появляется достаточно много молодых гениев.

«Будучи студентом, он опубликовал достаточно работ для того, чтобы его можно было принимать на работу в университет», — сказал Дэвид Конлон из Калифорнийского технологического института.

Майское доказательство касалось важной особенности комбинаторики, чисел Рамсея. Они количественно описывают размер графа (набора точек, или вершин, связанных рёбрами), до которого он может дорасти, пока в нём неизбежно не начнут возникать определённые закономерности.

Представьте, к примеру, что у вас есть шесть вершин, попарно соединённых друг с другом рёбрами. Раскрасьте каждое из 15 рёбер в синий или красный цвет. Неважно, как вы будете использовать цвета — вы неизбежно получите три вершины, связанные друг с другом рёбрами одного цвета (это будет т.н. «клика»). Однако если начать с пяти вершин, это уже будет не так – такой граф можно раскрасить, не сформировав клику. В итоге, как говорят математики, число Рамсея для двух цветов и клики размера 3 равняется 6 – то есть, чтобы гарантировать существование такой клики, вам нужно не менее 6 вершин.

С ростом размера клик точные числа Рамсея становится очень сложно вычислять. Математики пытаются вместо этого оценить их величину, давая гарантии, что число Рамсея для клики любого размера будет большим, чем некое число (это будет нижняя граница), и меньше, чем другое число (верхняя граница).

Пал Эрдёш и Дьёрдь Секереш начали исследования нижних и верхних границ чисел Рамсея в 1930-х годах. С тех пор математики с ними почти не продвинулись – хотя недавно мы уже писали об инновационном доказательстве, задавшем лучший на сегодня нижний предел для чисел Рамсея.


В мае Ашвин Сах показал, насколько может вырасти граф до тех пор, пока в нём неизбежно не появятся определённые закономерности, отодвинув тем самым границы достигнутого в этой области.

Доказательство Саха наоборот, улучшило верхнюю границу для чисел Рамсея для двух цветов. Сделал он это через оптимизацию метода, придуманного самими Эрдёшем и Секерешем. Мало какие математики смогли улучшить его с момента его изобретения. Результат Саха доказывает, что при достижении графом определённого размера в нём неизбежно начнут появляться клики некоего соответствующего размера. Многие математики считают, что этот результат при текущем состоянии знаний в данной области улучшить уже невозможно.

«Он довёл этот метод до логического максимума», — сказал Конлон, автор предыдущей лучшей оценки верхнего предела для этой задачи.

Жизнь в математике

Сах вырос в Портленде, Орегон, и ему с детства нравилась математика. «Некоторые из моих самых ранних воспоминаний связаны с тем, как мама учит меня основам арифметики», — сказал он.

Впервые он почувствовал вкус к математике на соревнованиях, где часто побеждал. Летом 2016 года, когда ему было 16, он завоевал золотую медаль на международной математической олимпиаде в Гонконге. В следующем году он поступил в MIT (и через два с половиной года получил диплом).

Среди установленных там контактов два стали самыми важными для его математического развития. Первым был профессор Юфей Жао. В первый год Сах записался к нему сразу на два курса, одним из которых была комбинаторика. Сах выделялся даже среди самых талантливых студентов мира, изучавших математику.


11-летний Сах

«Он явно в совершенстве владел материалом, хотя был всего на первом курсе», — сказал Жао.

Вторым стал Мехтааб Соуни, которому сейчас 22 года. Соуни учился на год старше Саха, и той осенью перевёлся в MIT из Пенсильванского университета. В сентябре они встретились в классе и подружились.

К весне они уже вместе работали над исследованием. Они работали над различными темами из области дискретной математики, в частности, над теорией графов, теорией вероятности и свойствами случайных матриц. Многие из изучаемых ими задач было довольно просто сформулировать и решать напрямую – для них не требовалось многолетнего формального образования и исследований.

«Мне нравятся задачки, которые можно обдумывать с использованием базовых принципов, чтобы не нужно было читать огромные горы литературы или иметь обширные теоретические знания», — сказал Соуни.

Они плотно работали с Жао, предлагавшим им вопросы для изучения и объяснявшим, как писать формальные работы по математике. Часто Жао предлагал им разобраться в определённое задаче, надеясь, что она займёт их на какое-то время – однако они возвращались с ответом уже на следующий день.



Сах работает в парке

«Оба они невероятно энергичные. Я кидаю им вопрос и почти сразу получаю ответ», — сказал Жао.

За последние три года Сах и Соуни написали уже несколько десятков работ, и многие из них – в соавторстве. Этой осенью они победили в конкурсе на приз Моргана, который в США, Канаде и Мексике дают лучшим математикам-студентам. Жао отметил, что их совместные достижения беспрецедентны.

«Традиция студенческих исследований существует давно, но не на таком уровне качества и количества, какое наблюдается у Ашвина и Мехтааба», — сказал он.

Сах и Соуни сейчас уже аспиранты MIT, хотя из-за пандемии они временно находятся на противоположных побережьях. Сах вернулся в Портленд, а Соуни живёт на Лонг-Айленде в Нью-Йорке, где он вырос. Однако они всё равно постоянно на связи.

«Мы созваниваемся раз-два в день, и общаемся по 5-6 часов, — сказал Соуни. – А когда не встречаемся, постоянно обмениваемся сообщениями».

Они говорят, что их ранние успехи на них не давят. Даже наоборот, мотивируют их на новые свершения.

«Я стараюсь не зацикливаться на прошлом, — говорит Сах. – Я всегда смотрю вперёд, на то, что могу сделать в будущем».