Сегодня поговорим о том, как математика не только находит отражение в обыденной жизни, но и формирует мировоззренческие установки, применяемые сотни лет в демографии и политике. Речь пойдет о мальтузианстве - явлении, суть которого в описании демографического кризиса в масштабах государства. Начнем, как это полагается, с математического введения.

Одномерные эволюционные модели

При исследовании различных систем иногда ограничиваются минимальным набором показателей. Вплоть до того, что анализируется один показатель - время. В таком случае задача математиков формализуется как исследование движения некоторой воображаемой точки вдоль оси ординат.

Как правило известны:

• в явном виде уравнение x(t);

• скорость изменения x(t) - производная этой функции.

Модель, построенная на приведенном выше знании, называется эволюционной, а простейшую из них описывает уравнение Мальтуса.

Уравнение Мальтуса - это простейшее линейное дифференциальное уравнение первого порядка (т.е. в него входит только первая производная):

Здесь α - показатель, определяющий скорость роста. Он является константой и не зависит от времени t. Казалось бы, в этом уравнении нет никаких степеней, поэтому и рост модели будет незначительным. Однако, как будет ясно в дальнейшем, скорость будет не просто степенной, но даже экспоненциальной.

При чём здесь демография?

Конкретный пример модели Мальтуса - "не очень много карасей в очень большом пруду".

Именно таким мир виделся в конце 18 - начале 19 века. Планета тогда еще не задыхалась от перенаселения, промышленность не потребляла такое огромное количество ресурсов, однако уже тогда экономики и демографы "смотрели в завтрашний день".

Мальтус сформулировал мысль о том, что все живые организмы, включая человека, обладают врожденной склонностью к экспоненциальному росту популяции в периоды изобилия ресурсов:

"В природном мире, будь то животное или растительное царство, жизненные семена рассеяны природой повсюду. ... Зародыши жизни, обитающие в этом уголке земли, при наличии достаточного запаса пищи и адекватного пространства для развития, способны были бы заполнить множество миров на протяжении многих тысяч лет. Однако принцип необходимости, могучий и всепроникающий закон природы, удерживает их в заданных границах. Растительный и животный миры подвержены действию этого мощного ограничительного закона. И человеческая раса не может уклониться от него, несмотря на все свои разумные усилия. В мире растений и животных его последствия проявляются в виде убыли семян, заболеваний и преждевременной гибели. В человеческой обществе – в нищете и нравственных недостатках." (Т.Р. Мальтус - "Опыт о законе народонаселения")

Обратно к математике

Получим уравнение Мальтуса, как говорится, на пальцах. Возьмем колонию бактерий. Если поместить её в питательную среду (эндогенную, на которую не оказывают влияние внешние факторы), то можно предположить, что каждая особь с некоторой вероятностью, пропорциональной промежутку времени ∆t, производит потомство. Рассмотрим чему равен прирост колонии за это время:

Мы получили то, что хотели. Однако, здесь нужно поговорить об ограничениях. Самое главное, что величина N должна быть достаточно большой, чтобы мы могли смириться с тем, что количество особей в популяции может не быть целым числом. В таком случае мы сможем обращаться с функцией изменения численности популяции как с непрерывной величиной (и в любой момент времени знать скорость её изменения). Именно из-за этого ограничения уравнение Мальтуса может претендовать на применимость только в глобальных масштабах, как того и хотел его автор.

Пример решения

Так почему же модель экспоненциальная? Чтобы разобраться, решим дифференциальное уравнение. К счастью, делается это просто:

Насколько этот рост быстрый, конечно сильно зависит от константы. Решим такую задачу: пусть популяция бактерий возросла с 500 до 800 за 1 час. Требуется найти уравнение Мальтуса этой популяции и оценить время её удвоения. Итак, известно:

Замечательная и простая модель, но применима ли она для человечества в целом? Ответ двоякий: с одной стороны понятно, что человечество устроено намного сложнее колонии бактерий, а с другой стороны история показывает, что мальтузианство - это концепция, которую использовали сотни лет и продолжают использовать в 21 веке.

Мальтузианская катастрофа

Мальтус утверждал, что человечество имеет врожденную склонность к росту населения в геометрической прогрессии (1, 2, 4, 8, и так далее), тогда как производство пищи и ресурсов увеличивается в арифметической прогрессии (1, 2, 3, 4, и так далее). Следовательно, рост населения в конечном счете приведет к нехватке ресурсов для его обеспечения, что приведет к голоду, бедности и страданиям - т.н. мальтузианской катастрофе.

Мальтузианская катастрофа неизбежно может быть предотвращена, согласно Мальтусу, лишь путем сознательного контроля над рождаемостью, либо через ограничение числа детей, либо через воздержание от отношений вовсе.

Эта теория была и остается предметом дебатов и критики. Некоторые исследователи указывают на то, что технологический и экономический прогресс позволил обществу увеличивать производство и ресурсы, а также развивать методы контроля над населением, что не позволило сценарию Мальтуса сбыться в полной мере.

Вообще, мальтузианство - это "святой Грааль" для различного рода теорий заговора. Контроль рождаемости, продвижение радужной повестки...хотя задуматься, однозначно, есть о чём, учитывая, что такие организации как "Римский клуб" прямо пропагандируют мальтузианскую повестку.

Мальтузианство всегда вызывает критику у марксистов, социалистов, сторонников свободного рынка и либертарианцев, феминисток, католиков, а также защитников прав человека. Они характеризуют эту концепцию как "чрезмерно пессимистичную, недостаточно исследованную, выражающую человеконенавистнические взгляды".

Некоторые сторонники всё ещё придерживаются идеи о том, что рост населения превысит лимит доступных ресурсов, и считают, что позитивные изменения возможны в будущем, если будут предприняты соответствующие меры для управления ростом населения. Несмотря на многочисленные критические замечания, мальтузианский дискурс по-прежнему остаётся основой для формулирования национальных и международных экологических норм.

Неомальтузианство

Неомальтузианцы отличаются, прежде всего, приданием особой роли контролю над рождаемостью. В отличие от Мальтуса, который как религиозный человек считал предпочтительным "самоконтроль" (воздержание), неомальтузианцы выступают за активное использование методов контрацепции.В перспективе неомальтузианцы больше обеспокоены ухудшением состояния окружающей среды и возможным катастрофическим голодом, чем бедностью, что также отличает их взгляды.

В 1960-х и 1970-х годах неомальтузианские идеи стали распространяться среди влиятельных технократов и лидеров некоторых развивающихся странах. Это часто приводило к нарушениям прав человека, которые поддерживались и финансировались западными экспертами по развитию. Примерами таких нарушений стали политика "одного ребенка" в Китае (1979-2015) и принудительная стерилизация в Индии в период "Чрезвычайной ситуации" (1975-77).

Заключение

Недооценивать значимость и роль в истории уравнения Мальтуса никак нельзя. Исследования этого экономиста предопределило вектор развития демографической мысли на протяжении сотен лет. В то же время понятно, что таким тривиальным уравнением описать эволюционную модель человечества не представляется возможным. Например, в уравнении Мальтуса никак не учитывается естественная убыль населения. Модель, учитывающая этот показатель, называется логистической или моделью Ферхюльста. Поговорим об этом в следующих материалах.

• Больше математики в Telegram - "Математика не для всех".

• Подборка материалов по мальтузианству - здесь