Все знают что такое аксиомы, но мало кто понимает что они из себя представляют.
Исходную формулировку "аксиома это положение принимаемое как истинное без доказательств" трактуют как то, что аксиома это что-то что является настолько незыблемой и очевидной истиной, что не требует никаких доказательств.
Проблема такой трактовки состоит в слове "является", и вот почему.
Аксиомы в школе
Самый известный и самый лучший пример аксиомы это аксиома о параллельных прямых.
Тот самый, который мы учим в школе в виде "через точку не лежащую на прямой линии, в плоскости задаваемой этой линией и точкой, можно провести одну и только одну прямую линию не пересекающуюся с данной прямой линией".
Мы живём в мире где это правило выполняется, где оно используется науке, технике и искусстве, и начинаем считать что так и должно быть - что есть объективная реальность и есть её непререкаемое отражение называемое "аксиомой".
Поэтому, когда мы узнаём про неевклидовы геометрии, это производит на нас очень большое впечатление и вызывает у нас удивление. Оказывается, что есть какая-то математическая теория в которой не признают очевиднейшую из истин.
И всё это удивление происходит из-за того что мы банально не помним того, что нам тогда рассказывали на уроках геометрии.
А рассказывали нам то, что "принимается без доказательств" означает не "принимается как истина дарованная свыше", а строго наоборот - "принимается волевым решением".
Да, Вы можете сказать "одна и только одна прямая", можете сказать "ни одной", можете сказать "больше одной" и волевым решением принять (то есть, назначить) это как истину в трёх разных теориях и логических.
Но то что мы можем волевым решением принять за аксиому любое положение, это не только суть аксиом, но одно из важнейших практических свойств аксиом.
И это тоже было в школьной программе.
"Доказательство от противного" - мы вводим аксиому о том что какое-то утверждение является ложным и пробуем выстроить целостную систему, которая непротиворечива как внутренне, так и с тем что мы считаем реальностью.
"Трением пренебречь" - мы вводим аксиому об отсутствии трения, что не просто является ложным в рамках теорий изучавшихся на других учебных предметах, а является тем что мы считаем противоречащим реальности. И благодаря тому, что мы это сделали, логика расчёта очень сильно упрощается.
Более того, такое обращение с аксиомами происходит не только в рамках школьных уроков, но и в серьёзных расчётах.
Например, основу часто используемого "Уравнения состояния идеального газа" положена аксиома о том что газ рассматривается как монолитная сущность и не состоит из молекул имеющих массу, объём и другие материальные свойства. Благодаря этому у нас есть простое и удобное уравнение.
А ещё, при расчёте вентиляции, в жилых домах и производственных помещениях, воздух рассматривается не как "газ", а как "несжимаемая жидкость". В аксиоматику расчёта вентиляции ввели положение противоречащее физической реальности и получили удобный и практичный математический аппарат.
То есть, аксиома это не "то как есть на самом деле", и даже не "то что выглядит как то что есть на самом деле". Аксиома это "в рамках данного расчёта/проекта/теории будем исходить из вот этого, и не важно как оно на самом деле".
Но кроме торжества волюнтаризма (а возможно и оппортунизма), из "принимается без доказательства" следует ещё одно важное свойство аксиом.
Пятый постулат Евклида
Пятый постулат Евклида это та самая аксиома о количестве прямых которые можно провести через точку (она же, "аксиома о параллельных прямых").
Дело в том, что сформулированная в нём идея настолько очевидна, настолько на поверхности, что возникает ощущение её закономерности. А если что-то закономерно, то возникает соблазн эту закономерность разложить на более мелкие части и доказать.
И тут снова возникает проблема трактовки аксиом как того что есть на самом деле. Потому, что, в этом случае, идея "доказать пятый постулат Евклида" приобретает мистический налёт "доказать реальность" и "познать истину".
На самом деле, тема "доказательства аксиомы о параллельных прямых" она не о мистике или объективной реальности. А о чём же тогда?
Ну, во-первых, для математиков это вопрос спортивного азарта, профессиональной гордости и желания поместить себя в пантеон математиков всех времён и народов.
А во-вторых, она о том самом свойстве аксиом "принимается без доказательства".
Ну вот смотрите, у вас есть 5 аксиом, на которых вы построили всю геометрию. Вот эти вот теоремы, уравнения и деления угла с помощью циркуля, они построены на 5 аксиомах.
Делаете из 2 аксиом вывод, из 3 других аксиом другой вывод, потом делаете из этих выводов ещё один, потом добавляете ещё щепотку аксиом и ещё вывод. И так, шаг за шагом строите всю геометрию, используя аксиомы как кирпичики. Где-то кирпичики используются сами, а где-то в виде уже сложенной стены с окошком и дверью на лоджию.
И что же произойдёт в случае если получится доказать пятую аксиому?
Правильно - аксиом останется 4, потому что аксиома принимается без доказательств, и если её, в рамках данной теории, доказали, то это не аксиома, а ещё один вывод.
Само собой, это никак не повлияет на объективную реальность и не изменит основу мироздания. У нас просто изменится набор аксиом, и произойдёт это лишь в рамках геометрии. Потому что аксиома является аксиомой лишь в рамках собственной теории, а за её пределами она может быть и аксиомой, и выводом, и даже, как говорилось выше, заведомо ложной идеей.
И вот это вот свойство аксиом, которое требует чтобы они не были доказуемы в рамках собственной теории, является очень полезным практически.
Разложить на аксиомы
Итак, представим что у нас есть аксиомы:
кирпич
строительный раствор
плиты перекрытий
балки для дверных и оконных проёмов
Вы можете строить этот дом с нуля на месте, а можете построить две половинки, а потом передвинуть их друг к другу.
Но независимо от того, как был построен этот дом, он может быть разложен на аксиомы единственным образом.
Потому, что если вы разложили дом на два разных набора, где в одном меньше кирпичей, но больше балок, то значит они взаимозаменяемы и одно можно собрать из другого.
Что противоречит сути аксиом как единиц, которые нельзя доказать.
Это как разложение чисел на простые сомножители, если удалось разложить более чем одним способом, то в результатах разложения указаны не только простые числа.
Хотя, это не самый удачный пример, потому что в случае разложения на сомножители, эта единственность двухсторонняя. А вот когда у нас есть более сложная теория, то в обратную сторону единственности нет.
Мы можем взять текст, отбросить все пробельные символы, привести к нижнему регистру и разложить его на печатные символы, записав результат в формате "а#2;б#1;в#54;г#92;з#23;". И для каждого текста это разложение будет единственно возможным.
Для строчки "мама мыла раму" это будет: "а#4;л#1;м#4;р#1;у#1;ы#1;"
Для статьи "Реальность существует и это надо учитывать": "!#1;"#80;%#32;(#10;)#10;*#1;,#275;-#64;.#182;/#63;:#34;=#2;?#9;@#2;[#11;]#11;_#7;a#43;b#21;c#37;d#35;e#39;f#11;g#12;h#33;i#67;k#15;l#19;m#27;n#37;o#36;p#41;q#1;r#41;s#42;t#72;u#25;v#8;w#11;x#1;y#7;z#1;»#1;а#1105;б#209;в#565;г#179;д#365;е#1119;ж#117;з#267;и#1350;й#172;к#497;л#466;м#538;н#1043;о#1602;п#376;р#733;с#802;т#1070;у#269;ф#83;х#166;ц#76;ч#336;ш#62;щ#63;ъ#5;ы#352;ь#281;э#73;ю#83;0#52;я#271;ё#70;№#4;1#41;2#57;3#19;4#15;5#9;6#7;7#16;8#15;9#9;"
Для статьи "Парадигму UNITS в массы": "!#3;"#36;##3;%#5;(#11;)#11;*#7;,#155;-#15;.#118;/#34;:#8;?#8;@#3;#4;^#2;_#4;a#14;b#7;c#15;d#13;e#13;g#2;h#11;i#10;j#2;l#3;m#16;n#19;o#15;p#4;r#11;s#16;t#21;u#9;v#1;x#1;y#2;«#8;»#8;а#732;б#125;в#403;г#151;д#249;е#766;ж#86;з#191;и#806;й#111;к#273;л#337;м#418;н#645;о#1102;п#257;р#455;с#562;т#796;у#241;ф#42;х#85;ц#25;ч#215;ш#35;щ#58;ъ#4;ы#194;ь#231;э#47;ю#47;я#153;ё#42;0#31;‑#4;—#2;“#3;„#3;1#10;2#21;3#8;4#7;5#9;6#12;7#10;8#2;9#5;"
И кроме проверки скобок на парность, это даёт нам ещё вывод. Если разложение на аксиомы даёт единственный результат, то несовпадение разложения указывает на то, что раскладывались разные тексты.
Да, по сути, в результате разложения на аксиомы получается контрольная сумма:
если она различается, то мы сравниваем разные тексты
если она совпадает, то это могут быть как одинаковые, так разные тексты
мы не знаем каким был исходный текст
Да, мы можем попытаться побороть обессмысливание результата тем, что будем раскладывать текст не на аксиомы в виде букв, а остановимся на промежуточном варианте - разобрав текст на осмысленные словосочетания. Однако, за этом нам придётся заплатить вариативностью разложения на словосочетания, а значит, мы не сможем использовать это как механизм контроля. Потому, что разложение на словосочетания может быть разным не только разным у разных людей, но и разным у одного и того же человека в разное время.
А раз есть вариативность разложения, то нет возможности использовать контрольную сумму для проверки неизменности текста.
И получается, что у нас есть два варианта:
Полностью утратить смысл текста, но достаточно надёжно (но не 100%) определять его неизменность.
Либо сохранить указание на смысл текста, но полностью утратить механизм контроля его неизменности.
И те, кто читал предыдущие статьи серии ( https://habr.com/ru/articles/776550/ и https://habr.com/ru/articles/777992/ ) и комментарии к ним, уже догадались о чём речь.
7 аксиом Международной системы единиц (СИ)
Да, речь о п.2 в Парадигме UNITS - "У величин должна быть размерность, соответствующая их физическому смыслу" и примере размерности вязкости жидкости.
У нас есть три варианта размерности вязкости:
исходная "трёхэтажная" размерность, полностью соответствующая формуле и физическому смыслу вязкости жидкости.
вариант "Па*с" , имеющий смысл в рамках конкретного математического аппарата, использующего тензорное исчисление.
вариант в СИ - "m-1kg1s-1"
п.1 позволяет напомнить оператору о том, с чем он имеет дело и как правильно использовать формулу.
п.2 полезен в отдельных ситуациях, но изначальный смысл уже утрачен, а однозначной "контрольной суммы" ещё нет.
п.3 позволяет подстраховаться на предмет некорректного сложения. Смысл полностью утрачен, но единственно возможный вариант сокращения размерности в виде разложения до 7 аксиоматических базовых величин СИ даёт нам "контрольную сумму".
Да, п.3 не даёт 100% защиты от того, что будет произведено сложение величин с разным физическим смыслом. Потому что разные по смыслу величины могут дать одинаковый вариант сокращения.
Например, "поверхностное натяжение" и "энергетической экспозиции" сокращается до варианта "kg1s−2". А чисто механический "Н/с" и спектральная плотность потока излучения "(Вт/м^2)/м" сокращаются до одного и того же варианта "m1kg1s−3".
И тем не менее, не смотря на все коллизии и местами удивительные варианты возникающих контрольных сумм, сокращение размерности до 7 основных величин СИ является надёжным инструментом контроля совпадения размерностей в процессе компьютерного расчёта.
И именно потому, что основные величины СИ являются аксиомами - назначенными единицами, которые невозможно сконвертировать друг в друга, а значит имеющими единственный вариант сокращения.
И всё это становится возможным после того, как мы откажемся от странной идеи о том что аксиомы это прям настоящая истина, и вернёмся к тому чему нас учили в школе: "аксиома это положение принимаемое без доказательств, то есть волевым усилием."
Седьмая единица измерения СИ
Но есть и ложка дёгтя у этой бочки мёда, которую я вылил на аксиомы, чтобы они стали для вас привлекательней, понятней и полезней (а это реально полезно, понимать что такое аксиоматика твоей собственной модели, теории или построения, и как с этой самой аксиоматикой работать).
Дело в том, что физики, в отличии от математиков, сумели вывести одну аксиому из других. Единица измерения температуры "Кельвин" уже давно пересчитывается через константу в "Джоуль".
А это значит, что по научному, температуру надо измерять не в "Кельвинах" или "градусах Цельсия", а в "kg1m2s−2". Живите теперь с этим.
И не пытайтесь найти в варианте "kg1m2s−2" физический смысл, потому что это просто единственный вариант разложения до аксиом - он удобен, но бессмысленен.
А ещё, это значит, что, при сокращении размерности в процессе компьютерного расчёта, "Кельвин" надо бы тоже пересчитать в "Дж", но исключительно как размерность, без затрагивания численного значения результатов вычисления.
Вобщем, вопросов много и давайте отложим эту тему на после Нового Года.
Комментарии (35)
muxa_ru Автор
12.12.2023 02:02Да, и это часто не понимают.
Да, и это даже не дерево, а граф общего вида.
Нет. В рамках выстраиваемой теории/модели/построения это невозможно. Но можно выводы сделанные в рамках одной теории использовать как аксиомы для другой.
"физических" как реальных, конечно не существует, потому что аксиомы это просто наши выдумки, которым мы решили подчиняться в какой-то ситуации. Но "физических" как относящихся с дисциплине "физика" - могут быть.
konst90
12.12.2023 02:02Пассаж про идеальный газ и вентиляцию - это отсылка к одному персонажу или случайный пример?
muxa_ru Автор
12.12.2023 02:02Про вентиляцию это не случайный пример, а один из основополагающих. :)
Я с этим примером почти 30 лет живу и не перестаю радоваться его наглядности.
С тем что "22.4 литра" это условность и вот есть таблица молярных объёмов реальных газов, я живу ещё больше. Ну и "Закон Менделеева-Клайперона" он тоже оттуда.
Если Вы про персонажа упомянутого в первой статье ( которую все непременно надо прочитать - https://habr.com/ru/articles/776550/ ), то от него тут акцентирование внимания на ситуации с Кельвином. Есть такая ситуация, что у тебя в голове есть все элементы картины, но пока тебя носом не ткнут, ты даже не задумаешься о том что из этого следует.
Spaceoddity
12.12.2023 02:02Меня со школы смущала эта формулировка:
"через точку не лежащую на прямой линии, в плоскости задаваемой этой линией и точкой, можно провести одну и только одну прямую линию не пересекающуюся с данной прямой линией".
Т.е. не конкретно эта формулировка - в школьной программе геометрии нет понятия "прямая линия", есть просто "прямая". Но сути это не меняет:
А почему нельзя провести несколько прямых параллельных данной? Да они совпадут и, наверное, даже выродятся в ту самую единственную прямую. Но по сути проводить-то мы их может хоть до бесконечности))
Действительно, пятый постулат во всех отношениях очень неоднозначно можно трактовать))
domix32
12.12.2023 02:02Да они совпадут
Если ты не можешь отличать одну линию от другой, то это та же самая линия. Принцип минимизации или Бритва Оккама, если хотите.
Spaceoddity
12.12.2023 02:02Во-первых, я подчеркнул конкретную претензию к формулировке. Я не собираюсь ничего отличать. И формулировка аксиомы тоже ничего не говорит про различие. Речь шла именно о "провести". Провести я могу? Даже если потом не отличу?
Во-вторых, это принцип Паули. Но это именно физическая иллюстрация подобной концепции. А мы вроде как про геометрию...
В-третьих, как же надоел уже этот кармадроч... Молча ходят, лепят оценки... "А мы соглядатаи" (с)
UPD: Ну и для справки - Евклид родился за полтора тысячелетия до Уильяма Оккама ;)
domix32
12.12.2023 02:02UPD: Ну и для справки - Евклид родился за полтора тысячелетия до Уильяма Оккама ;)
Ну, люди-то не глупые. Умели отличать то же самое, тождественное/подобное и равное.
И формулировка аксиомы тоже ничего не говорит про различие
Определение из первой книги "Начал".
Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках
Как получить противоречие с вашим утверждением думаю объяснять не надо. Поэтому, нет, вы не можете "провести".
Spaceoddity
12.12.2023 02:02Поэтому, нет, вы не можете "провести".
Буквально:
беру лист бумаги, линейкой провожу прямую, ставлю точку рядом с ней... циркулем фигачу три окружности, нахожу вторую точку для соблюдения параллельности, прикладываю линейку и... начинаю проводить прямые пока рука не устанет))
Что я делаю не так?
muxa_ru Автор
12.12.2023 02:02Что я делаю не так?
Вы из совершенного математического пространства построенного на точках без размера, линиях без ширины и плоскостях без толщины, перешли в несовершенный физический мир.
Spaceoddity
12.12.2023 02:02Но ведь именно это мне и предписывает делать предложенная формулировка! Ну формулируйте тогда корректнее, чтобы подобных разночтений не происходило.
И нет, я не переходил в "несовершенный физический мир". Я использовал для построения только "разрешенный геометрический инструментарий" - линейку и циркуль. Что изменится от того, что точки станут безразмерными, а прямые с единичной размерностью? Я вдруг не смогу проводить прямые?))
И извините, конечно, но с таким подходом вы точно так же и ту единственную прямую не проведете. И речь здесь вовсе не о трактовке пятого постулата Риманом ;) Вы просто не сможете соблюсти параллельность. Геометрию Евклида можно объявлять лженаукой?))
phenik
12.12.2023 02:02Немного не в тему вашей дискуссии об аксиомах, но интересной теме соотношения геометрии и физики, имеющей методологическое значение.
И нет, я не переходил в "несовершенный физический мир". Я использовал для построения только "разрешенный геометрический инструментарий" - линейку и циркуль.
Геометрия ближе всего к физике. Гильберт даже предлагал считать ее разделом физики. Использование линейки, как измерительного инструмента необходимого для работы с геометрическими объектами, как и других инструментов, подчеркивают это отношение. Физика изучает распределения вещества и полей, диффузию веществ и рассеяния полей, геометрия градиенты этих процессов. Идеализация этих градиентов приводит к геометрическим понятиям, включая линий и углов. В зрительном восприятии прообразы линий и углов возникают уже в визуальной зоне V1, которые улучшаются в вышележащих зонах визуального тракта, и окончательно абстрагируется в высших отделах (ассоциативных) коры мозга. В этом отношении прообразы чисел формируются только в разделах V4 и IPS, намного выше геометрических примитивов, что подчеркивает комплексный характер чисел, как биологических признаков. Нейрофизиология подтверждают наш обыденный опыт оперирования геометрическими объектами. По этой причине существует не мало программ геометризации физики, начало которым положил Ньютон. Практически все доказательства в его натурфилософии носят геометрический характер. Эту традицию продолжил Эйнштейн в СТО и особенно ОТО. Есть более современные программы, включая для микромира. Нетрудно также понять, что топология лежит еще ближе к физической реальности, чем геометрия, и поэтому ее методы также широко используются для формализации физических представлений, см., как пример, учебник физики на эти тему.
Интересно, что моделирование зрительного восприятия с помощью ИНС сверточного типа, со структурой напоминающей структуру зрительного тракта, также приводит к возникновению геометрических примитивов в нижележащих слоях сети, а числовых представлений в вышележащих. А сама процедура обучения таких сетей - метод градиентного спуска, отсылает к роли градиентных свойств физической реальности в процессе развития и обучения мозга в ходе эволюции видов. Хемотаксис простейших в прямую использует эти градиенты.
И речь здесь вовсе не о трактовке пятого постулата Риманом ;) Вы просто не сможете соблюсти параллельность. Геометрию Евклида можно объявлять лженаукой?))
Математики евклидову и неевклидовы геометрии часто резко разграничивают, но поскольку геометрия близка к физике, то они, также как и физические теории, подчиняются общенаучному методологическому принципу соответствия. Евклидова геометрия предельный случай неевклидовых при стремлении радиуса кривизны соответствующих пространств к бесконечности, так же как классическая механика предельный случай релятивистской.
muxa_ru Автор
12.12.2023 02:02Нет, перешли, потому что аксиому геометрии и построенная на них теория работают в в идеальном математическом мире.
Собственно говоря, именно об этом эта серия статей - о том что люди не понимают что переход между разными моделями и вариантами описания.
Люди думают, что раз они технически могут создать отображение исходного объекта другими средствами, то значит все свойства отображения распространяются и на сам исходный объект.
В моём случае это "раз я технически могу сложить два числа, то это сложение имеет смысл и в физической реальности", в Вашем - "раз я физически могу два раза провести ручкой по одному и тому же месту, значит и в геометрическом расчёте всё точно так же".
Нет, это не так. Переход между разными вариантами
Что изменится от того, что точки станут безразмерными, а прямые с единичной размерностью? Я вдруг не смогу проводить прямые?))
Если точки будут иметь размер, а прямые - толщину, то будет больше одного варианта проведения прямых через точки.
Вот тут как раз люди обсуждают "а зачем нам писать что точка не делится на части" - https://youtu.be/yc2350IZvAk?feature=shared&t=1054
А вот затем и писать, что если точка на части не делится, то значит нельзя провести линию через что-то называемое "часть точки".
Именно это отсутствие размеров у точки, и толщины у линии и плоскости, позволяют геометрии функционировать.
Если они будут иметь размер, то геометрические расчёты и построения станут невозможны.
Spaceoddity
12.12.2023 02:02Если точки будут иметь размер, а прямые - толщину, то будет больше одного варианта проведения прямых через точки.
Извините, но сдаётся мне, вы не понимаете о чём пишете...
Я специально взял линейку и циркуль - это "идеальные геометрические инструменты". На практике, разумеется, это даст какие-то погрешности. Но геометрические задачи на построение никто и не рассматривает в контексте идеального практического применения. Их рассматривают именно в контексте "идеального математического мира".
Типичные примеры: задачи на трисекцию угла и квадратуру круга. Они не решаемы при помощи этих "идеальных инструментов", как раз по причине того, что они не решаемы в принципе.
muxa_ru Автор
12.12.2023 02:02Я специально взял линейку и циркуль - это "идеальные геометрические инструменты".
Как я уже говорил, эта ситуация сродни той, о которой эта серия статей.
Вы говорите что можете вычислить сумму "5м+5кг", потому что вот же калькулятор показывающий "10".
Ну, ок, складывайте.
Или проводите карандашом 10 раз по одному месту, а потом говорите что "вот же, можно же провести 10 совпадающих прямых линий".
muxa_ru Автор
12.12.2023 02:02И извините, конечно, но с таким подходом вы точно так же и ту единственную прямую не проведете.
Проведу, но буду помнить о том, что это всего лишь огрублённая физическая модель и эти огрублённые свойства нельзя переносить на исходную идеальную геометрическую систему.
Spaceoddity
12.12.2023 02:02Опять не понимаете (но зато написали статью о проблемах аксиоматики). Эти ваши построения есть ничто иное как просто иллюстрация того, какое идеальное математические преобразование мы используем для решения. Например, когда мы проводим окружность циркулем - смысл этого вовсе не в черчении круга, а в геометрическом переносе интервала.
Ведь эти построения выбираются не от балды, а исходя из строгих логических выводов из условий задачи. Если строго логического соответствия нет, то и делать такие построения некорректно.
Трисекцию угла можно сделать с любой степенью точностью. Но принципиально эта задача не имеет решения.
UPD: Есть даже целый ряд задач, направленных на иллюстрацию того, как внешне выглядящий вполне корректным чертёж, может дать неправильный ответ как раз по причине того, что эта корректность не подкреплена непротиворечивым логическим обоснованием.
muxa_ru Автор
12.12.2023 02:02Опять не понимаете (но зато написали статью о проблемах аксиоматики).
А Вы не могли бы словами написать, чего именно я, по Вашему мнению, не понимаю?
andyudol
12.12.2023 02:02проводить прямые пока рука не устанет
Это вы строите чертежи прямых, а не прямые. У чертежа своя система аксиом.
Spaceoddity
12.12.2023 02:02Уже ближе к истине, наверное...
Но теперь самое забавное - вернёмся к исходному комментарию. Мы тут все вроде взрослые люди, и все равно развели терминологический спор. В то время как подразумевается, что любой шестиклассник должен с легкостью понять "что же имелось в виду под нельзя провести"
muxa_ru Автор
12.12.2023 02:02Мы тут все вроде взрослые люди, и все равно развели терминологический спор.
Всё правильно, взрослые люди не устраивают терминологических споров - они договариваются о терминологии и дальше действуют исходя из этой договорённости.
muxa_ru Автор
12.12.2023 02:02А почему нельзя провести несколько прямых параллельных данной?
Можно или нельзя, зависит от придуманных аксиом.
Но не в смысле "Возможно всё! Просто вообрази!", а просто как как написание начальных условий решаемой задачи.
vassiliy_kiryanov
12.12.2023 02:02Вообще-то и единица массы выводится из метра и секунды. Есть такая LT-система размерностей. Длина и время (LT) вполне базовые размерности нашей реальности. А масса - уже вторична.
muxa_ru Автор
12.12.2023 02:02Ну так систему можно создать такую какая будет удобна и эффективна при решении конкретных задач. Надо расписать аксиоматические элементы и принрципы их комбинирования, а потом использовать это в работе.
И никакой всамделешной системы описания мира не существует. :)
SemenovVV
12.12.2023 02:02какое отношение к аксиомам имеют "7 аксиом Международной системы единиц (СИ) " ? аксиомы это математика, система единиц - это метрология.
muxa_ru Автор
12.12.2023 02:02Такое, что аксиомы это атомарные невзаимозаменяемые элементы из которых строится вся система. И тут уже не важно чем именно являются эти элементы:
- буквами
- цифрами
- размерностью
- точка не имеет длины, ширины и высотыВажна лишь роль которую эти элементы играют в рамках выстраиваемой системы.
А то что единицы в СИ не выглядят как постулаты, это всего лишь вопрос формулировок использованных при записи..
Можно ведь записать основные величины СИ в виде постулатов:
1. Длина обозначается буквой L и измеряется в метрах
2. Масса обозначается буквой M и измеряется в килограммах
3. ...
Stenmar
12.12.2023 02:02Автор периодически путает аксиомы с предположениями и всем таким, хотя верно подчёркивает роль аксиом как исходных пунктов нашей логической системы. Например, в доказательстве от противного для А \implies B мы не вводим аксиому того, что B является ложным, мы делаем предположение, что B является ложным (рассмотрим такой случай, при котором B ложно) и проверяем истинность А (может ли А быть истинно тогда, когда ложно B). Аксиомами здесь являются аксиомы логики высказываний, а мы лишь применяем их или какие-то следствия из них. То же самое с "аксиомой" о том, что мы работаем с несжимаемой жидкостью, или с идеальным газом и т.п. - это не аксиомы, это упрощения, которые мы сознательно принимаем для построения нашей модели. Это предположение у нас будет играть роль либо определения, либо какого-то требования к нашей логической системе (мы хотим, чтобы наша система описывала идеальный газ), но никак не аксиомы. Ну и, между тем, аксиомы не обязаны приниматься без доказательств. Они не имеют (по крайней мере не должны иметь) доказательство в той теории, которую они формируют, как ЛНЗ вектора, так и НЗ система аксиом.
Из-за достаточно вольной трактовки аксиом как простых утверждений, принимаемых за истинные, а также из-за трактовки аксиом как строительных блоков нашей теории (что конечно же отчасти верно), у автора всё смешивается в кучу и система единиц измерения превращается почему-то в систему аксиом. Например, в системе Си нет утверждений, есть символы (трактуемые как величины). Аксиомы не просто куда-то там выстраиваются и куда-то их можно вывести. Роль аксиом - служить логически исходными пунктами некоторой дедуктивной теории, в которой всякий вывод из аксиом несёт столько же информации, сколько и сами аксиомы. В системе Си дедуктивной теории и правил вывода нет (хотя можно, наверное, представить их как такую теорию, в которой правила вывода - это умножение и деление, но это другая история, поскольку мы ещё не ввели в неё какие-либо утверждения и правила определения их истинностного значения).
Что мы узнали из статьи? Что существуют предположения, которые почему-то можно считать аксиомами, и что простые числа можно считать аксиомами для составных чисел, и т.п. Сведение некоторых утверждений до аксиоматики, описываемое в статье, сводится к задаче поиска доказательства утверждения в данной системе аксиом, при условии его существования. К сожалению, в статье ни слова не сказано про computer-assisted proofs, проблему выполнимости и т.п., соответственно всё, о чём мы узнали из статьи - что нечто можно свести до чего-то.muxa_ru Автор
12.12.2023 02:02Что существуют предположения, которые почему-то можно считать аксиомами
"аксиома" это роль в рамках выстраиваемой системы.
Одна и та же фраза может быть выводом в одной системе, предположением в другой, аксиомой в третьей и ложью в четвёртой.
Потому что все системы конечны и ограничены рамками решаемых задач.
Это как с ролью человека в каком-то социуме. В одном он может быть начальник, а в другом - подчинённый. В этом нет путаницы и противоречий, потому что это просто разные системы.
Emelian
12.12.2023 02:02В математике аксиомы не предмет веры, истины или чего-то еще. По сути, это произвольные утверждения, обладающее некоторыми свойствами:
1. Элементарность. Если более сложное утверждение можно заменить на несколько простых, то используют простые.
2. Непротиворечивость. Система аксиом должна быть формально не противоречивой.
3. Полнота. Количество аксиом должно быть достаточным для построения содержательной теории.
Далее, (произвольно) выбранная система аксиом не имеет смысла без формальной (математической) логики. Логика это особая математическая конструкция, со своими аксиомами и правилами вывода следствий из посылок. Чтобы не скатиться в «дурную бесконечность», как говорят математики, логика опирается, в том числе и на неформальные базовые вещи, которые зиждутся на глубокой интуиции, практическом опыте и общепринятом консенсусе. Отсюда происходят такие понятия, как неформальная логика, житейская логика, практическая логика, концептуальная логика и даже, «женская логика».
Самая строгая, это, конечно, математическая логика. Но, пока все рассуждения невозможно свести только к ней. Поэтому, простора для философских и математических исследований здесь более, чем достаточно.
Ну, хорошо, с логикой не все идеально, но более-менее понятно. Поэтому, после выбора произвольной системы аксиом, обычно для теоретических и научно-исследовательских целей, с помощью логики и системы определений, вводящие новые понятия, строится, по общепринятым правилам, соответствующая формальная теория.
Кстати, помимо определяемых понятий, в математике используются и неопределяемые понятия. Вот в посте выше написали: «в школьной программе геометрии нет понятия "прямая линия", есть просто "прямая"». У Эвклида было «определение» прямой как «длины без ширины», а точки как места пересечения двух неравных прямых. На самом деле, все эти «определения» не имеют особого смысла и являются всего лишь понятиями, как, скажем, натуральное число (для натуральных чисел существует аксиоматика Пеано, но это отдельный разговор).
Дело в том, что математике важны не столько формально неопределяемые понятия, сколько отношения между ними и их постулируемые либо выводимые свойства. Поэтому математика имеет дело, в основном с отношениями между «математическими объектами».
Для тех, кто дочитал до сих пор, может возникнуть резонный вопрос: «Если математика это произвольные наборы аксиом, из которых с помощью полуформальной логики строятся какие-то непротиворечивые теории, то, как определить их "истинность"?». А никак! В математике, истинно все то, что непротиворечиво! Соответственно, все математические теории «истинны».
Не задача математиков адаптировать свои теории к физической реальности. Для этого есть другие специалисты, например, физики-теоретики. Да, их тоже, бывает, заносит куда-то в сторону. В теорию «Большого Взрыва», например. Сейчас вся теоретическая физика находится в определенном кризисе, как и сто с лишним лет назад. Спасают теоретиков экспериментаторы и эмпирические формулы. Есть даже поговорка: «Любая теория верна до тех пор, пока не будет опровергнута!».
> А почему нельзя провести несколько прямых параллельных данной?
Ну, почему нельзя? Можно. В геометрии Лобачевского принят постулат: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят, по крайней мере, две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её». А в геометрии Римана, наоборот, не существует ни одной прямой, параллельной и непересекающейся с данной. Обе эти теории формально непротиворечивы, и, следовательно, «истинны».
Так что задача математики создавать теории отношений между произвольными
математическим объектами (задаваемых непротиворечивыми системами аксиом,
выбранных исходя, исключительно, из интересов их авторов) на 500 лет вперед. Ну,
а физики-теоретики будут выбирать оттуда, то, что «ближе к их телу». При этом,
конечно, могут и фальсифицировать науку, при большом желании. Что отчасти и
делается в современном мире.
Vitter
1) Аксиома истина по определению
2) Истинность Теоремы выводится из аксиом и уже доказанных истинных Теорем
3) Иногда можно Теорему сделать альтернативной аксиомой, а аксиому - альтернативной Теоремой.
4) Некоторый набор аксиом может вести к противоречивости, а значит и ложности этого конкретного набора аксиом.
4) Физических "аксиом" не существует. Зато есть упрощения моделей реальности. Давайте не учитывать трения, ....
Пы.Сы. 7я единица - я подумал бы моль - ибо она ... безразмерна
alex103
в рамках заданной модели.
muxa_ru Автор
Моль раньше был урождённым Килограммом, ибо вычислялся через молярную массу Углерод-12, а теперь самостоятельная благородная величина. :)