01.09.2025 07:00
violent_muse 17 3900 Источник

Привет, меня зовут Диана, я математик и пишу для хабраблога МТС. Моя прошлая публикация была про скутоиды и набрала больше 40к просмотров — спасибо вам за ваш интерес!

Сегодня в честь первого сентября предлагаю решить тематическую задачку. Первые три пункта простые, на размяться и вспомнить базу. А вот четвертый весьма нетривиален и сильно сложнее. Мне его решение доставило много радости — надеюсь, и вам понравится!

Василий поступил в университет и впервые встретился со своей группой. Всего в группе 20 человек (включая Васю). И тут наш герой решает впечатлить всех своими знаниями теорвера и посчитать несколько интересных вещей.

  1. Какова вероятность, что хотя бы у одного одногруппника день и месяц рождения совпадут с Васиными?

  2. В первый же день все пишут тест, в нем 10 задач, решение надо сдать в виде текста. Проверяет этот тест специально обученный AI, причем вероятность, что он засчитает неверный ответ как верный, равна 2%, а вероятность, что верный ответ не засчитается — 0,5%. Статистика за предыдущие годы говорит, что в среднем вероятность решить каждую из задач теста равна 70%. В итоге Вася получил 10 из 10, ура! Но какова вероятность, что он действительно решил все задачи верно?

  3. С первого же дня Васе не понравился Петя, он тоже написал тест на 10 из 10 и вообще какой-то неприятный. Из всей группы набирают две волейбольные команды, каждая по 6 человек. Вася уже отобран в одну из них. Какова вероятность, что он окажется в одной команде с Петей?

  4. Университет требует назначить старосту группы, но никто не хочет брать на себя эту роль. Ребята решили, что это будет сменная должность — на каждый из 10 учебных месяцев этого года будет свой староста, при этом один человек может быть старостой не больше двух раз за год. Вася написал код, который выдает каждому человеку в группе число от 0 до 2 (сколько раз ты будешь старостой). Кто в какой месяц, неважно, это они решат между собой потом. Код честный и корректный, даже Петя зааппрувил. Какова вероятность, что Вася не будет старостой ни разу за год?

На этом все! Давайте заложим на решение три дня, включая сегодня. Ответы опубликую в четверг, а вас приглашаю писать свои варианты решений в комментариях.

Комментарии (17)


  1. sergeyns
    01.09.2025 07:33
    #28780328

    1. Какова вероятность, что хотя бы у одного одногруппника день и месяц рождения совпадут с Васиными?

    Это тест на то, кто не читал книжку "Занимательная математика"? Хотя там было по другому, должны были совпасть др у любых 2х человек..


    1. violent_muse Автор
      01.09.2025 07:33
      #28786782

      Это другая задача )
      Если у любых двух — то это "парадокс дней рождения", а тут всё сильно проще


  1. Aggle
    01.09.2025 07:33
    #28780376

    1. Какова вероятность, что хотя бы у одного одногруппника день и месяц рождения совпадут с Васиными?

    Это по мотивам парадокса из книжки Секея? Норм так, для размяться.


    1. violent_muse Автор
      01.09.2025 07:33
      #28786788

      Тут попроще


  1. theult
    01.09.2025 07:33
    #28780980

    1) 19/365 или 19/366 (в високосный год)

    2)80%

    3)5/19

    4)38/40


    1. notwithstanding
      01.09.2025 07:33
      #28781502

      В високосный год вероятность меняется?


      1. konst90
        01.09.2025 07:33
        #28782076

        Если они одногруппники, то возраст у них будет плюс-минус одинаковый. То есть например если Вася родился в 2008 году и в 2010 (и поступает в 17, как все) - вероятность нарваться на одногруппника, родившегося 29 февраля, разная.

        Если же так глубоко не копать, то насколько я понимаю - вероятность будет 1/365.25 для Васи, рождённого в нормальный день, и 0.25/365.25 для Васи, рождённого 29 февраля.

        UPD. 20/365,25 и 0,25*20/365,25, конечно же.


    1. violent_muse Автор
      01.09.2025 07:33
      #28786804

      Правильно только в третьем пункте, к сожалению


  1. Pshir
    01.09.2025 07:33
    #28781214

    Скрытый текст

    1. Во-первых, дело происходит в 2025 году. Значит, вероятнее всего, что Вася и его одногруппники родились в промежутке с осени 2006 до осени 2007 года - в первом приближении будем рассматривать не високосный год. Тогда ответ очевиден:

      p_1 = 1-\left(\frac{364}{365}\right)^{19}\approx0.05079.

      Для получения точного ответа нужно рассматривать вероятности того, что кто-то из этих людей родился в високосные года. Например, кто-то поступал после срочной службы, кто-то пару лет работал, а кого-то родители в 6 лет в школу отдали (выпендрёжник Петя наверняка из этих).

    2. Рассмотрим все возможности того, что произошло с тестом Васи. Вася мог решить все задачи, и специально обученный AI все засчитал. Вероятность этого события:

      p_{10-0}=0.7^{10}\cdot0.995^{10}.

      Вася мог решить 9 задач, и специально обученный AI засчитал все верные ответы и один неверный. Вероятность этого события:

      p_{9-1}=C_{10}^{1}\cdot0.7^9\cdot0.3^1\cdot0.995^9\cdot0.02^1.

      И так далее. Итого, искомая вероятность будет равна:

      p_2 = \frac{p_{10-0}}{p_{10-0}+\ldots+p_{0-10}}=\frac{1}{C_{10}^{0}+\ldots+C_{10}^{10}\left(\frac{0.3\cdot0.02}{0.7\cdot0.995}\right)^{10}}=\\=\frac{1}{\left(1+\frac{0.3\cdot0.02}{0.7\cdot0.995}\right)^{10}}\approx0.9178.

    3. В условии не сказано, распределён ли уже кто-то, кроме Васи, по командам. Если считать, что только Вася распределён, а остальные 19 человек не распределены, то вероятность Пете попасть в ту же команду равна

      p_3=\frac{5}{19}\approx 0.263.

    4. Критерии честности и корректности кода не указаны, но представим, что любые разные распределения чисел 0, 1 и 2 по людям, удовлетворяющие условию, что сумма всех чисел равна 10, равновероятны (ни откуда не следует, что числа 1 и 2 равнозначны, поэтому пришлось додумывать условие). Число 10 можно набрать 6 способами: 1) пять двоек и 15 нулей; 2) 4 двойки, 2 единицы и 14 нулей; 3) 3 двойки, 4 единицы и 13 нулей;... 6) 10 единиц и 10 нулей. Для подсчёта всех вариантов нужно раскидывать эти числа по 20 людям, а для подсчёта вариантов, где Вася не будет старостой, нужно раскидать в каждом способе на один ноль меньше, но по 19 людям. Получим ответ:

      p_4=\frac{\frac{19!}{5!0!14!}+\frac{19!}{4!2!13!}+\frac{19!}{3!4!12!}+\frac{19!}{2!6!11!}+\frac{19!}{1!8!10!}+\frac{19!}{0!10!9!}}{\frac{20!}{5!0!15!}+\frac{20!}{4!2!14!}+\frac{20!}{3!4!13!}+\frac{20!}{2!6!12!}+\frac{20!}{1!8!11!}+\frac{20!}{0!10!10!}}=\\=\frac{4042}{6605}\approx0.61196.


    1. OlegMax
      01.09.2025 07:33
      #28781836

      Во втором решении адовый путь выбран)

      Там же просто вероятность правильного решения при зачтенном возвести в десятую степень


      1. Pshir
        01.09.2025 07:33
        #28782412

        Согласен! Но я уже успел большую часть написать, когда понял, что зря я так, и стирать не стал :) у меня 20 лет окончания школы в этом году - соображалка уже поскрипывает.

        Скрытый текст

        Подозреваю, что в 4 задаче можно через производящие функции получить простую формулу, но это было так давно, что я не стал вспоминать и разбираться, а написал прямо в лоб.


    1. violent_muse Автор
      01.09.2025 07:33
      #28786830

      Во-первых — моё почтение за решение!
      По ответам: 1, 3 и 4 верны, а во втором, как уже упомянули выше, можно просто найти вероятность действительно верно решённой одной задачи и возвести в десятую степень


  1. mojem_povtorit
    01.09.2025 07:33
    #28781504

    1) 5.07% Принцип дополнения
    2) 91.7% Теорема Байеса
    3) 26.3% Треугольник Паскаля
    4) 61.1% Производящая функция


    1. violent_muse Автор
      01.09.2025 07:33
      #28786846

      Супер! У меня во втором 0.9182, но скорее всего мы просто округляли на разных этапах