Предисловие. Почему я снова здесь

Недавно я опубликовал на Хабре статью «Теория всего. From Zero to Hero» — попытку выстроить единую линию от квантовой информации до голографии и показать, как геометрия пространства‑времени может быть не фундаментом, а следствием организации квантовой информации. Статья получилась длинной (на пару часов чтения), местами сложной, но отклик показал, что есть люди, которым интересен такой подход: без упрощений до кривых метафор, но и без ухода в технические дебри, недоступные без PhD.

Среди комментариев был вопрос, который зацепил меня особенно: «А вы не просто переобозвали физические концепции как информацию?» И знаете что? В каком‑то смысле критик был прав. В той статье я показал большую картину, но многие детали остались за кадром. Особенно те, которые касаются самых базовых «почему» квантовой механики.

Принцип запрета Паули — одно из таких «почему». Все знают формулировку: два фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии. Но почему? В учебниках пишут про антисимметрию волновой функции, про спин‑статистику, но редко объясняют, откуда это берётся на самом деле. Ещё в МИФИ, читая Ландау‑Лифшица, я чувствовал, что что‑то упускаю. Формулы были правильные, расчёты сходились, но понимания «почему именно так» не было.

Потом, уже работая с ИИ и пытаясь объяснить машине квантовую механику (да, я из тех странных людей, которые обсуждают физику с GPT), я понял: если не можешь объяснить что‑то достаточно ясно, чтобы это запрограммировать — значит, сам не понимаешь до конца. И Паули оказался именно такой темой.

Эта статья — моя попытка разобрать принцип Паули до кварков и собрать обратно. Но не только его. По ходу выяснилось, что та же математика антикоммутации, которая даёт нам запрет Паули, порождает призраков Фаддеева‑Попова в калибровочных теориях, bc‑призраков в теории струн, и вообще является универсальным способом «вычитания лишнего» из пространства состояний.

Для кого эта статья

Если вы читали первую статью — отлично, многие понятия будут знакомы. Если нет — тоже не страшно, я буду вводить всё необходимое по ходу. Единственное требование — базовое понимание квантовой механики на уровне «волновая функция описывает вероятности» и готовность следить за логикой без упрощения до бытовых аналогий.

Уровень изложения тот же, что я держал в первой статье: физмат‑школа при МИФИ (лицей № 1511 — о чем символически намекает текущая дата). Не нужно знать, что такое расслоение или когомология (хотя — это тоже очень интересные разделы высшей математики). Но нужна готовность думать и, возможно, перечитывать некоторые места дважды (именно так я и делаю со многими научными материалами — чтобы въедались).

План путешествия

Мы начнём с фундамента — почему квантовая механика линейна, хотя мир вокруг нас явно нелинеен. Это критично, потому что принцип Паули существует только благодаря линейной структуре пространства состояний.

Затем разберём неразличимость частиц и покажем, как из неё естественно следует разделение на фермионы и бозоны. Принцип Паули окажется не мистическим запретом, а простым алгебраическим фактом: антисимметричная функция с двумя одинаковыми аргументами равна нулю.

Дальше свяжем это со спином через теорему спин‑статистики — покажем, почему частицы с полуцелым спином обязаны быть фермионами, если мы хотим сохранить причинность.

Потом перейдём к техническому языку: операторы рождения‑уничтожения, антикоммутаторы, грассмановы числа. Это тот универсальный алфавит, на котором записывается и принцип Паули, и призраки Фаддеева‑Попова.

Вторая половина статьи — про калибровочные теории и проблему «лишних» степеней свободы. Мы увидим, как метод Фаддеева‑Попова превращает якобиан в призрачные поля, почему эти призраки антикоммутируют, хотя имеют нулевой спин, и как BRST‑симметрия организует всю эту конструкцию.

В конце соберём всё вместе: Паули, призраки, BRST — это разные проявления одного принципа. Квантовая теория умеет «вычитать лишнее» из пространства состояний, используя антикоммутацию как универсальный инструмент.

Метод изложения

Как и в первой статье, я буду использовать принцип «редукция и индукция». Сначала разберём явление на составные части, поймём каждую, затем соберём обратно и увидим общую картину. Каждую ключевую идею повторю несколькими способами — через формулы, через физическую интуицию, через конкретные примеры.

И да, я по‑прежнему считаю, что физику можно и нужно объяснять как литературное повествование, а не как сухой справочник. Формулы будут, но они будут частью рассказа, а не самоцелью.

Поехали. Начнём с того, почему вообще квантовая механика должна быть линейной.

Глава 1. Состояния, амплитуды и суперпозиция: от линейности к нелинейному миру

Линейность как фундамент, а не произвол

Принцип суперпозиции часто подаётся как аксиома, которую нужно принять на веру. Состояние системы — вектор в комплексном гильбертовом пространстве, любая линейная комбинация  — тоже допустимое состояние, эволюция унитарна и линейна. Звучит как магическое заклинание, особенно на фоне того, что весь макроскопический мир вокруг нас откровенно нелинеен: турбулентность, хаос, нелинейная оптика, фазовые переходы.

Но линейность квантовой механики — не произвольный выбор. Аксиоматические реконструкции последних десятилетий показывают удивительную вещь. Работы Hardy (2001), затем Chiribella, D'Ariano и Perinotti (2011), а также Masanes и Müller (2011) независимо пришли к одному выводу: если требовать от теории непротиворечивой вероятностной структуры, композиционности систем (можно соединять подсистемы в большую систему), локальной томографии (глобальное состояние восстанавливается из локальных измере��ий и корреляций) и существования обратимой динамики — естественным ответом оказывается именно гильбертово пространство с линейной унитарной эволюцией.

Это не единственно возможная логика мироздания, но определённо самая экономная из известных, которая при этом идеально согласуется с экспериментом. Каждая попытка её модифицировать приводит либо к усложнению без выигрыша, либо к прямому конфликту с опытом.

Откуда же берётся нелинейность мира

Парадокс в том, что мир действительно нелинеен — но не на уровне квантовых состояний , а на уровне эффективных классических полей, средних величин и макроскопических уравнений.

Возьмём нелинейную оптику — классический пример «нелинейности» в физике. Уравнения Максвелла в вакууме абсолютно линейны. Нелинейность появляется, когда электромагнитное поле взаимодействует с веществом, и поляризация среды начинает зависеть от поля нелинейно: содержит не только линейный член , но и квадратичный , кубический и так далее. Но это нелинейность отклика материала, а не фундаментального закона. На квантовом уровне система «фотоны плюс электроны плюс кристаллическая решётка» по‑прежнему описывается линейным уравнением Шрёдингера — просто в гамильтониане есть члены взаимодействия.

Эффект Швингера — рождение электрон‑позитронных пар в сверхсильном электрическом поле — выглядит как жёсткая нелинейность: вакуум «рвётся» и порождает частицы. Но квантовая электродинамика, которая это описывает, остаётся линейной теорией по отношению к состояниям. Нелинейность проявляется только в эффективном действии для классического электромагнитного поля после интегрирования по квантовым флуктуациям.

Турбулентность, хаос, фазовые переходы — все эти яркие примеры нелинейности возникают в уравнениях для макроскопических средних: скорости жидкости, плотности, намагниченности. Эти уравнения получаются усреднением по миллиардам квантовых степеней свободы, и само это усреднение естественным образом порождает нелинейные члены. Между линейным квантовым фундаментом и нелинейным макромиром лежит слоистая конструкция: взаимодействия создают корреляции, усреднение корреляций даёт нелинейные эффективные уравнения.

Почему нелинейная квантовая механика не работает

История знает попытки построить фундаментально нелинейную квантовую механику. В 1980-90-х годах сам Стивен Вайнберг и другие исследователи пробовали ввести в уравнение Шрёдингера нелинейные поправки вида , чтобы посмотреть, что получится.

Результат оказался поучительным. Почти мгновенно вылезли фундаментальные проблемы. В запутанных состояниях локальные нелинейности позволяли мгновенно передавать информацию на расстояние — прямое нарушение причинности. Композиция систем становилась неоднозначной: разные наблюдатели начинали видеть разные «эффективные» законы эволюции. Экспериментально проверенные предсказания — от статистики распадов до атомных спектров — переставали сходиться с опытом.

Каждый эксперимент по проверке квантовой механики — от классической интерференции до современных тестов неравенств Белла — подтверждает именно линейную версию теории. Все попытки найти нелинейные отклонения упираются либо в экспериментальные ограничения (отклонения меньше и продолжают ужесточаться), либо в теоретические противоречия.

Современная позиция физики такова: на фундаментальном уровне линейность состояний и их эволюции — это не просто удобное приближение, а жёстко проверенный закон природы. Нелинейность макромира — не контраргумент, а естественное следствие взаимодействий и усреднений в рамках линейной квантовой теории.

Почему это критично для понимания Паули и призраков

Зачем столько внимания линейности в статье про принцип запрета и призраков Фаддеева‑Попова?

Принцип запрета Паули существует именно потому, что пространство состояний фермионов линейно. Антисимметрия волновой функции по перестановке частиц имеет смысл только в линейном пространстве, где можно говорить о суперпозиции состояний. Когда два фермиона пытаются занять одно состояние, антисимметризация даёт ноль — но это работает только благодаря линейной структуре. В нелинейной теории само понятие антисимметричной суперпозиции теряет смысл.

Призраки Фаддеева‑Попова появляются из необходимости правильно проинтегрировать по калибровочно‑эквивалентным конфигурациям поля. Вся процедура построена на линейном функциональном интеграле. Якобиан преобразования становится детерминанто��, детерминант представляется через интеграл по грассмановым (антикоммутирующим) переменным — и всё это работает именно в рамках линейной теории.

Без линейности не было бы ни антисимметрии Паули, ни грассмановых переменных для фермионов и призраков, ни самой структуры BRST‑симметрии, которая организует всю эту математическую машинерию. Линейность — не абстрактная аксиома, которую нужно принять и забыть. Это фундамент, на котором строится вся дальнейшая конструкция: от запрета двум электронам находиться в одном состоянии до тонкой бухгалтерии калибровочных степеней свободы через призрачные поля.

В следующей главе мы возьмём эту линейную структуру и посмотрим, как из неё и из факта неразличимости частиц рождается принцип Паули — не как мистический запрет, а как алгебраическое следствие антисимметрии в линейном пространстве состояний.

Глава 2. Неразличимость, фермионы и бозоны: как антисимметрия убивает невозможное

От неразличимости к детерминанту Слейтера

В предыдущей главе мы установили, что квантовая механика фундаментально линейна. Теперь посмотрим, что происходит, когда в этом линейном пространстве появляется несколько одинаковых частиц.

Неразличимость — не философская абстракция, а экспериментальный факт. Если у вас есть два электрона, невозможно повесить на них бирки «первый» и «второй» и потом отследить, кто есть кто. Любое измерение, любой эксперимент даст одинаковый результат независимо от того, как вы мысленно пронумеровали частицы.

В квантовой механике это означает, что волновая функция двух частиц при перестановке аргументов может измениться максимум на фазовый множитель. Топология группы перестановок в трёхмерном пространстве допускает только два варианта: либо функция остаётся той же (симметричная, бозоны), либо меняет знак (антисимметричная, фермионы).

Для фермионов это приводит к поразительному следствию. Если обе частицы пытаются занять одно и то же одночастичное состояние , антисимметричная волновая функция принимает вид:

Но и  — это одно и то же, просто с переставленными индексами. Разность равна нулю. Состояния с двумя фермионами в одном квантовом состоянии просто не существует в пространстве допустимых векторов.

Для N фермионов ситуация обобщается через детерминант Слейтера — антисимметричную комбинацию всех возможных перестановок:

Красота этой конструкции в её простоте: если две частицы пытаются занять одно и то же состояние , два столбца детерминанта совпадают, и он обращается в ноль. Принцип Паули оказывается не дополнительным постулатом, а элементарным свойством детерминанта — математическим фактом, известным задолго до квантовой механики.

Физические образы за математикой

Чтобы это не казалось формальным трюком, полезно представить физические аналогии. Одночастичное электронное состояние можно представить как кресло, рассчитанное на одного. В классическом мире можно попытаться усадить двоих на одно место — будет тесно, но физически возможно. В квантовом мире фермионов само пространство состояний «запрограммировано» иначе: попытка посадить второго фермиона в занятое состояние даёт математический ноль, не новое физическое состояние.

Или представьте антисимметрию как отражение в зеркале со сменой знака. Когда вы переставляете две частицы местами, волновая функция меняет знак. Если обе частицы в одном состоянии, то перестановка ничего не меняет физически, но математика требует смены знака. Единственный способ удовлетворить оба условия — нулевая функция.

Эта простая алгебра порождает всю сложность атомных оболочек. На каждом энергетическом уровне атома есть определённое число «мест» — одночастичных состояний . Уровень 1s имеет два места (спин вверх и вниз), 2p — шесть (три орбитальных момента, умноженные на два спина), и так далее. Вся периодическая таблица, вся химия — следствие этой комбинаторики заполнения детерминанта Слейтера.

Спин как часть полного состояния

Важное уточнение: принцип Паули работает не только для пространственных координат. Полное одночастичное состояние включает все квантовые числа: координаты, спин, изоспин — всё, что характеризует частицу. «Два фермиона не могут находиться в одном состоянии» означает: не может быть двух фермионов с полностью идентичным набором всех квантовых чисел.

Именно поэтому в одной пространственной орбитали могут находиться два электрона — но только с противоположными спинами. Если пространственные части волновых функций одинаковы, спиновые должны быть ортогональны, чтобы полная антисимметричная функция не обратилась в ноль.

Паули без взаимодействий

Существует соблазн думать, что электроны «расталкиваются» по разным состояниям из‑за кулоновского отталкивания. Это неверно. Принцип Паули — чисто кинематический эффект, следствие геометрии пространства состояний, а не динамики взаимодействий.

Даже если полностью выключить электромагнитное взаимодействие, оставить нейтральные фермионы без всяких сил между ними, антисимметрия никуда не денется. Вырожденный электронный газ в металле или нейтронный газ в нейтронной звезде имеют огромное давление именно из‑за принципа Паули, а не из‑за сил отталкивания. Частицы «расталкиваются» не потому, что толкают друг друга, а потому, что пространство состояний не позволяет им сблизиться.

Это похоже на то, как два одинаково направленных вектора не могут быть линейно независимыми — не из‑за какого‑то взаимодействия между ними, а из‑за самой структуры векторного пространства.

Универсальность антикоммутации

Принцип антисимметрии, кото��ый мы увидели для фермионов, — это первая встреча с универсальным мотивом квантовой теории. Везде, где появляются антикоммутирующие объекты — электроны, кварки, нейтрино, или даже призраки Фаддеева‑Попова в калибровочных теориях — работает одна и та же логика: теория использует антикоммутацию для вычитания «недопустимых» или «лишних» состояний.

Для фермионов недопустимые состояния — это попытка поместить две частицы в одно квантовое состояние. Для калибровочных теорий лишние состояния — это нефизические степени свободы, связанные с произволом выбора калибровки. В обоих случаях математический аппарат один: антикоммутирующие переменные, детерминанты, грассмановы числа.

В следующей главе мы поднимемся на уровень выше и посмотрим, как принцип Паули связан с геометрией пространства‑времени через теорему спин‑статистики. Окажется, что связь между полуцелым спином и фермионной статистикой — не случайность, а необходимость, продиктованная требованиями причинности и устойчивости вакуума.

Глава 3. Спин и теорема спин-статистики: почему полуцелый спин не может быть «обычным»

В прошлой главе мы увидели принцип Паули в самом честном виде: антисимметрия убивает состояние, где два фермиона пытаются занять одно и то же одночастичное состояние. Это уже очень много. Но вопрос остался висеть в воздухе: почему именно электрон — антисимметричный? Почему спин 1/2 автоматически означает, что частица должна подчиняться принципу Паули? Нельзя ли придумать мир, где спин-1/2, но бозонная статистика?

Инстинкт говорит: да почему бы и нет, возьмём тот же формальный аппарат, только разрешим «двоих на одном стуле» и посмотрим, что получится. Формальная квантовая полевая теория (если её не сильно мучить) действительно позволяет так записать. Но дальше вмешивается геометрия пространства‑времени, локальность и причинность — и выбивает табурет под такими конструкциями.

Спин как подпись вращения

Начнём со спина. В классике мы представляем себе шарик, который крутится вокруг оси. У электрона такого образа нет. У него нет маленького поверхностного рисунка, который можно было бы представить как «реально вращающийся». Вместо этого есть строгое утверждение: спин — это то, как состояние реагирует на вращения.

Если повернуть экспериментальную установку вокруг оси на угол , состояние частицы должно трансформироваться по какому‑то правилу:

Группа вращений в трёхмерии — это SO(3). Но у неё есть универсальное накрытие — SU(2): для каждого поворота в SO(3) существуют два элемента в SU(2), и именно SU(2) оказывается естественной симметрией для спина. Неприводимые представления SU(2) маркируются «спином»

У спина размерность представления равна  — это число возможных проекций . Представление «чувствует» поворот на как «возврат к себе», а на  — как умножение на фазу .

Фермионный спин 1/2 — это представление, для которого поворот на даёт минус:

а на  — возвращает в исходное состояние. Это не экзотика — это прямое следствие структуры SU(2). В спиновом базисе это выглядит как , ; при обе компоненты получают фазу −1.

Спин 1, наоборот, при обороте на возвращается к себе «без минуса». Уже здесь видно, что спин 1/2 не похож на обычную геометрическую ось: он живёт в «двухэтажной» группе.

Связь спина со статистикой через пространство-время

На первый взгляд непонятно: одна вещь про перестановку частиц, другая — про повороты. Почему одно вообще должно иметь отношение к другому?

Ответ приходит от более крупной симметрии — группы Пуанкаре (переносы плюс преобразования Лоренца), и трёх базовых требований к теории поля. Первое — Лоренц‑инвариантность: законы должны одинаково выглядеть в любых инерциальных системах. Второе — локальность и микропричинность: лагранжиан зависит только от полей и их производных в одной точке, а операторы в пространственноподобно разделённых точках коммутируют:

Третье — стабильный вакуум: должно существовать состояние минимальной энергии, и его нельзя бесконечно занижать созданием квантов.

Если принять эти три вещи как аксиому здравого смысла (пространство‑время не имеет привилегированных рамок, причинность соблюдается, вакуум не взорвётся), теория поля оказывается очень жёстко скованной. И один из результатов этой скованности — теорема спин‑статистики.

Поля с целым спином, чтобы соблюсти микропричинность и иметь хороший вакуум, должны подчиняться бозонной статистике (коммутаторы). Поля с полуцелым спином — фермионной (антикоммутаторы, антисимметрия).

Если попытаться сделать «спин 1/2 с коммутирующими полями», при «неправильных» коммутаторах появятся отрицательные нормы и «сверхсветовые» влияния. При попытке сохранить причинность окажется, что спектр энергии надо «перелопачивать», и вакуум перестаёт быть устойчивым.

Подробное доказательство — это гора математики (см. Стрейтингер‑Вайтман, Паули, Люхтенберг). Но важно понимание: спин и статистика сцеплены, если вы уважаете Лоренца и причинность.

Почему спин-1/2 бозон невозможен

Представим, что у нас есть поле со спином 1/2. Релятивистский кандидат в уравнение — уравнение Дирака:

Если трактовать как коммутирующее поле (как будто оно описывает бозон), возникают фундаментальные проблемы. При квантовании возникают отрицательные энергетические состояния, и попытка заполнить их «по‑бозонному» приводит к бесконечному провалу — вакуум проваливается бесконечно вниз. Попытка выбрать вакуум вручную ломает либо Лоренц‑инвариантность, либо микропричинность.

Если же вводить антикоммутаторы:

динамика Дирака аккуратно «размазывает» отрицательные энергии в интерпретацию античастиц, вакуум становится устойчивым, а микропричинность и Лоренц работают как часы. То есть антикоммутация — не чей‑то вкус, а клеящая лента, соединяющая Дирака с причинностью.

От нерелятивистского Паули к полной картине

То, что мы делали в предыдущей главе — детерминант Слейтера, антисимметрия волновой функции — можно рассматривать как нерелятивистский «нижний этаж» теоремы спин‑статистики. Там пространство‑время ещё не обязано быть Лоренц‑инвариантным во всей красе, но неразличимость частиц всё равно должна не менять физику. На этом этаже мы уже получили либо симметрию (бозоны), либо антисимметрию (фермионы) как канонические варианты.

На верхнем этаже, когда добавляются требования Лоренц‑инвариантности, локальности, микропричинности и устойчивого вакуума, обнаруживается, что именно полуцелый спин должен жить в антисимметричных пространствах (фермионы), а целый — в симметричных (бозоны). Не остаётся места для «спин-1/2, но без Паули» или «спин-1, но с Паули». Теорема говорит: наш случай — не просто один из возможных, а единственно совместимый с этими требованиями.

Исторически принцип запрета Паули появился раньше теоремы спин‑статистики. Паули сперва ввёл его «руками», чтобы объяснить спектры атомов и периодическую таблицу. С современной точки зрения можно смотреть на это двояко. В области, где мы не используем всю релятивистскую машинерию, Паули можно воспринимать как отдельный постулат («фермионы антисимметричны»). В полной квантовой теории поля Паули уже не постулат, а следствие более общих посылок.

Оба взгляда важны для понимания. Нерелятивистский даёт простую линейно‑алгебраическую картинку: детерминант, антисимметрия, запрещённые конфигурации исчезают. Релятивистский показывает, что Паули не висит в воздухе, а подпирается Лоренцем и причинностью.

Грассмановы числа как язык запрета

Во второй половине статьи мы перенесёмся в язык полей и функциональных интегралов. Там принцип «нельзя квадрата» реализуется через грассманов алфавит: числа с .

Такой объект автоматически «знает» Паули. Если поле фермионное, его компоненты грассмановы — никакое выражение в одной и той же компоненте не даёт новых степеней свободы. В функциональном интеграле фермионная детерминанта реализуется как интеграл по грассмановым полям.

Позже мы увидим, что призраки Фаддеева‑Попова тоже грассмановы — но уже не потому, что они фермионы, а потому, что они должны реализовать определитель Фаддеева‑Попова и строго вычитать лишнее. Это важный мост: у фермионов грассман означает антисимметрию и Паули как «запрет», у призраков — знак для определителя и вычитание излишка в пространстве функций.

В следующей главе мы погрузимся в технический язык этой антикоммутации — операторы рождения‑уничтожения, антикоммутаторы, грассмановы переменные. Это универсальный алфавит, на котором записывается и принцип Паули для фермионов, и вычитание лишнего для призраков.

Универсальность принципа вычитания

Мы прошли три важных шага. Сначала увидели принцип Паули как исчезновение невозможных состояний в антисимметричном пространстве — простая линейная алгебра, где детерминант с одинаковыми столбцами равен нулю. Затем поняли, что выбор «фермион или бозон» не произволен, а продиктован геометрией пространства‑времени и причинностью через теорему спин‑статистики. Наконец, навели мост к грассмановому языку, где антисимметрия становится технически удобной для расчётов.

Чувствуется общий мотив: некоторые направления в пространстве состояний должны быть убраны, и квантовая теория делает это не молотком, а очень тонкой алгеброй. Для фермионов это антисимметрия, убивающая состояния с двумя частицами в одной моде. Для калибровочных теорий это будут призраки, вычитающие нефизические степени свободы. В обоих случаях математический аппарат один — антикоммутация.

Эта глава была не абстрактным экскурсом, а центром тяжести всей конструкции. Она показывает, почему антисимметрия — не случайная прихоть, а глубинный ответ пространства‑времени на вопрос: как устроить квантовую теорию, которая уважает причинность и не разваливается?

Дальше логика развития такова. В следующей главе переведём всё на язык операторов и грассмановых переменных — универсальный инструмент для работы и с фермионами, и с призраками. Затем перейдём к калибровочным полям, увидим проблему пересчёта в интеграле по траекториям и поймём, как метод Фаддеева‑Попова и призраки её решают. В конце добавим BRST‑симметрию и призраков в струнах, чтобы увидеть: логика «запрета и вычитания лишнего» проходит красной нитью через всю физику — от принципа Паули до bc‑призраков на мировом листе.

Глава 4. Операторы и грассмановы числа: как квантовая логика становится «железом»

В первых главах мы работали в картинке, которую обожают учебники по квантовой механике: волновые функции, амплитуды , скалярные произведения. Это отличный уровень, чтобы почувствовать дух теории. Но как только вы хотите говорить про поля, фермионы, калибровки, вы попадаете в другой, более удобный язык — язык операторов и функциональных интегралов.

Цель этой главы — сделать этот переход так, чтобы он не выглядел страшным. Из уже привычных понятий состояния и антисимметрии почти автоматически вырастают операторы рождения и уничтожения, коммутаторы и антикоммутаторы, грассмановы переменные, и через них пишутся интегралы по траекториям для фермионных полей. И всё это — без лишнего мучения, только с тем, что нам правда нужно.

Гармонический осциллятор как прототип поля

Начнём с простейшего — квантового гармонического осциллятора. Он идеальный «тренажёр» перед теориями поля.

В классике это частица массы в потенциале с гамильтонианом . В квантовой картине оператор действует в гильбертовом пространстве, где и удовлетворяют коммутатору .

Вводим операторы рождения и уничтожения:

Они удовлетворяют коммутатору и позволяют переписать гамильтониан как:

Что это даёт? Состояния получаются как (с нормировкой), где  — вакуум с минимальной энергией. Оператор создаёт квант возбуждения: . Оператор уничтожает: . Всё пространство состояний описано комбинациями операторов, а не конкретными волновыми функциями.

Этот же мотив переносится на поля: поле — это, по сути, бесконечный набор осцилляторов. По каждой моде волны есть своё . Это проще, чем интегрировать по всем возможным каждый раз: вы просто говорите «вот оператор, добавляющий один квант с импульсом „.“»

Коммутаторы против антикоммутаторов: синтаксис бозонов и фермионов

В случае осциллятора мы уже увидели: . Для поля бозонов (типа скалярного поля ) обобщение такое: операторы с разными коммутируют:

Раскладываем по модам, «присобачиваем» к форме волн осцилляторы, получаем структуру Фока:

Фермионы требуют другого синтаксиса. Если мы хотим реализовать принцип Паули (не больше одного кванта на моду), нам не подойдут коммутаторы — они не мешают «двойному созданию». Нужно, чтобы . Это достигается, если вместо коммутатора использовать антикоммутатор:

Тогда создаёт фермион в моде , но  — второй раз не создать. Антикоммутатор гарантирует корректную статистику и совместимость с Лоренцем и микропричинностью (см. теорему спин‑статистики).

Это уже операторный язык принципа Паули: запрет — это равенство , а не отдельный постулат.

Что такое фермионное поле

В квантовой теории поля мы заменяем «частицу в одной ячейке» на объект , который при фиксированном времени является оператором. Значения при разных  либо коммутируют, либо антикоммутируют при пространственноподобном разделении:

Алгебра операторов — это «скелет» теории. С точки зрения тех, кто уже понял Паули как антисимметрию, антикоммутатор — просто механизм, который протаскивает тот же запрет в мир полей, но с учётом Лоренца и причинности.

Грассмановы числа: алгебра запрета

Когда мы пишем сумму по историям для бозонного поля, удобно интегрировать по обычным (вещественным или комплексным) конфигурациям:

А как быть с фермионным полем , если его компоненты — операторы с антикоммутатором? Непосредственно интегрировать по «обычным числам» нельзя — пропадёт Паули.

Ответ квантовой теории: интегрировать нужно по грассмановым переменным. Грассманова переменная — это такой объект, что и, следовательно, .

Интеграл по таким переменным определяется не как сумма бесконечно малых площадок, а как операция, которая вытаскивает коэффициенты при высших степенях:

Может показаться абстрактной чепухой, но у него есть гениальное свойство:

тогда как для обычных (коммутирующих) переменных вместо детерминанта получалась бы его обратная величина .

В языке теории поля функциональный интеграл по фермионным полям — это определитель оператора Дирака . Антикоммутирующая природа реализует правильный знак в сумме по петлям (например, петля фермиона приходит с минусом относительно петли бозона).

Грассмановость — это технический способ переписать в интегральной форме ту же антикоммутирующую алгебру, которую мы уже знаем из операторного подхода.

Принцип Паули на языке операторов

Вернёмся к операторной картине. Для одного фермионного режима с имеем:

Введём вакуум , где . Тогда одночастичное состояние — это . Попытка создать вторую частицу: (из-за антикоммутатора).

На этом уровне запрет двух частиц в одном режиме — это просто .

Для нескольких режимов имеем , и состояние Фока:

где . То есть Ферми-газ — это битовая структура: каждый режим либо пуст, либо занят. Это операторная реинкарнация детерминантов Слейтера.

Разница между фермионом и призраком

Теперь у нас достаточно базиса, чтобы подготовить почву для самого болезненного вопроса: как так, что призрак антикоммутирует, но при этом не подчиняется принципу Паули как частица?

На уровне алгебры и функционала и фермион, и призрак описываются грассмановыми полями: и . Интегралы по ним дают детерминанты.

Разница — в онтологии и в том, что мы считаем физическими возбуждениями. У фермиона есть каузальный пропагатор, есть физические одночастичные состояния (которые можно возбудить и поймать детектором), есть спектр Фока из состояний с одним, двумя и т.д. фермионами (но не более одного на моду).

У призрака спектр устроен так же математически, но эти состояния вырезаются из физического пространства BRST-условиями (см. дальше). Его роль — реализовать знак детерминанта и обеспечить калибровочную инвариантность, а не «жить» как наблюдаемая частица.

Антикоммутируемость призрака — «отголосок» той же линейно-алгебраической логики: он тоже «вычитает» недопустимое, но делает это в другом сегменте теории — не в пространстве физических векторов, а в пространстве конфигураций поля и его калибровочных избыточностей.

У фермиона грассманова природа выражает Паули (запрет многократной занятости и правильную статистику). У призрака — выражает знак детерминанта и вычитание лишних степеней свободы (пересчёты калибровки), а физически его кванты отбрасываются BRST-проекцией.

В обоих случаях антикоммутативность — молоток для гвоздя «надо что-то вычесть»: либо недопустимые состояния, либо лишние пути в интеграле.

Переход к полевой теории фермионов

Раз уж мы ввели фермионные операторы и грассманов алфавит, можно сделать маленький мост к полям — это пригодится и для Стандартной модели.

Для свободного фермионного поля (Дирак) решением становятся операторы поля:

с , где — спиноры.

Здесь создаёт частицу (электрон), — античастицу (позитрон). Антикоммутаторы гарантируют Паули и микропричинность. Уравнение Дирака плюс эти антикоммутаторы — по сути реализация теоремы спин-статистики.

Функционально же мы вместо вводим грассмановы поля, по которым строим интегралы . Это уже чистый QFT (квантовая теория поля), но нужный для следующей части нашего пути.

Путь вперёд: от фермионов к калибровкам

То, что мы сейчас сделали, — это ещё одна ступенька. Мы увидели, как антисимметрия переходит в антикоммутаторы, как антикоммутаторы реализуют Паули, как грассманов алфавит делает эту логику удобной для сумм по историям.

Дальше нам нужно взять ещё одну симметрию — уже не про обмен частицами, а про калибровочную избыточность (повторное описание одной и той же физики разными ). Там мы снова увидим проблему «пересчёта» — и там опять понадобятся грассмановы переменные, но уже в новой роли. Через это мы подойдём к методу Фаддеева-Попова и к понятию призраков как способу не задавать лишних степеней свободы.

В следующей главе аккуратно разберём, как возникает калибровочная избыточность в классике на примере электромагнетизма, как при наивном квантовании она ломает унитарность и поперечность фотона, и как метод Фаддеева-Попова с грассмановскими призраками чинит эту логику.

Глава 5. Калибровочная головная боль: когда одно и то же состояние описывается слишком многими способами

До сих пор мы занимались тем, что чистили пространство состояний от запрещённых комбинаций: антисимметрия фермионов, Паули, грассмановы числа. Теперь появится новый тип «лишнего» — избыточность описания.

Это уже не про то, что «такого состояния в принципе не должно быть», а про то, что одно и то же физическое состояние описывается бесконечным числом конфигураций поля. Чтобы теорию можно было квантовать честно, нам придётся научиться это лишнее вычитать так же аккуратно, как мы вычитали «два фермиона в одном состоянии».

Калибровочная симметрия: свобода, которая ничего не меняет

Начнём с простого примера — электродинамики. Мы привыкли к тому, что поле описывается четырёхмерным потенциалом , а напряжённость и магнитная индукция — это . С точки зрения наблюдений, именно физичны: они толкают заряды, вызывают токи, и так далее.

Но одно и то же можно получить из разных . Если мы сделаем преобразование:

то тензор поля не поменяется. Значит, все наблюдаемые эффекты останутся прежними.

Это и есть калибровочная симметрия: целое семейство конфигураций описывает один и тот же физический мир. Мы можем выбирать любую «карту», которая нам удобна, а реальность от этого не изменится.

То же самое происходит в неабелевых теориях Янга-Миллса: поле преобразуется по локальной группе :

и множество конфигураций, связанных такими , описывают одно и то же физическое состояние.

Ключевая мысль: в пространстве полей есть орбиты калибровочной группы — все точки на орбите физически эквивалентны. Чтобы считать честно, нужно учитывать каждую орбиту один раз, а не бесконечно много.

Проблема при квантовании: суммируем лишнее

В картинке интеграла по траекториям (которая нам нужна для призраков) мы пишем для поля Янга-Миллса:

Но интегрирует по всем конфигурациям , в том числе по тем, что связаны друг с другом калибровочными преобразованиями. То есть мы проходим каждую калибровочную орбиту целиком и каждую орбиту считаем бесконечно много раз, потому что группа непрерывна.

Формально это означает, что содержит бесконечный множитель — объём калибровочной группы . В попытке построить пропагатор и диаграммы Фейнмана мы сталкиваемся с тем, что у поля слишком много «поляризаций», часть из которых вообще не соответствует физическим степеням свободы.

Если делать пертурбативную теорию «на глазок» (как это делал Фейнман в начале), унитарность и калибровочная независимость начинают «подпрыгивать»: некоторые диаграммы с калибровочными полями дают лишние вклады, которые надо было бы убить, но непонятно как.

На классическом уровне мы привыкли выбирать калибровку (Лоренца, кулоновскую, временную, Фейнмана-'т Хоофта и т.д.) и жить спокойно. Но в интеграле по полям эта процедура должна быть встроена в саму меру .

Интуитивная геометрия: слои в пространстве конфигураций

Представьте пространство всех возможных конфигураций поля как гигантское бесконечномерное пространство. Калибровочная группа действует на нём, создавая «слои» — калибровочные орбиты. Один слой — одно физическое состояние.

Интеграл по всему этому пространству — это интеграл по орбитам, умноженный на интеграл по группе. В идеале мы хотели бы разделить интеграл:

и просто выкинуть бесконечный как общий множитель, не влияющий на нормированные вероятности.

Но формально так просто сделать нельзя. Во-первых, в бесконечномерном пространстве это не просто переопределение меры. Во-вторых, конкретный выбор калибровки (то есть конкретного «сечения» орбит) меняет вид пропагаторов и промежуточных вычислений. Нам нужно, чтобы физические ответы на наблюдаемые величины не зависели от того, как именно мы выбрали это сечение.

Метод Фаддеева-Попова: единица, которая всё чинит

Идея Фаддеева-Попова очень проста, если её не прятать за формулами. Мы хотим выбрать условие калибровки (например, — калибровка Лоренца). Затем убедиться, что на каждой орбите есть ровно одна конфигурация, удовлетворяющая этому условию — по крайней мере, локально в конфигурационном пространстве.

Далее вставляем в интеграл по единицу, которая накладывает это условие и аккуратно учитывает «объём» связанной с ним части группы :

где — поле, преобразованное калибровочным элементом .

Дельта-функция говорит: «оставь только те поля на орбите, которые удовлетворяют выбранной калибровке». Определитель — это якобиан перехода от параметров калибровки к поверхности .

Вставляя эту «единицу» в путь-интеграл, мы формально реализуем «деление» на объём группы — но в вычислимом виде:

Бесконечный множитель интеграла по можно отбросить, а дельта и детерминант остаются в определении меры. Так мы продолжаем интегрировать только по «сечению» , но платим за это якобианом.

Детерминант превращается в призраков

Теперь возникает ключевой шаг. Определитель сам по себе — неудобный зверь в экспоненте, особенно в бесконечномерном случае. Но грассманов алфавит умеет делать одну хитрую вещь:

где — грассмановы (антикоммутирующие) переменные.

В функциональной форме это превращается в ввод новых полей , по одному на каждое «волокно» калибровочного поля (индекс — индекс в присоединённом представлении группы):

Поле — это и есть призрак Фаддеева-Попова. Оно представляет собой число Грассмана, значит антикоммутирует. Трансформируется в присоединённом представлении калибровочной группы. В лагранжиане имеет свои кинетические и взаимодействующие члены. И никогда не появляется как внешнее состояние в S-матрице — его нельзя «поймать» как частицу.

Призрак — это воплощённый якобиан. Антикоммутативность нужна не потому, что призрак — фермион, а потому что он реализует определитель.

Можно ли было обойтись без призраков?

Фейнман пытался поступать иначе: просто игнорировать те диаграммы, где нефизические поляризации калибровочного поля давали плохие вклады, и эмпирически подбирать калибровки, где всё выглядит прилично. Это работало до тех пор, пока алгебра калибровки не усложнилась в неабелевых теориях Янга-Миллса.

Фаддеев и Попов сделали то, чего требовала строгая теория. Они честно зафиксировали калибровку, честно посчитали якобиан, честно переписали его через грассмановы поля, честно встроили призраков в диаграммную технику и BRST (следующая глава).

В итоге унитарность, калибровочная независимость и правильная структура поляризаций оказались не результатом «хитрости», а прямым следствием симметрии и правильной меры.

Параллель с Паули и антисимметрией

Логика «убрать лишнее» очень похожа на то, что мы видели раньше. Для фермионов антисимметрия (детерминант Слейтера, антикоммутаторы) убирает невозможные состояния — «дважды в одном и том же». Для калибровочных теорий Фаддеев-Попов и призраки убирают избыточные описания одного и того же состояния — все конфигурации на одной орбите.

В обоих случаях грассманов алфавит появляется как инструмент для аккуратного вычитания. «Запрещённость» одних и тех же комбинаций кодируется не словом, а нулём в пространстве состояний (фермионы) или «минусовым» вкладом в петлях (призраки).

В следующей главе мы усложним картинку ещё одним уровнем: введём BRST-симметрию, которая делает всю эту конструкцию совсем железной — и в операторной форме, и для функционалов. А потом перенесём её на мировой лист струны и увидим, что bc-призраки там — это точно такая же история, только написанная на двумерном языке.

Глава 6. BRST: суперсимметрия между полем и призраком

Мы уже сделали два больших шага. Сначала разобрали фермионную антисимметрию и увидели принцип Паули как линейно-алгебраический запрет невозможных состояний. Затем разобрали калибровочную избыточность и увидели, как метод Фаддеева-Попова вводит призрачные поля, чтобы вычесть лишнее из интеграла по траекториям.

Но пока картинка выглядит немного разорванной: фермионы живут в своём пространстве Фока, призраки — в своём функциональном интеграле, и не очевидно, что это всё одна цельная история.

В этой главе мы рассмотрим BRST-симметрию (метод Бекки — Руэ — Стора — Тютина, BRST‑квантование) как один из самых красивых объектов квантовой теории поля. Это «суперсимметрия в пространстве полей», которая объединяет калибровочные поля, материю и призраков в одну структуру, вводит оператор с свойством и говорит: физические состояния — это кохомология этого оператора.

Скажем проще: BRST — это формализованный принцип Паули уже не для электронов, а для всего мусора, который мы добавили при квантовании калибровочной теории. Он аккуратно вычитает нефизическое.

Что было до BRST

Напомним, где мы сейчас стоим. В неабелевой калибровочной теории (типа QCD, квантовой хромодинамики, которая описывает сильные взаимодействия между кварками) мы пишем путь-интеграл:

но это интеграл по калибровочным орбитам целиком: одна и та же физика описана бесконечными , связанными преобразованиями .

Метод Фаддеева-Попова вводит условие калибровки и дельту , чтобы зафиксировать по одному представителю на орбиту, а также якобиан , который переписываем как интеграл по грассмановым полям .

В лагранжиане появляются призраки:

На диаграммах Фейнмана они живут в петлях, вычитая вклад нефизических поляризаций.

Это работает, но всё ещё похоже на вычислительную технологию. BRST показывает, что это — поверхность более глубокой симметрии.

BRST: калибровка в грассмановом направлении

Фокус BRST-формализма: рассматривать калибровочные преобразования как часть суперсимметрии в пространстве полей, где параметр стал грассмановым.

Обычное инфинитезимальное калибровочное преобразование для поля имеет вид , где — ковариантная производная в присоединённом представлении.

BRST говорит: пусть заменится на призрачное поле , а вместо у нас будет BRST-преобразование , действующее на всё — на калибровочное поле, на призраков, на материю.

Простейший вид для чистой теории Янга-Миллса:

где — поле материи, — условие калибровки (например, ), — параметр калибровки.

Главное свойство: оператор BRST , порождающий эти преобразования, удовлетворяет условию нильпотентности:

Это прямой аналог грассмановой нильпотентности: как , так и . Только теперь действует в пространстве состояний и на операторы.

Нильпотентность и пары, которые уничтожаются

Если , то можно организовать космос состояний в три вида. Первый — BRST-замкнутые: . Второй — BRST-образные: существуют , такие что . Третий — всё остальное, на что потом просто не будет опираться никакая физика.

Физические состояния определяют как классы кохомологии:

Интуиция здесь очень важная. Любое состояние вида самим уравнением даёт нулевой вклад в физические величины: . Нефизические степени свободы (включая призрачные кванты, продольные и скалярные поляризации) организуются в BRST-пары . Их вклады взаимно уничтожают друг друга. Остаётся только то, что BRST-замкнуто, но не образно — это и есть то, что мы воспринимаем как реальные частицы и физические конфигурации.

Это очень похоже по духу на принцип Паули. Там антисимметрия говорит: некоторые комбинации равны нулю. Здесь BRST говорит: некоторые комбинации — -точны и должны считаться нулём в физическом фактор-пространстве.

BRST как суперсимметрия на пространстве конфигураций

Ещё один полезный взгляд: BRST — это своеобразная суперсимметрия (в математическом смысле) между бозонными полями (калибровочное , скалярные поля материи) и фермионными полями-призраками .

Она действует как калибровка на (но с грассмановым параметром), как «кривые» преобразования на призраках, и обеспечивает инвариантность полного лагранжиана (поле плюс призраки плюс фиксация калибровки).

В частности, BRST-симметрия гарантирует калибровочную независимость физических наблюдаемых: изменения параметров калибровки соответствуют BRST-точным вариациям. Она также обеспечивает унитарность: нефизические поляризации и призраки складываются в BRST-пары, которые вываливаются из кохомологии.

То есть BRST — это язык, на котором можно строго сказать: всё, что зависит только от выбора калибровки, не физично. Всё, что пережило BRST-кохомологию, — то, что мы видим как реальные частицы.

Пересечение с принципом Паули

До сих пор мы держали эти сюжеты — Паули и призраки — как будто на разных этажах: нижний (антисимметрия фермионов), верхний (калибровочные избыточности и Фаддеев-Попов). BRST показывает общий мотив.

У фермионов пространство состояний разделяется на допустимые и недопустимые конфигурации с помощью антисимметрии или антикоммутаторов. У калибровочных теорий пространство конфигураций расширяется (калибровка плюс призраки), а затем сужается обратно с помощью нильпотентного оператора (BRST).

И там, и там мы не вручную вычёркиваем нежелательные состояния. Мы задаём структуру (антисимметрия или BRST), которая делает эти состояния либо нулевыми, либо эквивалентными нулю.

Можно смотреть на это необычным углом. Принцип Паули — это «структурная цензура» на уровне однопетлевой логики: двух одинаковых фермионов на одну моду посадить нельзя. BRST — «структурная цензура» на уровне калибровочных симметрий: два отличающихся только калибровкой поля не должны считаться разными состояниями.

Оба работают через грассманову арифметику: в первом случае — через антикоммутаторы фермионов, во втором — через антикоммутирующие призраки.

В следующей главе мы поднимем этот формализм на уровень струн и увидим, как bc- и βγ-призраки делают то же самое на двумерном мировом листе, связывая баланс центральных зарядов с условием BRST-инвариантности.

Глава 7. Призраки на мировом листе: почему струна тоже чинит свою линейку

Мы уже вооружились всем, что нужно. Понимаем, что квантовые состояния — линейные, и почему это не «приближение». Видели, как антисимметрия и грассмановы числа реализуют принцип Паули. Разобрали, как калибровочная избыточность в полях ведёт к призракам Фаддеева-Попова и BRST-симметрии.

Теперь взглянем на струнную теорию через ту же оптику. Оказывается, там происходит то же самое: у нас есть сверхбогатая симметрия на самом мировом листе, и чтобы честно её учесть, мы снова должны зафиксировать часть этой симметрии (выбрать «калибровку линейки» на листе), ввести призраков (теперь — , а в суперструне ещё и ), построить BRST-оператор на мировом листе и потребовать, чтобы физические состояния лежали в его кохомологии.

Это не отдельная, «странная» техника струнников — это то же самое, что мы делали с Янгом-Миллсом, только написанное на языке двумерной конформной теории поля.

Свободы струнного действия

Напомним действие Полякова для бозонной струны в плоском фоне:

Здесь — координаты струны в целевой -мерной Вселенной, — метрический тензор на самом мировом листе . Интеграл по идёт по двумерной поверхности, которую описывает струна, а задаёт «линейку и часы» на этой поверхности.

Это действие обладает очень мощной симметрией. Во-первых, двумерные диффеоморфизмы: , при которых и метрика преобразуется тензорным образом. Во-вторых, вейлева инвариантность: .

Это аналоги калибровочной симметрии для струны: разные выборы координат и масштаба на мировом листе не меняют физику движения струны, только «разметку» её поверхности.

Но когда мы хотим квантовать теорию — строить пропагаторы , считать диаграммы — мы снова сталкиваемся с той же проблемой. Интеграл включает интегрирование по всем эквивалентным под действием диффеоморфизмов и вейлевских преобразований и . Если тупо интегрировать по всем и , мы опять пересчитываем одну и ту же физику бесконечно много раз.

Решение: повторить Фаддеева-Попова, но теперь для симметрий и , и в результате получить призрачные поля на мировом листе.

bc-призраки: геометрия линейки как калибровочная теория

В двумерном случае удобно зафиксировать калибровку очень жёстко: выбрать такую систему координат на листе, в которой метрика принимает простую форму. Например, конформная калибровка:

где — плоская метрика на листе (Минковски или евклидова). В этой калибровке все метрики, отличающиеся только диффеоморфизмами и вейлевскими преобразованиями, приводятся к одному представителю.

Фиксация этой калибровки по Фаддееву-Попову приводит к определителю от оператора дифференциальных преобразований, который можно записать как путь-интеграл по грассмановым полям и — это и есть bc-призраки. В конформной калибровке их обычно выбирают тензорными полями спин и , которым соответствуют компоненты .

Получаем дополнительный вклад в действие:

С точки зрения CFT, имеет конформный вес 2, — вес −1. Это фермионное (антикоммутирующее) поле на мировом листе.

Этот bc-сектор даёт вклад в центральный заряд:

Именно этот −26 мы уже использовали в первой статье «Теория всего», когда писали условие баланса .

βγ-призраки в суперструне

В суперструне мы добавляем к бозонным полям ещё и мировые листовые фермионы . Это даёт дополнительную симметрию — супердиффеоморфизмы на листе (локальные SUSY преобразования вида , ).

Это значит, что помимо обычной калибровки (диффеоморфизмы плюс Вейль) у нас теперь ещё и «надстройка» — локальная суперсимметрия. Её тоже надо зафиксировать, и по Фаддееву-Попову это влечёт появление ещё одной пары призрачных полей, уже бозонных (коммутирующих) — , обычно со спинами .

Так появляется βγ-сектор:

Его вклад в центральный заряд:

Итого, на мировом листе суперструны у нас: от получаем , от получаем , от bc получаем , от βγ получаем .

Суммарный центральный заряд:

Требование конформности (отсутствия аномалии Виразоро) даёт , откуда .

И это ровно тот же счёт, который мы делали в первой статье: суперструна «жизнеспособна» только в десятимерном пространстве-времени.

BRST на мировом листе

Как и в QFT, полная струнная теория (материя плюс призраки) обладает BRST-симметрией. На уровне CFT это проявляется в виде BRST-заряда , построенного из токов симметрий:

В суперструне добавляются βγ-комбинации. Этот оператор имеет фермионную статистику (антикоммутирует сам с собой) и нильпотентен: , если сумма центральных зарядов равна нулю (тот же баланс).

Физические состояния струны — это те вершины/поля (или соответствующие векторы Фока), которые удовлетворяют условиям BRST-замкнутости и не являются BRST-тривиальными: .

Таким образом, даже на мировом листе мы не «берём все осцилляции подряд»: мы выполняем ту же самую операцию кохомологии, которая вырезает поле от диффеоморфизмов-мусора, — от лишних компонент, а призраков — от того, чтобы стать «физическими частицами».

Принцип Паули, призраки и суперпозиция: общий мотив

Теперь у нас есть довольно цельная картина. На уровне одного осциллятора (или спина) линейность плюс антикоммутатор дают запрет «двух одинаковых». На уровне калибровочного поля метод Фаддеева-Попова и BRST-симметрия делают то же самое для орбит: одна орбита — одно состояние, остальные описания уничтожаются. На уровне струны bc- и βγ-призраки играют роль «калибровочных» и «супер»-призраков, а BRST на мировом листе отбирает физические колебания. Суммарная центральная зарядка (материя плюс призраки) должна обнулиться — это глобальный аналог «правильного числа степеней свободы».

Везде одно и то же. Мы начинаем с слишком богатого объекта (волновые функции, конфигурации поля, мировые листы с лишними симметриями). Встраиваем структуру (линейную, грассманову, калибровочную, BRST-симметрию), которая говорит, какие комбинации «считать нулём» или «не отличать». Физика — это не «к сырым объектам добавить кучу величин», а выделить фактор-пространство допустимых состояний.

Паули, призраки, BRST и струнные призраки — это, по сути, разные фаски одного и того же камня: «всё» минус «что нельзя» равно реальный мир.

Заключение. От принципа Паули до струнных призраков: единая логика вычитания

Когда мы начинали, всё было довольно невинно: принцип запрета Паули, два электрона не могут находиться в одном квантовом состоянии. Простое правило, которое объясняет структуру атомов и периодическую таблицу. Но стоило задаться вопросом «почему?», как мы оказались в путешествии через всю теоретическую физику — от антисимметрии волновых функций до BRST-кохомологии на мировом листе струны.

Что мы построили

Мы начали с фундамента — линейности квантовой механики. Это не «приближение слабых полей», а структурный выбор, обеспечивающий сохранение вероятностей, интерференцию и причинность. Нелинейность мира проявляется на уровне эффективных уравнений для макроскопических величин, но фундаментальная динамика квантовых состояний остаётся линейной — это проверено десятками тысяч экспериментов.

Из линейности и неразличимости частиц естественно вырос принцип Паули. Антисимметричная волновая функция двух фермионов в одном состоянии тождественно равна нулю — не потому, что «электроны не любят друг друга», а потому что детерминант с одинаковыми столбцами равен нулю. Это чистая линейная алгебра, известная задолго до квантовой механики.

Теорема спин-статистики показала, что связь между полуцелым спином и фермионной статистикой — не случайность, а необходимость. Если требовать Лоренц-инвариантность, локальность, микропричинность и устойчивый вакуум, то поля с полуцелым спином обязаны антикоммутировать. Попытка сделать «спин-1/2 бозон» немедленно ломает либо причинность, либо стабильность вакуума.

Технический язык антикоммутации привёл нас к грассмановым числам — объектам с . Они автоматически реализуют принцип Паули: нельзя создать два одинаковых фермиона в одной моде, потому что . Но оказалось, что грассмановы переменные нужны не только для фермионов.

Новый тип «лишнего»: калибровочная избыточность

Когда мы перешли к калибровочным теориям, появился другой тип избыточности. Одно и то же физическое состояние описывается бесконечным числом конфигураций поля, связанных калибровочными преобразованиями. В интеграле по траекториям это приводит к пересчёту — мы суммируем одну и ту же физику бесконечно много раз.

Метод Фаддеева-Попова решает эту проблему через фиксацию калибровки и введение якобиана. А якобиан, в свою очередь, представляется как интеграл по грассмановым полям — призракам. Они антикоммутируют не потому, что являются фермионами (у них спин ноль!), а потому что реализуют определитель.

BRST-симметрия объединила всю конструкцию в единое целое. Оператор с действует на всё пространство полей и призраков. Физические состояния — это кохомология : то, что им убивается , но не является образом . Нефизические степени свободы организуются в пары, чьи вклады взаимно уничтожаются.

На мировом листе струны происходит то же самое. Диффеоморфизмы и вейлевские преобразования мирового листа — это «калибровочная симметрия» струны. Фиксация калибровки порождает bc-призраков с центральным зарядом . В суперструне добавляются βγ-призраки от локальной суперсимметрии. Требование отсутствия аномалии Виразоро (баланс центральных зарядов) фиксирует критическую размерность: для бозонной струны, для суперструны.

Единая логика

Теперь видна общая картина. Везде, где в квантовой теории появляются «лишние» или «запрещённые» состояния, работает один и тот же механизм:

Для фермионов: антисимметрия убивает состояния с двумя частицами в одной моде. Грассмановы числа и антикоммутаторы — технический язык этого запрета.

Для калибровочных полей: призраки Фаддеева-Попова вычитают вклад калибровочно-эквивалентных конфигураций. BRST-кохомология выделяет физические состояния.

Для струн: bc- и βγ-призраки на мировом листе делают то же самое для двумерных симметрий. Баланс центральных зарядов — это условие согласованности всей конструкции.

Это не три разных трюка, а проявления одного принципа: квантовая теория умеет структурно вычитать лишнее. Мы не вручную вычёркиваем нежелательные состояния — мы задаём алгебраическую структуру (антисимметрию, BRST, нильпотентность), которая автоматически делает их нулевыми или эквивалентными нулю.

Что стоит запомнить

Принцип Паули — не мистический запрет, а алгебраическое следствие антисимметрии в линейном пространстве состояний.

Призраки — не искусственная добавка для «починки» теории, а естественное следствие калибровочной симметрии и честного учёта якобиана.

BRST-симметрия — универсальный язык для описания того, какие состояния считать физическими в теории с избыточностями.

Грассмановы числа — не экзотика, а необходимый математический аппарат для работы и с фермионами, и с призраками.

Все эти конструкции вырастают из одного корня — линейности квантовой механики и требования не считать лишнее. От простого запрета «два электрона в одном состоянии» до сложной алгебры BRST на мировом листе струны — это разные уровни одной и той же истории о том, как квантовая теория сама себя очищает от избыточного.

В этом смысле принцип Паули и призраки Фаддеева-Попова — не разные явления, а два лица одного фундаментального принципа: физическое пространство состояний — это не всё, что можно формально написать, а результат вычитания того, что структура теории считает недопустимым или избыточным.