Апериодическая мозаика Соколара-Тейлора
В последнее время я работаю над своей книгой «Математика 1001», делаю дополнения для следующей редакции, которая будет издана за рубежом. Поэтому я отслеживаю математические достижения, случившиеся примерно с 2009 года. И я решил представить вам десятку самых важных событий по этой теме с того времени, в порядке субъективного увеличения важности.
10. Синъити Мотидзуки заявил о доказательстве им abc-гипотезы. Событие попало в конец списка, поскольку до сих пор его доказательство не поддержано большим кругом математиков. Иначе оно занимало бы первое место. А пока, к разочарованию заинтересованных сторон, оно находится в лимбе.
9. Тернарная проблема Гольдбаха. «Начиная с 7, любое нечётное число является суммой трёх простых». Ещё с 1937 года это утверждение верно для достаточно больших нечётных чисел, но в 2013 году перуанский математик Харальд Гельфготт проверил это утверждение на компьютере для чисел вплоть до 1030. Независимо от него это сделал и Дэвид Плат.
8. Вьетнамский математик Нго Бао Тяу доказательством фундаментальной леммы, составляющей часть программы Ленглендса. Ужасно техническое, но очень важное событие программы.
7. 17 подсказок судоку. В 2012 году Макгуайр, Тьюгеман и Чиварио доказали, что минимальное количество подсказок, уникальным образом идентифицирующих задачу в Судоку, равно 17. Хотя и не каждый набор из 17 подсказок приводит к уникальному решению, теорема говорит, что нельзя построить допустимую задачу только на 16-и подсказках.
6. Гомотопическая теория типов / аксиома унивалентности. Новый подход к основам математики под руководством Владимира Воеводского привлекает пристальное внимание. Кроме математического интереса, она обещает так модифицировать язык высшей математики, чтобы сделать его более пригодным для компьютеризированной обработки.
5. Нетриангулируемые многообразия. На шестом месте списка – удивительное открытие Киприана Манолеску [Ciprian Manolescu] по поводу нетриангулируемых многообразий в измерениях от 5 и выше.
4. Мозаика Соколара-Тейлора. Известна мозаика Пенроуза – набор плиток, которыми можно замостить плоскость, но при этом только апериодически. Много лет существовал вопрос – возможно ли сделать это при помощи только одной плитки. Джоан Тейлор и Джошуа Соколар обнаружили такую плитку.
3. Окончание проекта «Флайспек». В 1998 году Томас Хейлс объявил о получении доказательства гипотезы Кеплера по поводу наиболее эффективного способа упаковки пушечных ядер. К сожалению, его доказательство было слишком длинным и включало большое количество вычислительных вставок, в связи с чем проверявшие его люди не смогли завершить проверку. Поэтому Хейлс с командой взялись за это самостоятельно, призвав на помощь вспомогательные компьютерные программы Isabelle и HOL Light. Результат работы стал значимой вехой не только в дискретной геометрии, но и в системах автоматического получения доказательств.
2. Разбиение чисел. Сколькими способами можно записать положительное целое число в виде суммы меньших чисел? В 2011 году Кен Оно и Ян Брюинье предложили ответ на этот старый вопрос.
1. Интервалы между простыми числами. Неудивительно, что это достижение попало на первое место. Этот замечательный результат получил Чжан Итан в 2013 году. Он доказал, что существует бесконечно много последовательных простых чисел с разностью не более 70 миллионов. Последовавший за этим ажиотаж привёл к тому, что Джеймс Мэйнард и проект Polymath, организованный Теренсом Тао, уменьшили это число до 246.
Но! Но?..
Где же работа Хейрера по уравнению KPZ (Kardar–Parisi–Zhang)? Что насчёт новых примеров Фридмана о неполноте? Что я могу сказать – мы тут просто развлекаемся. Если вы считаете, что я неправ – составьте свой собственный лист.
В качестве бонуса – прогресс в вычислительных доказательствах.
- Обобщённая непрерывная дробь для числа ? подсчитана до 15 миллиардов первых членов.
- Десятичное представление числа ? подсчитано до 13,3 триллионов цифр
- В поисках совершенного кубоида (целочисленный кирпич) — это прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Пока ясно, что если он и существует, то длина одной из его сторон будет не меньше, чем 3 триллиона.
- Проблема Гольдбаха (утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел) проверена вплоть до числа 4 * 1018.
- Наибольшая известная пара простых чисел-близнецов – числа с обеих сторон числа 3756801695685 ? 2666669.
- Наибольшее из известных простых чисел и 48-е из известных чисел Мерсенна – 257885161-1.
- В энциклопедии центров треугольников уже 7719 записей.
- Длиннейшая из известных оптимальных линеек Голомба теперь имеет порядок 27: (0, 3, 15, 41, 66, 95, 97, 106, 142, 152, 220, 221, 225, 242, 295, 330, 338, 354, 382, 388, 402, 415, 486, 504, 523, 546, 553)
- Самое впечатляющее достижение в факторизации целых чисел (разложение на простые множители) при помощи классических компьютеров – число из 232 цифр RSA-768:
1230186684530117755130494958384962720772853569595334792197322452 1517264005072636575187452021997864693899564749427740638459251925 5732630345373154826850791702612214291346167042921431160222124047 9274737794080665351419597459856902143413
разложенное в два простых числа из 116 цифр:
3347807169895689878604416984821269081770479498371376856891243138 8982883793878002287614711652531743087737814467999489
и
3674604366679959042824463379962795263227915816434308764267603228 3815739666511279233373417143396810270092798736308917 - А при помощи квантового компьютера — пока только 56153 = 233 * 241
- Гипотеза Коллатца проверена для чисел вплоть до 2 * 1021
Комментарии (41)
KvanTTT
30.10.2015 00:48+6Синъити Мотидзуки заявил о доказательстве им abc-гипотезы. Событие попало в конец списка, поскольку до сих пор его доказательство не поддержано большим кругом математиков. Иначе оно занимало бы первое место. А пока, к разочарованию заинтересованных сторон, оно находится в лимбе.
Надеюсь, что в следующем году таки его доказательство признают. Синъити согласится ответить на все вопросы математиков в декабре по Skype (вот на русском).
KvanTTT
30.10.2015 00:52+38. Вьетнамский математик Нго Бао Тяу доказательством фундаментальной леммы, составляющей часть программы Ленглендса. Ужасно техническое, но очень важное событие программы.
А в чем лемма то заключается?
marapper
30.10.2015 12:50+4The fundamental lemma states that an orbital integral O for a group G is equal to a stable orbital integral SO for an endoscopic group H, up to a transfer factor ? (Nadler 2012):
In the mathematical theory of automorphic forms, the fundamental lemma relates orbital integrals on a reductive group over a local field to stable orbital integrals on its endoscopic groups
PerlPower
30.10.2015 02:21+9А можно краткий перечень последствий этих открытий? В смысле появились ли какие-то новые вычислительные методы, нашли ли открытия применение в физики, криптографии, где-то еще?
NotSure
30.10.2015 02:55«оно находится в лимбе»
в лимбо
fshp
30.10.2015 05:58Limbo это игра такая.
fshp
30.10.2015 07:41+2Для минусаторов, которым лень гугл открыть — Limbo
NotSure
30.10.2015 13:42+1fshp
30.10.2015 14:20+1Да, но. Если говорить про католическую штуку, то либо лимб, либо limbo. Никаких лимбо.
А вот с названиями другая история. Их не переводят (как правило). Именно по этому нет таких игр, как «Один в темноте», «Кризис», «Кредо убийцы». Но зачастую их могут писать «на русском» — дота, кс, портал, линейдж/ла2/линейка, вов, диябла — как только не коверкуют.
dtestyk
30.10.2015 09:21Не знал, что разбиение числа проблема, когда-то сам решал, но решил только композицию числа.
если кому интереснонаписать нули в количестве, равном числу(см. унарная система счисления)
N=7: 0000000
обозначить слагаемое А как единицу и последующие А-1 нулей
1001000: 3,4
1001001: 3,3,1
1010001: 2,4,1
1111111: 1,1,1,1,1,1,1
1000000: 7
так как вначале всегда 1, то получим 2^(N-1) вариантов
Просто интересно: существует столько же многочленов степени N с единичными или нулевыми коэффициентами.
skey
30.10.2015 10:33> Проблема Гольдбаха и аналогичная с нечетными числами
И первое что пришло в голову двоичная система счисления, только вместо степени числа 2 — простые числаdtestyk
30.10.2015 12:55-2что-то в этом есть, в ней можно будет записать любое число двумя или тремя единицами на соответсвующих местах
приходило в голову записывать числа в двоичной системе через разложение на простые сомножители, но поскольку они могут повторяться(впрочем, как и в вашей системе счисления), то система получилась не двоичная:
60=5*3*2*2*1=«1121»
65=13*5=«101001»
как это можно применить:
например, когда нужно определить делимость одного числа A на другое B:
для двоичной записи(если нет кратных делителей): A|B==A
(множество простых делителей В является подмножеством простых делителей А)
gurux13
30.10.2015 12:44+2«Начиная с 7, любое нечётное число является суммой трёх простых». Ещё с 1937 года это утверждение верно для достаточно больших нечётных чисел
Забавно звучит. Как будто до 1937 года были числа, не разложимые в сумму простых :)KvanTTT
30.10.2015 13:22+1Для меня кажутся удивительными доказательства, которые работают только на очень больших числах. Вот если доказывают что-то для небольших чисел это еще хоть как-то интуитивно может быть понятно. А вот когда наоборот — это прямо магия какая-то :)
lockywolf
30.10.2015 14:46Это вероятностные, часто, доказательства.
«Возьмём достаточно хитрое вероятностное пространство. Тогда с положительной вероятностью случайный элемент из него обладает признаком.» При этом и вылезают большие числа.gurux13
30.10.2015 15:28+1Про гипотезу Гольдбаха это неверно. Она до сих пор не доказана ни в сильной, ни в слабой форме, а только лишь проверена для дофига больших чисел в обоих вариантах. Ну и не опровергнута, соответственно.
Почитайте, кстати, «Дядюшка Петрос и проблема Гольдбаха». Отличная книга на тему. Художественная, не математическая.
KvanTTT
30.10.2015 17:06Так в математике что-то не может быть верно с вероятностью 99,9999999999%, там утверждение может быть или истинным или ложным.
Kroid
30.10.2015 21:04Разумеется не может, ведь вероятность находится в голове, а не в окружающем мире.
Sild
30.10.2015 14:29+2в 2013 году перуанский математик Харальд Гельфготт проверил это утверждение на компьютере для чисел вплоть до 10^30
Ну-с… появились мощности, проверили для чисел побольше. В чем профит таких проверок? Это же математическое доказательство, и с точки зрения теории — бесполезно.ascending
30.10.2015 15:10+2Там много лет опускали планку, начиная с которой существует аналитическое доказательство. Помимо проверки до 10^30, он смог опустить эту планку до 10^27 (почему-то автор статьи на хабре решил об этом умолчать), таким образом, полностью доказав гипотезу: http://arxiv.org/abs/1312.7748
leventov
31.10.2015 00:20Первый факт разве не противоречит теореме о распределении простых чисел?
CaptainFlint
31.10.2015 12:44Тут не очень удачно сформулировано. Имелось в виду «бесконечно много пар простых чисел». То есть, для сколь угодно большого N существует пара простых чисел, бо?льших N, разность между которыми окажется не больше 70 млн. Но расстояния между самими этими парами теорема никак не определяет, поэтому среднее распределение может оставаться каким угодно.
leventov
31.10.2015 12:55Это очень сильно меняет дело. Я вообще думал, что существует бесконечно много парных (разница 2)
dtestyk
31.10.2015 13:56Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано.
toxicdream
31.10.2015 16:24Там же указано что с 70 млн. разницу сократили до 246.
Если смогут доказательно сократить до 2, то и это утверждение станет истинным.
Suvitruf
А доказательство гипотезы Пуанкаре можно отнести к крупнейшим достижениям последних лет?
valemak
Выражение «последних лет» достаточно субъективное понятие. 13 лет минуло… Если событие произошло 13 лет назад — это «последних лет» или уже не совсем «последних лет»?
Suvitruf
Я посчитал, раз включили 3 пункт (доказательство получено в 1998), то и Перельман должен попасть в список.
valemak
Там ещё речь о компьютерной проверке, которую не могли сделать много лет и без которой доказательство не считалось подтверждённым. Полный перебор с помощью компьютерных программ Isabelle и HOL Light,, возможно, закончился относительно недавно, и только после этого проект «Флайспек» считается окончательно закрытым.
stepik777
Там не полный перебор скорее, а формальная проверка доказательства, судя по используемым программам.