Рассмотрим многочлен . Его можно также представить в виде . Такие разложения на множители бывают полезными в различных случаях. Например, с их помощью можно разложить дробь из многочленов в сумму простейших дробей:

Данное разложение используется при вычислении неопределённого интеграла:

Разложение и соответствующее представление для дроби

позволяют найти сумму телескопического ряда:

Рассмотрим разложения других, более сложных, многочленов на множители:

Как можно видеть, множители в этих разложениях имеют целые коэффициенты, за исключением последнего разложения. Но последний многочлен можно разложить и другим способом:

В этом разложении тоже целые коэффициенты. Возникает вопрос: существует ли многочлен с целыми коэффициентами, у которого есть разложение с дробными коэффициентами, но нет разложения с целыми? Лемма Гаусса говорит, что нет. Эта лемма применяется в компьютерной алгебре, теории чисел.

Теперь возникает вопрос: у каждого ли многочлена с целыми коэффициентами есть разложение? Попробуем разложить многочлены выше до конца:

У нас получилось это сделать, прибегнув к иррациональным, а иной раз и комплексным, числам. Нельзя ли обойтись обычными дробями (то есть рациональными числами)? Ведь если можно обойтись рациональными числами, то можно обойтись и целыми, как нам говорит лемма Гаусса.

Оказывается, частичный ответ на этот вопрос даёт теорема Эйзенштейна:

Пусть для многочлена с целыми коэффициентами есть такое простое число , что:

• не делится на ;

• остальные коэффициенты делятся на ;

• не делится на .

Тогда этот многочлен нельзя разложить на множители с рациональными коэффициентами.

Например, теорема Эйзенштейна применима к многочленам и. Ещё её можно применить к многочлену - его также нельзя разложить в произведение многочленов с целыми коэффициентами.

Однако теорема Эйзенштейна покрывает не все неразложимые многочлены - например, многочлены , и также нельзя разложить над рациональными числами, так как у них нет рациональных корней (подумайте, почему наличие рационального корня необходимо для разложимости многочленов степени не выше трёх), однако к ним теорему Эйзенштейна применить нельзя.

Напоследок, предлагаем вам подумать над следующей задачей: докажите, что многочлен нельзя разложить в произведение двух целочисленных многочленов тогда и только тогда, когда число - простое. Подсказка: вам может пригодиться теорема Эйзенштейна для .

Авторы:

• Лыков Александр, научный сотрудник мехмата МГУ, академический руководитель ШАД Хелпера.

• Михаил Михеенко, студент пятого курса мехмата МГУ, куратор ШАД Хелпера.